抛物线焦点弦的一组性质与高考题

抛物线焦点弦的一组性质与高考题过抛物线焦点的直线被抛物线所截得的线段叫抛物线的焦点弦.与此相关的问题在普通高中教科书（实验修订本必修）第二册（上）（以下简称教科书）中较为频繁，高考中也经常考查，经归纳总结得：性质XY 过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、 B（x2，y2）两点，O为坐标原点，过点A作直线AA1垂直于准线L于点A1，过点B作直线BB1垂直于准线L于点B1，则1. x1x2=；2. y1y2= - p2；（教科书P119习题8.5第7题）3. kOAkOB= - 4；4. 焦点弦：|AB|=x1+x2+p；（教科书P118例3）5. 最短焦点弦：特别地，当AB垂直于x轴时，|AB|=2p，即为通径；（教科书P121）6. ；7. 以弦AB为直径的圆与准线L相切于线段A1B1的中点M，即AMB=90；8. 以线段A1B1为直径的圆与直线AB相切于焦点F，即 A1FB1=90； （教科书P133复习参考题八（B组）第2题）9. 设直线OA交准线L于点C，则BCx轴；（教科书P123习题8.6第6题）10. 设直线AB的倾斜角为，则SAOB = ；11. 当AB垂直于x轴时，过抛物线上任一点P作PQ垂直于x轴于点Q，则 |PQ|2=|OQ|AB|； （教科书P133复习参考题八（A组）第15题）与上述性质类似或相关的高考题1. （1995年全国高考试题）直线L过抛物线y2=a（x+1）（a0）的焦点，并且与x轴垂直，若L被抛物线截得的线段长为4，则a=；略解：由性质4知 a=4.2. （2000年全国高考试题）过抛物线y=ax2（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A2a B. C. 4a D. 略解：由性质5知，选（C）.3. （2001年全国高考试题）设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴. 证明直线AC经过原点O.注:本题是性质8的逆命题.解题思路：本题的解法很多，采用坐标方法进行代数推理，可以证明直线OA与直线OC的斜率相等，证明|AO|+|OC|=|AC|，证明直线OC与直线BF的交点A在抛物线上，证明直线AC的方程形如y=（p）x，等等.每种证明又有不同的表述形式，甚至可以用极坐标法或参数方程法,采用平面几何方法进行推理,主要是运用抛物线的几何性质,可以有同一法、对顶角法、面积法等等.选用什么样的解题途径,体现出考生的知识基础、思维水平和表现技巧.证法1 如上图所示, 因为抛物线y2=2px（p0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为 x=my+，代入抛物线方程得 y2-2pmy-p2=0，若记A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以 y1y2=-p2 . 因为BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为（-，y2 ），故直线CO的斜率为 .即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.证法2 设A（x1，y1），B（x2，y2）,因为BCx轴，所以C（-，y2 ）.因为A、B在抛物线上，所以 y12=2px1 ,y22=2px2 .又因为直线AB过焦点F，所以 kAF=kBF , 即 , 所以 即 y1y2（y2-y1）=p2（y1-y2） .因为y1y2，所以 y1y2=-p2 .因为 kOC= 所以直线AC经过原点O.证法3 同证法1 得 y1y2=-p2.因为A（，y1），C（-，y2），即C（-，），所以直线AC方程为 , 化简得 y=.显然，原点O(0,0)适合此方程，所以原点O在直线AC上.4. （1987年广东省高考题）直线L过抛物线y2=2px（p0） 的焦点，且与这抛物线相交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点， 求证：4x1x2=p2； 求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线L不是CD的垂直平分线. 证明：抛物线y2=2px的焦点为F （，0），若过点F的直线Lx轴，则直线L的方程为x=， x1=x2=，4x1x2=p2.若过点F的直线不垂直于x轴，则可设L的方程为y=k（x-），代入抛物线方程y2=2px得 x2-p（1+）x+ =0 , 由韦达定理得 x1x2= , 即4xx=p2. 证法（一） 分两种情况讨论：（）当直线Lx轴时，由于C和D在抛物线y2=2px上，所以直线CD与x轴既不平行也不重合，从而CD的垂直平分线不垂直于x轴，所以L不是CD的垂直平分线.（）当直线L不垂直于x轴时，L的方程为y=k（x-）（k0）,如果L与CD不垂直，则L不是CD的垂直平分线.如果直线LCD，依题意可知C（，c）、D（ ，d），且有cd，这时有k= , 因为k0，所以c+d0 . 又线段CD的中点坐标为（）,由于这是因为c+d0, , 所以CD的中点不在直线L上，从而直线L不是CD的垂直平分线.证法（二） 反证法设C、D的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），则有y3y4，若L是CD的垂直平分线，则L与CD的方程分别为 ， CD的中点为Q , y3+y4=k（x3+x4-p）,由于C（x3，y3），D（x4，y4）的坐标是方程组 y2=2px 的解，则方程y2+2pky-2pq=0的判别式大于0，即 =4p2k2+8pq0 又由于y3+y4=-2pk ,从而x3+x4=（-ky3+q）+（-ky4+q）=2q+2