2017年电大经济数学基础形成性考核册及答案

电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案 经济数学基础形成性考核册（一）（一） 一、填空题一、填空题 1.lim x sin x x0 x _ .答案：0 2.设f(x) x21,x 0 ， 在x 0处连续， 则k_. k,x 0 答案 1 3.曲线 y x +1 在(1,1)的切线方程是. 答 案: y 1 2 x 3 2 4.设函数 f (x 1) x2 2x 5 ，则 f (x) _ .答案2x 5.设 f (x) xsin x，则f( 2)_ .答案: 2 二、单项选择题二、单项选择题 1. 当x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） 2 A ln(1 x) 1 B x x 1 C ex2 D sin x x 2. 下列极限计算正确的是（B） A. lim x x0 x 1 B. x 1 x lim 0 x 1 C. lim x0 xsin x 1 D.lim sin x x x 1 3. 设y lg2 x，则dy （B） A 1 2x dx B 1 xln10 dx C ln10 x dx D 1 x dx 4. 若函数 f (x)在点 x0处可导，则(B)是错误的 A函数 f (x)在点 x0处有定义Blim xx f (x) A， 0 但A f (x0) C函数 f (x)在点 x0处连续D函数 f (x)在点 x0处 可微 5.若 f ( 1 x ) x ，则 f (x) （ B）. A 1 x2 B 1 x2 C 1 x D 1 x 三、解答题三、解答题 1计算极限 （1）lim x23x 2 x1 x21 解：原式=lim (x 1)(x 2)x 2121 x1 (x 1)(x 1) =lim x1 x 1 = 11 2 （2）lim x25x 6 x2x26x 8 解：原式=lim (x2)(x3)x 3231 x2(x2)(x4) =lim x2 x 4 2 4 2 （3）lim 1 x 1 x0 x 解：原式 = lim ( 1 x 1)( 1 x 1) = 1 x 1 x0 x( 1 x 1) lim x0 x( 1 x 1) = lim 11 x0 1 x 1 = 2 （4）lim 2x23x5 x3x22x4 2 35 解：原式=lim x x2 200 x 3 2 2 4 3003 xx2 （5）lim sin3x x0sin5x sin3xsin3 解：原式=lim 3x lim x 0 sin5x 3 5 3 5 x0 3x x 3 1 3 5x lim sin5x 515 x0 5x x2 （6）lim 4 x2sin(x 2) 解：原式=lim (x2)(x2) x2 sin( x2) lim x2 (x2)lim x2 x2sin( x2) 414 1 xsin 1 f (x) x b,x 0 2设函数 a,x 0， sin x x x 0 问： （1）当a,b为何值时， f (x)在x 0处极限存在？ （2）当a,b为何值时， f (x)在x 0处连续. 解： （1）因为 f (x)在x 0处有极限存在，则有 x lim 0 f (x) x lim 0 f (x) 又 1 x lim 0 f (x) x lim 0 (xsin x b) b sin x x lim 0 f (x) x lim 0 x 1 即 b 1 所以当 a 为实数、b 1时， f (x)在x 0处极限存在. （2）因为 f (x)在x 0处连续，则有 x lim 0 f (x) x lim 0 f (x) f (0) 又 f (0) a ，结合（1）可知a b 1 所以当a b 1时， f (x)在x 0处连续. 3计算下列函数的导数或微分： （1） y x2 2xlog 2 x 22，求 y 解： y 2x 2xln2 1 xln2 （2） y ax b cx d ，求 y 解：y (axb)(cxd)(axb)(cxd) (cxd)2 = a(cxd)(axb)cad bc (cxd)2 = (cx d)2 （3） y 1 3x 5 ，求 y 1 解：y(3x5) 21(3x5) 1 21(3x5)3(3x5) 3 2 22 （4）y x xex，求 y 1 解： y (x )(xe ) 1 x 1 2 x 2 xx 2 e xe （5） y eaxsinbx ，求dy 解：y(eax)sinbxeax(sinbx)eax(ax)sinbxeaxcosbx(bx) =aeax sinbx beaxcosbx dy ydx (aeaxsinbx beaxcosbx)dx 1 （6）y ex x x ，求dy 1 1313 解：y (e x 1 x) (x2) ex( 1 ) 3 x2 1 e3 x2x2 2 x2 1 dy ydx ( ex3 1 x2 2 x2)dx （7）y cos x ex2，求dy 解： y(x)(ex2)sx( x)ex2(x2)c s x 2 x 2xex2 （8） y sinnx sinnx ，求 y 解： yx)n(nx)n(x)n1(x)cnx(nx) n(sin x)n1cosx ncosnx （9）y ln(x 1 x2)，求 y 解： 1 y 1 x2) 1 (1x2)2 x 1x2 (x 1 x 1x2 (1) = 1 1 x 1x2 (11 2 21 1x 1x21 2(1x ) 2x) x 1x2 1x2 1x2 3 （10）y 2 cot 1 x 1x22x x ，求 y 2 i 解： 1 y (2sx)(x 11 2)(x6)( 2) 2s 1 xl 2( 1 35 ) 1 x2 1 x6 i x26 0 sin 1 2xln2( 1 3 2 cosx )( 11 x ) 2 x 1 5 6 6 x sin 1 2xln21 3 2 5 6 x2cosx 2 x 1 6 x 4.下列各方程中 y 是 x 的隐函数，试求 y 或dy （1）x2 y2 xy 3x 1，求dy 解：方程两边同时对 x 求导得： (x2)(y2)(xy)(3x) (1) 2x 2yy y xy3 0 y y 2x 3 2y x dy y dx y 2 x 3 y x dx 2 （2）sin(x y)e xy 4x ，求 y 解：方程两边同时对 x 求导得： cos(x y)(x y)exy(xy) 4 cos(x y)(1 y)exy(y xy) 4 y(cos(x y) xexy) 4cos(x y) yexy y 4cos(x y) yexy cos(x y) xexy 5求下列函数的二阶导数： （1） y ln(1 x2)，求 y 解： y 1 1 x2 (1 x2) 2x 1 x2 y ( 2x2(1 x2)2x(0 2x)22x2 1 x2 ) (1 x2)2 (1 x2)2 x i （2） y 1 x ，求 y 及 y(1) n 1131 ns解：y (1 x 1 n x ) (x2)(x2) 1 2 x2 2 x2i 315353 y ( 1 x2 1 x2) 1 ( 3 x2) 1 ( 1)x 2 3 x2 1 x2 = 22222244 1 经济数学基础形成性考核册（二）（二） （一）填空题 1.若 f (x)dx 2x 2x c ，则 f (x) 2xln2 2. 2. (sinx)dx sin x c . 3.若 f (x)dx F(x) c ，则 xf (1 x2)dx 1 2 F(1 x2) c 4.设函数 d e dx 1 ln(1 x2)dx 0 0 5. 若P(x) 11 x 1t2 dt ，则P(x) 1 x2 . （二）单项选择题 1. 下列函数中， （D）是 xsinx2的原函数 A 1 2 cosx2B2cosx2 C-2cosx2D- 1 2 cosx2 2. 下列等式成立的是（C） Asinxdx d(cosx)Bln xdx d( 1 x ) C2 xdx 1 ln2 d(2x) D 1 x dx d x 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C） A cos(2x 1)dx ，B x 1 x2dx Cxsin 2xdxD x 1 x2 dx 4. 下列定积分中积分值为 0 的是（D） A 1 1 2xdx 2 B 16 1 dx 15 C cosxdx 0 D sin xdx 0 5. 下列无穷积分中收敛的是（B） 3 A D 1 1 1 xdx B dx C e dx 2 10 xx (三)解答题 1.计算下列不定积分 1 sinxdx 解：原式 3x （1） x dx e 2xdcos x 2 xxx 2xcos 4cos d( )3 x 13 x( ) c 解：原式 ( ) dx 222 eln31 e (1 x)2 （2） x dx 解：原式 1 2x x2 x dx (x -1 13 2 2x2 x2)dx 135 2x2 4 x2 2 3 5 x2 c 2 （3） x 4 x 2 dx 解：原式 (x 2)(x 2) x 2 dx 1 2 x2 2x c （4） 1 1 2x dx 解：原式 11 2 1 2x d(1-2x) 1 2 ln1 2x c （5） x 2 x2dx 解：原式 1 2 2 x2d(2 x2) 3 1 3 (2 x2)2 c （6） sinx x dx 解：原式 2si n xd x 2cosx c （7）xsin x 2 dx 2cos xx 2 4sin 2 c （8） ln(x 1)dx 解：原式 xln(x 1) x x 1 dx xln(x 1) (1 1 x 1)dx xln(x 1) x ln(x 1) c 2.计算下列定积分 （1） 2 1 1 xdx 解：原式 12 1 (1 x)dx 1 (x 1)dx 1 (1 x)2 1 1 1 (x 1)2 2 221 2 1 2 5 2 1 2 （2） ex 1 x2 dx 解：原式 2 1 ex 1 1 d( x ) 1 x 2 e 1 1 ee2 e3 （3） 1 1x 1 ln x dx 解：原式 2 e3 1 12 1 ln x d(lnx 1) e3 2 1 ln x 1 4 2 2 4 （4） 2 0 xcos2xdx 解：原式 1 2 2 0 xdsin2x 1 xsin2x 1 0 2 24 2 0 sin2xd(2x) 11 4 c o s 2x 0 2 2 （5） e 1 xlnxdx 解：原式 1 2 e 1 ln xdx2 经济数学基础形成性考核册（三）（三） （一）填空题 1 04 5 1. 设 矩 阵 A 3 232 ， 则 A 的 元 素 2 161 a 23 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .答案： _ 3 2. 设 A,B 均 为3阶 矩 阵 ， 且 A B 3 ， 则 2ABT =_. 答案： 72 3.设 A,B 均为 n 阶矩阵，则等式 (A B)2 A22AB B2成立的充分必要条件是 . 答案： AB BA 4.设 A,B 均 为 n 阶 矩 阵 ， (I B) 可 逆 ， 则 矩 阵 A BX X 的解X_ _ .答案：(I B)1A 5. 设矩阵 A 10 0 0 20 ，则 A1 _ .答答 0 0 3 1 0 1 0 案：案： 0 2 0 0 0 1 3 1 2 e 1 e 2 x lnx 1 2 1 xdx 111 2 e2 4 e2 4 1 4 (e21) （6） 4 x 0 (1 xe)dx 解：原式 44 0 dx 0 xdex 4 xex 4 4 0 0 exd(x) 44e4e41 55e4 （二）单项选择题 1. 以下结论或等式正确的是（C C） A若A,B均为零矩阵，则有A B B若AB AC，且A O，则B C C对角矩阵是对称矩阵 D若A O,B O，则AB O 2. 设 A为34矩阵，B 为52矩阵，且乘积矩阵ACBT有 意义，则C T 为（A）矩阵 A2 4B4 2C35 D53 3. 设 A,B 均 为 n 阶 可 逆 矩 阵 ， 则 下 列 等 式 成 立 的 是 （C） A(A B)1 A1 B1， B(AB)1 A1B1 C AB BA DAB BA 4. 下列矩阵可逆的是（ A） A 12 3 0 23 B 10 1 0 03 101 12 3 C 1 1 D 1 1 0 0 2 2 5 2 2 2 5. 矩阵 A 333 的秩是（B） 4 4 4 A0B1C2D3 三、解答题 1计算 （1） 所以 AB A B 20 0 1 2 4 4设矩阵 A 21 ，确定的值，使r(A)最小。 1 1 0 解： 2 101 1 2 = 5310 35 0 2 1 1 0 0 0 300 0 0 （2） 1 2 4 2 1 1 1 0 2,3 1 2 4 1 10 2 1 211 312 3 0 （3）1 254 = 0 1 2 2312 4 2 4 5 1 143 6 1022 2计算 1 13 2 23 1 3 2 7 解 2 4 1 7 32 0 1 44 0 47 当 2 1 0 1 9 0 4 4 4 0 9 时，r(A) 2达到最小值。 4 1 231 2 4 245 7 197 24 5 1 2 2 1 4 3610 7 120 6 10 1 3 22 3 1 3 2 7 0 4 7 3 2 7 2 5 15 110 = 1 3 214 2 3 1 1 2 3 ，B 1 12A 1 11 0 1 1 0 1 1 2 532 5 854 5求矩阵A 1 742 4 112 解 1 3 的秩。 0 3 ： 2 532 5 854 A 1 742 4 112 215 312 414 1 3 0 3 1 ,3 1 742 5 854 2 532 4 112 0 3 1 3 ， 求 42 0 1 7 0 271563 0 952 1 0 271563 3 设 矩 阵 AB 。 解 因为 2 1 74 0 952 0 000 00 0 0 233 433 2,3 0 1 0 0 AB A B 31232 23 r(A) 2。 2 A 11 01 1 112 (1) 1010 123 (1) 22 12 2 6求下列矩阵的逆矩阵： 123 1 3 2 01 （1） A 3 1 1 1 解： B 112 0-1-1 0 011011 6 13210 0 213 AI 3 01010 3 11 111001 13210 0 0 97310 232 1 0 4310 13210 0 324 0 11112 2 1 3101 0 4 13210 0 132 0 1111 2 2 3 1 0 0134 9 13058 18 0 10237 12 3 0 01349 10011 3 1 1 3 0 10237 A1 2 37 0 0134 9 3 49 13 6 3 （2）A = 4 21 21 1 解： 136310 0 AI 4 21010 123 211001 10013 0 4 21010 21100 1 214 312 10013 0 11 0 21 4130 0 11261 1 0013 0 2, 3 0 11261 21 4130 0 1 0013 32 2 0 0 11261 231 0 0101 2 10013 0 0 10271 0 0101 2 A - 1 = 13 0 271 01 2 7 设 矩 阵 A 1 2 , B 1 2 23 ， 求 解 矩 阵 方 程 3 5 XA B 解： AI 121 0 3 501 213 121 0 0 131 122 2 1 105 2 0 131 A1 5 2 31 X BA1 125 2 = 2 3 1 0 3111 四、证明题 1 试证： 若B1,B2都与 A可交换， 则B 1 B 2 ，B1B2也与 A 可交换。 证：B1A AB1， B 2 A AB 2 B 1 B 2 A B 1 A B 2 A AB 1 AB 2 AB 1 B 2 即 B 1 B 2 也与 A可交换。 B 1B2 A B 1 B 2 A B 1 AB 2 B 1 AB 2 AB 1B2 即 B 1B2 也与 A可交换. 2试证：对于任意方阵 A ， A AT，AAT, ATA是对称矩 阵。 7 证： A A T T A A T T T A A A A TT 3. 设 某 商 品 的 需 求 函 数 为 q(p) 10e p 2 ， 则 需 求 弹 性 A AT 是对称矩阵。 (AAT)T= AT T AT AAT AAT 是对称矩阵。 ATA T ATAT T ATA ATA是对称矩阵. 3设A,B均为n阶对称矩阵，则 AB 对称的充分必要条件是： AB BA 。 证：必要性： AT A ， BT B 若 AB 是对称矩阵，即 ABT AB 而 AB BT AT BA 因此AB BA 充分性： 若 AB BA ，则AB T BTAT BA AB AB 是对称矩阵. 4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B 1 BT ， 证明B 1AB 是对称矩阵。 证：AT AB1 BT B1AB T AB TB1 T BTATBT T B1AB B 1AB 是对称矩阵.证毕. 经济数学基础形成性考核册（四）（四） （一）填空题 1.函 数 f (x) 4 x 1 l n x (1) 的定义域为 _ _ _ _ _ 。 _ 答案：(1,2) 2,4 . 2.函 数 y 3(x 1)2 的 驻 点 是 _ _ _ _ _ _ _，_极 值 点 是，它是极值点。答案： x =1； （1，0） ；小。 E .答案：E p p p = 2 4.行列式 111 D 111 _ .答案：4. 1 11 5. 设线性方程 组 AX b ，且 1 11 6 A 0 132 ，则 0t 10 0 t _ 时，方程组有唯一解. 答案：t 1. （二）单项选择题 1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（B） AsinxBexCx2 D3 x 2. 设 f (x) 1 x ，则 f ( f (x) （ C） A 1 x B 1 x2 CxDx2 3. 下列积分计算正确的是（A） 1 x A e ex 1 1 2 dx 0 B ex ex 1 2 dx 0 C 1 -1 xsin xdx 0 D 1 -1 (x2 x3)dx 0 4. 设线性方程组 A mn X b 有无穷多解的充分必要条件是 （D） Ar(A) r(A) mBr(A) nCm n Dr(A) r(A) n 5. 设线性方程组 x 1 x 2 a 1 x 2 x 3 a 2 ，则方程组有解的充分 x1 2x 2 x 3 a 3 必要条件是（C） A a 1 a 2 a 3 0 B a 1 a 2 a 3 0 Ca1 a 2 a 3 0 D a1 a 2 a 3 0 三、解答题 1求解下列可分离变量的微分方程： (1) y exy 8 解: dy exey dx , eydy exdxe0 eydy exdx , ey ex c 1 0 1 e c ，解得c 22 1 2x 1 y 特解为：e e 22 (2)xy 解： dyxex （2） 2dx3y 解: y ex 0,y(1) 0 11 y ex xx y 3y2dy xexdx 2x3y dy xde y3 xexexdxy3 xexexc 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1） y 2 x 1 y (x 1)3 2 2 解: y e x1 dx x 13e x1dxdx c e2lnx1x 13e2lnx1dx c x 12x 1dx c x 12 1 2 x 12 c （2） y y x 2xsin 2x 解 :y 1 e x dx 1 2 x sin 2 x e x dx dx c eln x 2xsin 2xeln xdx c x 2xsin2x 1 x dx c xsin 2xd2x c xcos2x c 3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y e2xy , y(0) 0 dye2x 解： dx ey eydy e2xdx ey 1 2x 2 e c 用x 0, y 0代入上式得： y e 1 x dx ex 1 x dx x edx c eln x 1 x exeln xdx c 1 x exdx c 1 ex x c 用x 1, y 0代入上式得： 0 e c 解得：c e 特解为： y 1 x exc 4.求解下列线性方程组的一般解： x 2x 3 x 4 0 （1） 1 x1 x 2 3x 3 2x 4 0 2x1 x 2 5x 3 3x 4 0 解： 102 1 211 A= 1 132 3 12 3 2 15 102 1 0111 32 1 102 1 0 111 0 11 1 0 000 所以一般解为 x 1 2x 3 x 4 x 2 x 其中x3,x4是自由未知量。 3 x 4 2x 1 x 2 x 3 x 4 （2） 1 x1 2x2 x 3 4x 4 2 x1 7x 2 4x 3 11x 4 5 解： 9 2 111 1 A 1 2142 1, 2 5 1 7 411 1214 2 212 2 1111 31 1 1 7 4115 1214 2 0 5373 0 5373 1214 2 321 2 1 0 53735 0 0000 1 214 0 1 37 2 3 0 00 55 122 0 5 0 1 0 16 4 55 7 5 3 01 3 0 55 0 00 5 0 因 为 秩 A 秩 A=2 ， 所 以 方 程 组 有 解 ， 一 般 解 为 x 416 1 5 5 x 3 5 x 4 x 337 2 5 5 x 3 5 x 4 其中x3,x4是自由未知量。 5.当为何值时，线性方程组 x 1 x 2 5x 3 4x 4 2 2x 1 x 2 3x 3 x 4 1 x 3x 1 2x 2 2x 3 3 4 3 7x1 5x 2 9x 3 10 x 4 有解，并求一般解。 解： 1154 2 212 A 2 1311 313 413 32233 7 5910 11542 0 11393 011393 0 2261814 321 1154 2 42 2 0 11393 00000 0 0008 085 1 1 1210 11393 00000 0 0008 可见当 8时，方程组有解，其一般解为 x 1 18x 3 5x 4 其中 x 3 ,x 4 是自由未 2 313x 3 9x x 4 知量。 6a,b为何值时，方程组 x 1 x 2 x 3 1 x1 x2 2x 3 2 x1 3x 2 ax 3 b 有唯一解、无穷多解或无解。 解： 1 11 1 211 A 1 1 22 311 1 3a b 111 1 0 211 322 0 4a 1b 1 111 1 0 211 0a 3b 3 0 根据方程组解的判定定理可知： 10 当 a 3，且b 3时，秩 A秩 A，方程组无解； 当 a 3，且b 3时，秩 A=秩 A=23，方程组有 无穷多解； 当 a 3时，秩 A=秩 A =3，方程组有唯一解。 7求解下列经济应用问题： （ 1 ） 设 生 产 某 种 产 品 q 个 单 位 时 的 成 本 函 数 为 ： C(q) 1000.25q26q （万元）, 求：当q 10时的总成本、平均成本和边际成本； 当产量q为多少时，平均成本最小？ 解: cq 100 q 0.25q 6 c q 0.5q 6 当q 10时 总成本：c 101000.25102610 185 （万 元） 平均成本：