微积分09 空间直角坐标系与向量的概念.ppt

第一节空间直角坐标系与向量的概念,一、空间直角坐标系,二、向量的概念及其线性运算,三、向量的坐标表示,1.空间直角坐标系,坐标面:在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为坐标平面,简称坐标面.,面,面,面,一、空间直角坐标系,在空间直角坐标系中,点与三元数组之间有一一对应关系.,各卦限中点的坐标情况:,2.两点间的距离,例1已知两点与,在轴上求一点,使,解因为在轴上,所以设点的坐标为,由题设,得,解得,所求点为,1.向量的概念,向量的模:向量的大小(有向线段的长度),记作,单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,记为0或,向量的表示:或或,二、向量的概念及其线性运算,2.向量的线性运算,(1)向量的加法,d,向量的加法满足下列运算规律:,（1）,（2）,（3）,（4）,(2)数与向量的乘积(数乘向量),定义2设是一个非零向量,是一个非零实数,则与的乘积仍是一个向量,记作,且,数与向量的乘积满足下列运算规律:,（1）,（2）,（3）,（4）,1.向径及其坐标表示,向径:在空间直角坐标系中,起点在原点,终点为的向量称为点的向径.记为或,基本单位向量:,称上式为向量的坐标表达式,记作,三、向量的坐标表示,2.向量的坐标表示式,3.向量的模与方向余弦的坐标表示式,4.向量线性运算的坐标表示,例2设,求的方向余弦.,解,例3设向量的两个方向余弦为,又,求向量的坐标.,解由得,所以,第二节向量的数量积与向量积,一、向量的数量积,二、向量的向量积,一、向量的数量积,1.数量积的概念,定义1两向量的模及其夹角余弦的乘积，称为向量的数量积,记为,即,说明:,(1)向量的数量积是一个数量而不是向量；,(3),(2)两非零向量夹角的余弦,(4)设为两个非零向量,由定义1,有,数量积满足如下运算规律：,(1)交换律：,(3)分配律：,另外,由(2)(3)可得,2.数量积的坐标表示式,.两非零向量夹角余弦的坐标表示式,设均为非零向量,由两向量的数量积定义可知,解,例1已知求,例2设力作用在一质点上,质点由沿直线移动到.求:(1)力所作的功;(2)力与位移的夹角(力的单位为,位移的单位为).,解因为,又因为,所以,例3求在坐标面上与向量垂直的单位向量,解之得,二、向量的向量积,1.向量积的概念,说明:,(1)两向量的向量积是一个向量而不是数;,(4),向量积满足下列运算规律:,(1)反交换律：,(3)分配律:,2.向量积的坐标表示式,a,对于两个非零向量,解,例4设求,例5求垂直于和的单位向量.,解因为同时垂直和,所以,例6已知三角形的顶点是求三角形的面积.,解根据向量积的定义,可知三角形的面积,第三节平面与直线,一、平面的方程,二、直线的方程,三、平面、直线的位置关系,1平面的点法式方程,法向量,因为,所以有,该方程称为平面的点法式方程,一、平面的方程,解由平面方程的点法式得所求平面方程为,例1求过点且垂直于向量的平面方程,即,解因为在该平面上,已知平面的法向量,故,所求平面的法向量与向量和都垂直,即,由公式得该平面的方程为,例3求过点和三点的平面方程,故,解所求平面的法向量与向量和都垂直，而,由公式得该平面方程为,即,从平面的点法式方程得,令,该方程称为平面的一般式方程.,2平面的一般式方程,得,它表示过点且以为法向量的平面,可见，任一三元一次方程（不全为零）都表示一个平面.系数为平面法向量的坐标,平面通过原点(图9.16),(2)当时，,图9.17,方程的特殊情况:,(1)当时，,该平面平行于轴（图9.17）,图9.18,(3)当时,表示的平面通过轴(图9.18),分别表示通过轴和轴的平面.,(4)当时，,图9.19,当时,该平面平行于坐标面(图9.19),它表示坐标面,同理，方程和分别表示平行面和面的平面;方程和分别表示面和面.,方程为,代入原方程并化简,得所求平面方程为,例4求通过轴和点的平面方程.,解因平面通过轴,由以上讨论,可设其方程为,解设所求平面方程为,例5一平面经过三点，求此平面的方程.,又因三点都在平面上,所以有,后两个方程分别减去第一个方程,得,所以,代入第一个方程得,即,因为不能同时为零,所以,于是有,即得所求平面方程为,3平面的截距式方程,解此方程组得,设一平面过三点(图9.20),求此平面方程,设平面方程为，,因为三点在该平面上,所以有,即得所求平面方程为,此方程称为平面的截距式方程,其中分别称为平面在轴、轴、轴上的截距.,解,方程两边同除以5,得平面的截距式方程为,其中,例6将平面化为截距式方程,1直线的点向式方程与参数方程,方向向量:,向向量为,图9.21,二、直线的方程,所以由两向量平行的充要条件可知,此方程组称为直线的点向式方程（或称标准方程）,设点为直线L上任意一点则点在直线上的充要条件是,因为,注：当中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子也为零,记其比值为t,则有,此式称为直线L的参数方程，t为参数,方向向量,故所求直线的方程为,上式也称为直线的两点式方程,解,解因所求直线平行于两平面.故直线的方向向量s垂直于两平面的法向量及,例8求过点且平行于两平面及的直线方程.,所以取,因此,所求直线方程为,即,2直线的一般方程,设平面的方程分别为：,则两个平面的交线L的方程为,此方程称直线的一般方程,解先求直线上的一点,不妨令,代入原方程组得,再求该直线的一个方向向量,所以可取,所以直线的点向式方程为,令上式为,可得已知直线的参数方程为,1平面与平面的位置关系,两平面的夹角:两平面法向量的夹角(通常取锐角).,法向量,三、平面、直线的位置关系,因此与的夹角的余弦为：,特别地,两平面的法向量分别为,所以两平面的夹角的余弦为,所以两平面夹角,解,2直线与直线的位置关系,两直线的夹角:两直线方向向量的夹角(取锐角).,方向向量,因此与的夹角的余弦为,的方向向量分别为,解,则两直线与的夹角的余弦为,所以两直线的夹角,3直线与平面的位置关系,直线与平面的夹角:直线和它在平面上的投影直线的夹角,设直线与平面的垂直线的夹角为，与的夹角为,则.求直线与平面夹角,由两向量夹角的余弦公式,有,的方向向量为,解,与的垂线的夹角的余弦为,因此，与的夹角,第四节曲面与空间曲线,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、几种常见的二次曲面,四、空间曲线,定义:如果曲面上每一点的坐标都满足方程而不在曲面上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程为曲面的方程,而称曲面为此方程的图形.,图9.23,一、曲面方程的概念,图9.24,例1建立球心在点,半径为的球面方程.,解设是球面上的任一点,则,而,所以,这就是球心在点,半径为的球面方程.,当时,得球心在原点,半径为的球面方程为,柱面:直线沿定曲线平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线称为柱面的准线,动直线称为柱面的母线.,例2建立母线平行于轴的柱面方程.,图9.26,解设准线是面上的一条曲线,是柱面上的任意一点.过点的母线与面的交点一定在准线上,点的坐标为,不论点的竖坐标取何值,它的横坐标和纵坐标都满足方程,因此所求柱面方程为,在空间直角坐标系中,方程表示以面上的曲线为准线,母线平行于轴的柱面.,类似地,方程表示以面上的曲线为准线,母线平行于轴的柱面.,方程表示以面上的曲线为准线,母线平行于轴的柱面.,用面和面去截曲面,其截痕为,它们都是双曲线.,也表示单叶双曲面,中心轴分别是轴、轴.,旋转曲面:平面曲线绕同一平面上定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.定直线称为旋转轴.,二、旋转曲面,例3建立面上一条曲线绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程.,又因为在曲线上,所以,同理,曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为,面上的曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为绕轴旋转的旋转曲面方程为,面上的曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为绕轴旋转的旋转曲面方程为,例4将坐标面上的直线绕轴旋转一周,试求所得旋转曲面方程.,解将保持不变,换成得,即所求旋转曲面方程为,由上时表示的曲面称为圆锥面.点称为圆锥的顶点.,二次曲面:在空间直角坐标系中,若是二次方程,则它的图形称为二次曲面.,截痕法:用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求得一系列的交线,对这些交线进行分析从而把握曲面的轮廓特征,这种方法称为截痕法.,三、几种常见的曲面,1.椭球面,用三个坐标面分别去截椭球面,交线为:,这些交线都是椭圆.,用平行于面的平面截椭球面,交线为,是平面上的椭圆.,用平行其它两个坐标面的平面去截椭球面,分析的结果类似.,2.单叶双曲面,用三个坐标面截曲面,所得截线分别为,3.双叶双曲面,用和面截曲面,所得截线分别为,它们都是以轴为实轴,虚轴分别为轴和轴的双曲线.,用平行于面的平面截曲面,得,当时,其截痕是一椭圆;,当时,其截痕缩为一点和;,当时,没有图形.,也表示双叶双曲面.,4.椭圆抛物面,用和面截曲面,所得截线分别为,它们都是开口向上的抛物线.,用平面截曲面,得,当时,没有图形;,当时,相交于一点;,当时,所得截线为,5.双曲抛物面,用三个坐标面截曲面,所得截线分别为,它们分别表示两条相交直线、开口向上的抛物线和开口向下的抛物线.,用平行于和面的平面和截曲面,所得截线分别为,用平行于面的平面截曲面,所得截线为,1.空间曲线的一般方程,四、空间曲线,解(1)是球心在原点,半径为5的球面.是平行于面的平面,它们的交线是在平面上的圆,(2)方程表示球心在坐标原点,半径为的上半球面;方程表示母线平行于轴的圆柱面,方程组表示上半球面与圆柱面的交线.,2.空间曲线的参数方程,(为参数),例6设空间一动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转,同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升(其中都是常数),则动点的轨迹叫做螺旋线,试求其参