高数数列的极限

第一章,二、收敛数列的性质,一、数列极限的定义,第二节,机动目录上页下页返回结束,数列的极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正形的面积,极限方法是微积分的基本方法,典型问题2:面积问题(2500年前的古希腊,阿基米德),例1求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.,(3)取Sn的极限，得曲边梯形面积：,(2)以n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值：,xi,二、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,播放,三、数列的极限,问题:,当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,“无限接近”的等价含义:想要xn与1有多接近,就能有多接近.,想要|xn1|10,想要|xn1|104,想要|xn1|N1时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当nN时,故假设不真!,满足的不等式,1、唯一性,定理2每个收敛的数列只有一个极限.,四、数列极限的性质,2、有界性,例如,有界,无界,定理2收敛的数列必定有界.,说明,由数列收敛的几何意义知落在(a-1,a+1)之外的只有有限项,设此有限项为,令,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论无界数列必定发散.,证:设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明:此性质反过来不一定成立.,例如,虽有界但不收敛.,有,数列,定理2(收敛数列的有界性)那么它一定有界。,例4,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,3、收敛数列的保号性.,若,且,时,有,证:,对a0,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),机动目录上页下页返回结束,定理3,4、子数列的收敛性,注意：,例如，,*,定理4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.,证:设数列,是数列,的任一子数列.,若,则,当,时,有,现取正整数K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,机动目录上页下页返回结束,由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限,例如，,发散!,则原数列一定发散.,说明:,此例也说明：一个发散的数列也可能有收敛的子数列.,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.,思考与练习,1.如何判断极限不存在?,方法1.找一个趋于的子数列;,方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.,2.已知,求,时,下述作法是否正确?说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,机动目录上页下页返回结束,作业,P311，3,4,6,第三节目录上页下页返回结束,故极限存在，,备用题,1.设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,2.设,证:,显然,证明下述数列有极限.,即,单调增,又,存在,“拆项相消”法,刘徽(约225295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献.,他的“割圆术”求圆周率,“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要,极限思想.,的方法:,柯西(17891857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有27卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用等,有