一次函数的应用

授课类型T 一次函数的应用T一次函数的应用T 巩固练习教学内容鞋子的“鞋码”和鞋长(cm)存在一种换算关系,下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：鞋 长16192427鞋 码22283844(1)分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？(2)设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；(3)如果你需要的鞋长为26cm,那么应该买多大码的鞋？()【解析】第一问是判断函数类型的题目，我们就目前我们学过的的函数只有正反比例函数和一次函数，可以用根据列表描点法画出图像来判断出是一次函数，再利用待定系数法求解一次函数，再令x=26可解的鞋码y解：（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合一次函数函数（2）设一次函数的一般式为,将带入一般式可得，解的则一次函数为（3）令，带入一次函数，可得，所以需要的鞋长为时，应该买42码的鞋【评析】本题是以生活实际为背景的考题题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间 利用一次函数解决实际问题时应注意什么问题？ 1、学会从表格中提取信息；2、利用待定系数法解一次函数；3、综合考虑一次函数、一元一次方程、二元一次方程（组）之间的内在联系，灵活运用；4、有时由“数”到“表格”，有时由“表格”到“数”，把“表格”与“形”有机结合起来5、根据一次函数的性质并结合实际问题作出预测或得出结论为了保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度（不含靠背）为xcm，则y应是x的一次函数.下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子的高度x(cm)4037桌子的高度y（cm）7570.2(1) 写出y与x之间的函数关系式.(2) 现有一把高42cm 的椅子和一张高为78.2cm 的课桌，它们是否配套？通过计算说明. ()解：（1）由意义知，y是x的一次函数，则设一次函数的一般式为,将带入一般式可得，解的则一次函数为（2）令，带入一次函数，可得，所以高42cm 的椅子和一张高为78.2cm 的课桌，它们配套。【列表与一次函数一次函数的最优化问题】 随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场一水果经销商购进了两种台湾水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售预计每箱水果的盈利情况如下表：种水果/箱种水果/箱甲店11元17元乙店9元13元有两种配货方案（整箱配货）：方案一：甲、乙两店各配货10箱，其中种水果两店各5箱，种水果两店各5箱；方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中种水果甲店 箱，乙店 箱；种水果甲店 箱，乙店 箱（1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元；（2）请你将方案二填写完整（只填写一种情况即可），并根据你填写的方案二与方案一作比较，哪种方案盈利较多？()解：（1）甲店的盈利情况：（元）；乙店的盈利情况：（元）140+110=250（元）所以按照方案一配货，经销商能盈利250元（2）设种水果甲店x箱，则乙店（10-x）箱，种水果甲店（10-x）箱，乙店x箱按照甲、乙两店盈利相同配货时，则有，解的，所以其中种水果甲店2箱，乙店 8 箱；种水果甲店 8 箱，乙店 2 箱，易得方案二共盈利244元，由此可见方案一盈利更多。【评析】本题提供了一个与生产实践密切联系的问题情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型建立函数关系为学生解决实际问题留下了思维空间利用一次函数解决实际问题时应注意什么问题？ 1、认真审题，准确理解题意；2、从问题出发，抓准数量关系，恰当引入变量，运用已有的数学知识和方法将数量关系用数学符号表示出来，建立函数关系式；3、研究函数解析式的定义域，根据问题的要求作出解答，从而将简单的实际问题转化为数学问题日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表： （单位：千元/吨）品种先期投资养殖期间投资产值西施舌9330对虾41020养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元设西施舌种苗的投放量为x吨（1）求x的取值范围；（2）设这两个品种产出后的总产值为y（千元），试写出y与x之间的函数关系式，并求出当x等于多少时，y有最大值？最大值是多少？解：设西施舌的投放量为x吨，则对虾的投放量为（50-x）吨，根据题意，得： 解之，得： 30x32； （2）y=30x+20(50-x)=10x+1000 30x32，1000，1300x1320， y的最大值是1320， 因此当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元. 说明：本部分为专题测试，学生做完后教师进行评分（建议10分钟做完）。1.某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：印数x（册）500080001000015000成本y（元）28500360004100053500（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的x取值范围）。（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？解（1）设所求一次函数的解析式为y=kx+b，则 解得所求函数的关系式为；（2）x。答：能印该读物12800册。需要甲原料需要乙原料一件种产品7kg4kg一件种产品3kg10kg2. 某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产两种产品共40件，生产两种产品用料情况如下表：设生产产品件，请解答下列问题：（1）求的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案；（2）若甲种原料50元kg，乙种原料40元kg ，说明（1）中哪种方案较优？解：（1）根据题意，得 这个不等式组的解集为又为整数，所以或26 所以符合题意的生产方案有两种：生产种产品25件，种产品15件；生产种产品26件，种产品14件 （2）一件种产品的材料价钱是：元一件种产品的材料价钱是：元方案的总价钱是：元方案的总价钱是：元元 由此可知：方案的总价钱比方案的总价钱少，所以方案较优3. 辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运三种苹果42吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。（1）设用辆车装运A种苹果，用辆车装运B种苹果，根据下表提供的信息求与之间的函数关系式，并求的取值范围；（2）设此次外销活动的利润为W（百元），求W与的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。苹果品种ABC每辆汽车运载量 （吨）2.22.12每吨苹果获利 （百元）685解：（1）由题意得：化简得：当0时，10110答：与之间的函数关系式为：；自变量的取值范围是：110的整数。 （2）由题意得：W W与之间的函数关系式为： W随的增大而减小 当2时，W有最大值，最大值为： 315.2（百元） 当2时，16，2 答：为了获得最大利润，应安排2辆车运输A种苹果，16辆车运输B种苹果，2辆车运输C种苹果。【图像与一次函数一次函数中的实际问题】一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上) ()【评析】本题提供了一个与生产实践密切联系的问题情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型建立函数关系为学生解决实际问题留下了思维空间解：（1）线段AB所在直线的函数解析式为：ykxb，将（1.5，70）、（2，0）代入得：，解得：，所以线段AB所在直线的函数解析式为：y140x280，当x0时，y280，所以甲乙两地之间的距离280千米（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，由题意得：，解得：，所以快车的速度为80千米/时，所以（3）如图所示利用一次函数解决实际问题时应注意什么问题？ 1、学会从图象中提取信息，如点的坐标等；2、有的数据可直接从图象上读出来，有的不能直接读出来，就要通过求解析式求出来；3、设解析式时要注意变量名称；4、需要考虑自变量取值范围时必须考虑；5、综合考虑一次函数、一元一次方程、二元一次方程（组）之间的内在联系，灵活运用；6、有时由“数”到“形”，有时由“形”到“数”，把“数”与“形”有机结合起来7、根据一次函数的性质并结合实际问题作出预测或得出结论张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量(升)与行驶时间(小时)之间的关系如图所示请根据图象回答下列问题：（1）汽车行驶 小时后加油，中途加油 升； （2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； （3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由 解：（1）3，31（2）设与的函数关系式是，根据题意，得：解得：因此，加油前油箱剩油量与行驶时间的函数关系式是：（3）由图可知汽车每小时用油（升），所以汽车要准备油(升)，因为45升36升，所以油箱中的油够用 某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示；每个售票窗口票数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示某天售票厅排队等候购票的人数（人）与售票时间（分）的函数关系如图所示，已知售票的前分钟开放了两个售票窗口（1）求的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；143124030078ax/分y/人OOO（图）（图）（图）x/分y/人x/分y/人（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？（）解：（1）由图图可知，每分钟新增购票人数4人，每个售票窗口每分钟售票3人，则：解这个方程，得a=30，即a的值为30（2）设第3078分钟时，售票厅排队等候购票的人数y与售票时间x之间的函数关系式为 则有：解得；当时，因此，售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有90人（3）设至少同时开放n个售票窗口，依题意得：；解这个不等式，得因此至少同时开放5个售票窗口1、 认真审题，准确理解题意2、 从问题出发，抓住数量关系，恰当引入变量，运用已有的数学知识和方法将数量关系用数学符号表示出来，建立函数关系式。3、 研究好书解析式的定义域，根据问题的要求作出解答，从而将简单的实际问题转化为数学问题 “512”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元型 号甲乙丙进价（万元/台）0.91.21.1售价（万元/台）1.21.61.3.这三种器材的进价和售价如下表，人员工资y1(万元)和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系(如图).（1）求y1与x的函数解析式；（2）求五月份该公司的总销售量；0200.20.31.2By1y2=0.005x+0.3x(台)y(万元)（3）设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润销售额进价其他各项支出）（4）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值. （）说明：本部分为专题测试，学生做完后教师进行评分（建议10分钟做完）。小明受乌鸦喝水故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高_cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 解：（1） （2）设，把，代入得：解得即（3）由，得，即至少放入个小球时有水溢出2.甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；在的条件下，设乙同学从A点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙同学相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？解：设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为s=kt，s=kt。由题意得：6=2 k，6=3 k，解得：k=3，k=2 s=3t，s=2t当甲到达山顶时，s=12（千米），12=3t 解得：t=4s=2t=8（千米）由图象可知：甲到达山顶宾并休息1小时后点D的坐标为（5，12）由题意得：点B的纵坐标为12-=，代入s=2t，解得：t=点B（，）。设过B、D两点的直线解析式为s=kx+b，由题意得 t+b= 解得： k=-6 5t+b=12 b=42 直线BD的解析式为s=-6t+42 当乙到达山顶时，s=12，得t=6，把t=6代入s=-6t+42得s=6（千米）练习：1.声音在空气中传播速度（m/s）是气温 ()的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速:气温x ()05101520音速 y（m/s）331334337340343(1) 求与之间的函数关系式；(2) 当气温为22时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地约相距多远？2.为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的,研究表明;假设椅子的高度(不含靠背)为(),课桌的高度为 (),则应是的一次函数,下表列出两套符合条件的课桌椅的高度:第一套第二套椅子高度 ()4144桌子高度 ()7581(1) 试确定与之间的函数关系式;(2) 现有一把高42.0的椅子和一张高78.2的课桌,它们是否配套?请通过计算说明理由.3.某空调公司推销员的月收入与每月的销售量成一次函数关系.当他售出10件商品时收入为800元,当售出20件时收入为1300元,试问此销售员没有销售时可收入多少元?4.在弹性限度内,弹簧长度 ()是所挂物体质量 ()的一次函数,不挂物体时,弹簧长是14.5,所挂物体质量每增加1弹簧长度增加0.5,现弹簧上挂一物体,弹簧长度为17.5,试求所挂物体的质量.5.某礼堂有若干排座位,已知每排的座位数是这排的排数的一次函数,第1排有20个座位,第19排有56个座位,(1) 写出与之间的函数关系式; (2) 第26排有多少个座位?6.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用 (元)是行李质量 ()的一次函数,其图象如图所示,(1) 求与之间的函数关系式;(