三种复化求积分算法的精度分析

【摘要】分别采用解码台形式、解码辛普森式、解码gausslegendori型式计算定积分，得到近似数值解，比较分析了各算法的精度和计算复杂度。 数值实例结果表明，3种复合积分算法的运算结果均在绝对误差界限=5e-8内，相同精度下，复合gauss-legendre i型式的步长和计算量最小。【关键词】重构复杂化台形式精简程式的gauss-legendre式1引言数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着非常重要的作用，在不能求出积分的正确值时，数值积分越来越重要。 通常的数值积分计算是利用机械积分来实现的，其基本思想如下(1)二理论模型2.1复杂化梯形求积式将区间a，b分成n等分，分成点xk=a kh (，k=1，2，3n )，在每个子区间xk，xk1 (k=1，2，3n-1 )采用梯形(2)记录下来(3)上式(3)为复合台形式，其馀项为式(ab) (4)得到kxk，xk 1 (5)因为f(x)c2a，b然后呢(0kn-1) (6)所以呢？ a、b、使(7)因此，复杂化台形式的剩馀项(8)2.2复杂simpson求积式将区间a，b分割为n等分，每子区间xk，xk 1采用辛普森式，记下(9)记录下来(10 )上式(10 )是复杂辛普森的积式，其馀项是式(ab) (11 )得到kxk，xk 1 (12 )因此，f(x)c4a，b的情况下，类似于复合台形式a，b (13 )2.3复杂化gauss-legendre i型求积式gauss型求积式是具有最高代数精度的插补求积式。 通过适当选择求积式(1)的节点=5e-8和求积的系数ak0和xka，b (k=1，2，3n )，可以使其代数精度为最高的2n 1次。 可以将特殊区间-1，1 上的n 1次legendre正交多项式的根用作节点，确立求gauss-legendre型积的式子。 将区间a，b分成n等分，分成点xk=a kh (，k=1，2，3n )，在每个子区间xk，xk1 (k=1，2，3n-1 )使用2点gauss-legendre i型求出积分式(14 )a，b区间中的复积分公式(15 )上式(15 )被称为复合gauss-legendre i型求积式.因此，在f(x)c4a，b的情况下，求gauss-legendre i型的积的式子的馀数式如下(ab) (16 )3数值例首先，考察下式(17 )右边的定积分的近似值(17 )以复化台形式、复化辛普森式、复化gausslegendori式进行运算，求出了绝对误差界限=5e-8下的近似数值解。假设(18 )因此(19 )所以呢(20 )复合梯形式中(21 )所以呢n1791.6 (22 )因此，采取步长尺寸n=1792 (23 )求复杂辛普森积的公式(24 )所以呢n20.1 (25 )因此，采取步长尺寸n=21 (26 )求复杂化gauss-legendre i型积的公式中(27 )所以呢n18.2 (28 )因此，取步长尺寸n=19 (29 )同样也可以考察方程式和(30 )右端定积分的近似值，具体结果如表1所示。表1三类复合算法步骤的预估函数复合梯形求积式复原辛普森求积式复原gauss-legendre i型积式1792 21 192457 14 127019 24 22表23种复合算法的计算结果函数复合梯形求积式求复杂辛普森积式求复杂gauss-legendre i型积式- 0.4052465126309431-0.4052525252525346333-0.40525253535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353535353531.820478483584408.82047847218769.820478423657627.38905627230221.3890565353285307.38905607532853591表333种复合化算法的精度分析函数复合梯形求积式复原辛普森求积式复原gauss-legendre i型积式1.82012660501 e-8.938162381 e-9-9.888039109315 e-9- 3.033073325831 e-8-2.39650968729 e-8.9595641309807 e-8- 2.8299570686868684 e-8-2.728405679164 e-8.5753906371 e-8以绝对误差界限=5e-8，以复梯形式、复辛普森式、复gauss-legendre i式对列出的3个固定积分进行近似数值解运算，利用各自的馀数预先估计了各算法的步骤。 步长反映运算量的大小，步长越大，计算量越大，复杂的梯形计算量比其他两种算法大得多，复杂，时间越长，对计算机硬件的要求越高。 表2记录了3种算法通过3种定积分运算得到的近似数值解，表3记录了3种复合算法的近似数值解与精密解之间的误差，3种算法的结果都在绝对误差界限=5e-8以内，要求精度，但各自之间有差异，精度也各不相同从每个算法步骤可以看出，在相同精度的情况下，复杂梯度形式、复杂精简形式、复杂gausslegendore形式步骤继而减小，计算量也继而依次减小。当计算机求解时，将步长设置为预先估计的1792，并且所获得的精度满足要求。 然而，如果使步长减少一步而得到的结果是1791，那么结果仍满足要求，并且使步长减少到两步、十步、100步、500步使步长减少到1081，结果不满足要求。 此时的误差为5.001797979630832e-08，绝对误差=5e-8以内。 如果尝试其他几种复合化求积式，也会发生这种现象。 可以概括的是，满足精确度的预估步骤大于满足精确度的实际步骤。 可以将这种现象出现解释为步长是边界步长(步长最大值)，通过使用函数的二次导数或四次导数的最大值来计算预估步长的处理方法获得。 但是，计算机解决后，必定会出现满足精度的实际步骤，实际步骤不会大于预测的