2017年电大经济数学基础形成性考核册及参考答案作业(四)

经济数学基础形成性考核册及参考答案 作业（四）作业（四） （一）填空题 1 在区间_ _内是单调减少的.答案：(1,0)(0,1) x 2. 函数y 3(x 1)2的驻点是_，极值点是，它是极值点.答案： x 1,x 1，小 1.函数f (x) x 3.设某商品的需求函数为q(p) 10e p 2，则需求弹性E p .答案： 2p 1 4.行列式D 1 11 11 _.答案：4 11 1 时，方程组有唯 1 6 1 1 ，则t _ 32 5. 设线性方程组AX b，且A 0 1 0 0t 1 0 一解.答案： 1 （二）单项选择题 1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（） AsinxBe x Cx 2 D3 x 答案：B 2. 已知需求函数q(p) 10020.4p，当p 10时，需求弹性为（） ln2 B4ln 2C- 4ln 2D-42A42 答案：C 3. 下列积分计算正确的是（） 1 4 p4 pln2 xx 1e e exex dx 0 B dx 0 A 11 22 C 1 -1 xsin xdx 0 D(x2 x3)dx 0 -1 1 答案：A 4. 设线性方程组AmnX b有无穷多解的充分必要条件是（） Ar(A) r(A) mBr(A) nCm nDr(A) r(A) n 答案：D x 1 x 2 a 1 5. 设线性方程组 x 2 x 3 a 2 ，则方程组有解的充分必要条件是（） x 2x x a 233 1 Aa1 a2 a3 0Ba1a2 a3 0 Ca1 a2a3 0D a1 a2 a3 0 答案：C 三、解答题 1求解下列可分离变量的微分方程： (1)y exy 解:eydy exdxeydy exdxey exc 1 ex c dyxex （2） 2dx3y 答案：ey 解:3y2dy xexdx3y2dy xexdxy3xdexxexexdx xexexc 答案：y3 xexexc 2. 求解下列一阶线性微分方程： 2 y (x 1)3 x 1 2 解:P(x)= Q(x)=(x+1)3 x1 P(x)dxP(x)dx y e ( Q(x)ec) （1）y P(x)dx ( ln(x1)2 1 y e(x1) edxc) (x1) (x1)dxc) 2(x1) 11 (x1)2(x1)dxc) (x1)2 (x1)2c(x1)4c(x1)2 22 1 或 (x1)2(x1)dxc) (x1)2(x2 xc) 2 1 2 1 242 答案：y (x 1) ( x x c) 或 y= (x1) c(x1) 22 y （2）y 2xsin 2x x 1 解:P(x) Q(x)=2xsin2x x P(x)dxP(x)dx y e ( Q(x)ec) 3ln(x1)223 2 )dx 2ln(x1) ln(x1)2 x1 1 P(x)dx ( x )dx ln x y elnx(2xsin2xelnxdxc) x(2sin 2xdxc) x(cos2xc) 3.求解下列微分方程的初值问题： (1)y e2xy,y(0) 0 1 2xec 2 11 x 0, y 0代入上式,e0e0cc 22 1 x 1 y 所以方程的特解为 ee 22 x (2)xy y e 0,y(1) 0 解:eydy e2xdxeydy e2xdxey 2 解: y 1 y 1 x ex x P(x) 11 x Q(x) x x e y eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxc) P(x)dx 1 x dx ln x y elnx( 1 x exelnxdxc) 1 x (exdxc) 1 x (exc) 将 x=1,y=0 代入上式, 得0=(e+c)c=-e 所以 y 1 x (exe) 4.求解下列线性方程组的一般解： x 1 2x 3 x 4 0 （1） x1 x 2 3x 3 2x 4 0 2x1 x 2 5x 3 3x 4 0 1 02 1 1 02 解: A 1 132 1 1 02 1 0111 0 111 53 0000 21 0 11 1 所以，方程的一般解为 x 1 2x 3 x 4 x 2 x 3 x （其中x 3 ,x 4 是自由未知量） 4 2x 1 x 2 x 3 x （2） 4 1 x1 2x2 x 3 4x 4 2 x1 7x 2 4x 3 11x 4 5 2 11 1 1 214 2 1 214 解: A 1 12142 21111 0537 1 74115 1 74115 0 537 1 0 16 4 555 373 01 555 00000 x 1 x 64 所以，方程的一般解为 1 5 3 5 x 4 5 （其中x ,x是自由未知量） x 37334 2 5 x 3 5 x 4 5 5.当为何值时，线性方程组 3 2 3 3 x 1 x 2 5x 3 4x 4 2 2x x 3x x 1 1234 3x 2x 2x 3x 3 234 1 7x1 5x 2 9x 3 10 x 4 有解，并求一般解。 2 1 1542 1 154 2 1 154 21311011393011393 解: A 3 223 3 0 1139 3 0 0000 759100226181400008 1 085 1 011393 0 000 8 00000 x 1 8x 3 5x 4 1 所以当=8 时方程有解，一般解为（其中x 3,x4 是自由未知量） x2 13x 3 9x 4 3 5a,b为何值时，方程组 x 1 x 2 x 3 1 x1 x2 2x 3 2 有唯一解、无穷多解或无解。 x 3x ax b 23 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 解: A 1 122 0211 0211 1 3ab 0 4a1b1 0 0a3b3 所以当a 3时，方程组有唯一解； 当a 3且b 3时，方程组无穷多解。 当a 3且b 3时，方程组无解； 6求解下列经济应用问题： （1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q) 1000.25q 6q（万元）, 求：当q 10时的总成本、平均成本和边际成本； 当产量q为多少时，平均成本最小？ 解：总成本:C(10)1000.2510 610 185（万元） 平均成本:C(10) 2 2 C(10) 18.5（万元/单位） 10 边际成本: C(10) (0.5q6)| q10 11（万元/单位） C(q) C(q)100 0.25q6 qq 100 C(q) 2 0.25令C(q) 0 q q 20(q 20舍去), q 20是平均成本函数在定义域内的唯一驻点 q = 20是平均成本函数的最小值点 当产量为 20 个单位时可使平均成本达到最低。 4 （2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) 204q0.01q2（元） ，单位销售 价格为p 140.01q（元/件） ，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少 解: R(q)=pq=14q-0.01q2 L(q)= R(q)-C(q)= (14q-0.01q2)-(204q0.01q2)= -0.02q210q20 L(q)= -0.04q+10令 L(q)= 0 得 q=250 q 250是利润函数L(q)在定义域内的唯一驻点 q = 250是利润函数L(q)最小值点 当产量为 250 件时可使利润达到最大。 最大利润为 L(250)=-0.022502+10250-20=1230(元） 。 （3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C(q) 2q 40(万元/百台)试求 产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 解：当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为 66 C C(q)dq (2q40)dq (q240q)|6 4 100 44 qq C(q) C(q)dqc 0 (2q40)dq36 q240q36 00 C(q) C(q)36 q40 qq 36 C(q) 1 2 令C(q) 0得 q q 6(q 6舍去), q 6是平均成本函数C(q)在定义域内的唯一驻点 q = 6是平均成本函数的最小值点 所以产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量为 C=100（万元） ，当产量为 6 百台时 可使平均成本达到最低。 （4） 已知某产品的边际成本C(q)=2 （元/件） ， 固定成本为 0， 边际收益R(q) 120.02q， 求： 产量为多少时利润最大？ 在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？ 解：L(q) R(q)C(q) L(q) R(q)C(q) 100.02q 令 L(q) 0得q=500 q 500是利润函数L(q)在定义域内的唯一驻点 q = 500是利润函数L(q)最小值