不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法

不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。第一节 基本不等式1.若a,bR,则a2+b22ab，等号成立的条件：a=b；证明：当a,bR时，(a-b)20,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。2.基本不等式的变形（包括2个方面）若a,b0的实数，则a+b2ab, 等号成立的条件：a=b；若a,bR,ab0则ba+ab2, 等号成立的条件：a=b；若xR,x0则x+1x2, 等号成立的条件：x=1；(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的a,b不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。若a,bR,则a2+b2(a+b)222ab;等号成立的条件：a=b （注意：不等式的右边是(a+b)2）例题1.已知x,y0,+,且4x+3y=1，求x+y的最小值及xy的最小值。解：x+y=x+y4x+3y=7+4yx+3xy7+24yx3xy=7+43，x+y的最小值为：7+43；求(xy)min有两种方法，其一是配式，1xy=1124x3y112(4x+3y2)2=148，(xy)max=48；另一种方法是，由4x+3y=1xy=4y+3x23x4y=43xy,x,y0,+xy43，(xy)min=48。例题2. 已知a1-b2+b1-a2=1,求证：a2+b2=1。证明：由基本不等式得：a1-b2a2+(1-b2)22=a2+1-b22这里等号成立的条件是，a=1-b2； 同理，b1-a2b2+1-a22这里等号成立的条件是，b=1-a2，a1-b2+b1-a21 (*)而条件是a1-b2+b1-a2=1,即对于不等式(*)等号成立，即b=1-a2且a=1-b2即a2+b2=1。注：本题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖。例题3.已知x,yR,满足x+y=1,求(x+1x)2+(y+1y)2的最小值。解：(x+1x)2+(y+1y)2=x2+y2+x2+y2x2y2+4=x2+y21+1x2y2+4,这里x2+y2(x+y)22=12, xy(x+y)24=141x2y216(x+1x)2+(y+1y)2121+16+4=252.注：解答本题的关键是，如何运用好x+y=1，两次使用了基本不等式，但不矛盾。例题4. 求y=x+3-x的最大值。解：函数的定义域为x0,3,可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。但由于x与3-x的两式平方和为常数3，故应用基本不等式的变形公式简单些。(x+3-x)22(x)2+(3-x)2=6x+3-x6，当且仅当x=3-xx=320,3时成立，故ymax=6。例题5. 已知ab0,则a2+16b(a-b)的最小值为（ ）。解：a2+16b(a-b)a2+16(b+a-b2)2=a2+64a216,当且仅当a=22,b=2等号成立，a2+16b(a-b)的最小值为16.注：这里要求2元表达式的a2+16b(a-b)的最值，不能直接整体应用基本不等式（即不能直接整体消去a、b）而且也没有给出条件等式（即不可能代入消元）,因此，对局部b(a-b)用基本不等式的变形公式进行处理。例题6.若二次函数fx=ax2-4x+c的值域为0,+),则ca2+4+ac2+4的最小值为（ ）。解：由题意得a0,=16-4ac=0,即ac=4,c0, 则ca2+4+ac2+4=ca2+ac+ac2+ac=a2+c2ac(a+c)(a+c)22ac(a+c)=a+c2ac1ac=12，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以ca2+4+ac2+4的最小值为12。注：本题也可用消元法，由=16-4ac=0消去a或c，比较麻烦。例题7.已知a,b,c0,且a2+2ab+2ac+4bc=9,则a+b+c的最小值为 3 。例题8.已知a,b,c0,且a+b+c=1，则3a+1+3b+1+3c+1的最大值为（ ）。解：(3a+1+3b+1+3c+1)2=6+23a+13b+1+23b+13c+1+23c+13a+1 6+23a+1+3b+1+3c+1=18,当且仅当a=b=c=13等号成立，所求的最大值为18。例题9.已知函数fx=( xa-1)2+( bx-1)2的定义域是a,b,其中a,bR+且ab，(1)求fx的最小值；(2)若x11,s,x2s,4其中1s0,l1与函数y=log2x的图象从左至右相交于A,B,l2与函数y=log2x的图象从左至右相交于C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，ba的最小值为（ ）。解：在同一坐标系中作出y=m, y=82m+1m0,y=log2x图象，令log2x=m,得xA=2-m,xB=2m;令log2x=82m+1得xC=2-82m+1,xD=282m+1,a=xA-xC=2-m-2-82m+1b=xD-xB=282m+1-2m,故ba=282m+1+m由82m+1+m=122m+1+162m+1-1272,当且仅当2m+1=162m+1，即m=32取等号，故(ba)min=72。注：本题经过巧妙的”伪装”,将基本不等式融入到函数中，将文字语言转化为符号语言，实现基本不等式模型的构建，对学生的运算能力和思维水平提出了很高要求，具有较好的区分度。例题11. 若平面向量a,b满足2a-b3，则ab的最小值是（ ）。解：由2a-b3，两边平方，得4a2+b29+4ab，由基本不等式得：4a2+b24ab(当且仅当2a=b等号成立)。设为a,b夹角为(0,),则当2时，abab(当且仅当=0，等号成立)，因此9+4ab4a2+b24ab4ab(这里只能取-号)，即ab-98。注：本题将基本不等式与向量相结合，通过将向量的模平方，借助基本不等式和斜率数量积的性质，建立关于ab的不等式。此题视角独特，构思精心。例题12. 函数fx=acosax+(a0)图像上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是（ ）。解：如图，设函数y=fx图像上两相邻点中最高点为A,最低点为B且过A点平行与x轴的直线与过B点垂直于x轴的直线相交于C,则AC=T2=a,BC=2a,故AB2=(2a)2+(a)24(当且仅当a=2a,即a=22等号成立)，即AB2，故AB的最小值是：2。注：本题将基本不等式渗透到三角函数中，关键是运用三角函数的周期、振幅，合理表示出相邻的最低点与最高点的距离。此题情景新颖，自然贴切，这种不拘题型约束的命题方式是高考的一大亮点。例题13. 设an是等比数列，公比q=2，Sn为an的前n项和，记Tn=17Sn-S2nan+1。记Tn0为数列Tn的最大项，则n0=( ).解：由题意，Tn=17a11-qn1-q-a1(1-q2n)1-qa1qn=q2n-17qn+161-qqn,令t=qn0,则Tn=t2-17t+161-2t=12-1-t+16t+1792-1当且仅当t=16t，即t=4等号成立。故Tn0=92-1=9(2+1)，此时n0=4。注：本题将基本不等式嵌入数列解题中，运用数列的基本量及性质将条件转化为关于n的代数式，通过换元后转化为基本不等式模型。例题14. 一个四面体的一条长为x，其余所有棱长均为1，则此四面体体积V的最大值是（ ）。解：由题意得：Vx=112x3-x2,x0,3,则Vx=112x2(3-x2)3-x2+x22=18(当且仅当3-x2=x2，即x=62等号成立)，故V的最大值是18。注：本题把基本不等式与立体几何的相关知识进行交汇，如果学生对空间图形有较深刻的认识，可以准确建立V(x)的函数关系式以后求解，使问题的综合性进一步加强，充分体现出数学试题的多变性。例题15. 平面直角坐标系xoy中，已知点A(0，1),B点在直线y=-3上，M点满足MBMB，MAAB=MBBA,点M的轨迹为切线C,(1) 求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在得P处的切线，求O点到l的距离的最小值。解：(1)y=14x2-2过程略2设点Px0,y0为曲线C上一点，y=12x,所以l的斜率为12x0,故l的方程为y-y0=12x0x-x0,即x0x-2y+2y0-x02=0.则O点到l的距离d=2y0-x02x02+4,又y0=14x02-2,d=2y0-x02x02+4=12(x02+4+4x02+4)2(当且仅当x0=0等号成立)，O点到l的距离的最小值为2.第二节 “对勾”函数的图象、性质及应用“对勾”函数y=x+1x与基本不等式有着密切的联系，其图像如右图，y=x与x=0是函数图像的两条渐近线;当x0时,y=x+1x2,当且仅当x=1等号成立此结论可由基本不等式推导，即点A是函数y=x+1x在x0时的极小值点同时.也是函数增减区间的分点其坐标为1,2; 当x0时，y=x+1x-2,当且仅当x=-1等号成立，即点B是函数y=x+1x在x0)图像上的动点，若点P,A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为（ ）。解：点A(a,a)是直线y=x上的动点，点P,A之间的最短距离为22，即以A为圆心，半径22的动圆与函数y=1x(x0)图像相切时求a的值。依题意可画出草图， 点A在直线上运动时，凭直觉认为，动圆都会与函数y=1x(x0)的图像相切于点C(1,1)，因此不难求出a的两个值为-1或3；而这个答案是错的。事实上，当a0时，两图像的切点位置是与动圆半径大小有关的(如图)，只有半径较小时，才可能相切于C。y=1x(x0)(x-a)2+(y-a)2=(22)2(x-a)2+(1x-a)2=(22)2(x0) x2+1x2-2ax+1x+2a2-8=0x0 ,令t=x+1x2,则x2+1x2=t2-2，式可化为：t2-2at+2a2-10=0t2,=(-2a)2-42a2-10=0,解得a=10.注：解答本题有两个问题需要注意，一是用数形结合的方法解题时，直觉有可能是错误的；二是解析式x+1x与x2+1x2的可代换关系，这样的关系还存在于sinxcosx与sinxcosx; 1+x+1-x与1-x2等。如果将“对勾”函数 y=x+1x 变形为：y=ax+bx(a,bR),研究其图像、性质对解题是很有必要的。(1) y=ax+bx(a0,b0)此函数是由y=ax和y=bx叠加而成，通过分析两个简单函数的图像特征，画出其叠加函数的图像，是数学能力的一种体现。由图像可知:关于原点对称； x0时，函数存在极小值点A(ba,2ab); x0时，函数存在极大值点B(-ba,-2ab);递减区间为：(-ba,0), (0,ba), 递增区间为：(-,-ba),(ba,+);（两条性质可通过导数证明）存在两条渐近线：y=ax，x=0(渐近线在通过作图解题时，起作用)。(2) 其余的三种情况的图像如下：其性质由同学们自己小结，在此不在赘述。例题2.若函数y=f(x)的值域是12,3,则函数Fx=fx+1fx的值域是（ ）。解：设t=f(x)12,3,则Ft=t+1t,只要画出函数的图像可知：Ft2,103.注：本题看似简单，但f(x)取不同的表达式时，情况可能变得很复杂。例题3. 设定义在(0,+)上的函数fx=ax+1ax+b(a0)求fx的最小值。解1.（基本不等式法）a0,x0,fx=ax+1ax+b2ax1ax+b=b+2,当且仅当ax=1ax即x=1a时等号成立，fminx=b+2.解2.（判别式法）设y=fx，则有a2x2+ab-yx+1=0 ,显然=a2(b-y)2-4a20,解得yb+2或yb-2(舍去)，x0，故应将y=b+2代入得：a2x2-2ax+1=0即x=1a0,因此fminx=b+2。（注：当主元x有范围使用判别式法时，都应将所求最值回代，检验x的解是否在给定的范围内）解3.（求导数法）由题意f(x)=a-1ax2=ax+1(ax-1)ax2,a0,x0f(x)0,有x1a;fx0,有0x1a时，函数fx单调递增；当0x0)求fx的最小值。变式2：设定义在(0,)上的函数fx=asinx+1asinx+b(a0)求fx的最小值。变式3：设定义在0,+)上的函数fx=aex+1aex+b(a0)求fx的最小值。变式4：设函数fx=aex+1aex+b(a0)求fx的最小值。变式5：设定义在(1,+)上的函数fx=logax+1logax+b(a0,a1)求fx的最值。注：以上5个变式，若以填空题的形式解答，可使用变量代换，用“对勾”函数的图象直接得到答案；若以解答题的形式解答，应使用求导数的方法证明。变式6：讨论函数fx=axn+caxn+b(a0,c0,n取正整数)。解：fx=anxn-1-cnaxn+1=n(a2x2n-c)axn+1,当n为奇数时，函数是奇函数，只要讨论x0即可。fx0x2nca2,fx00x0即可。fx0x2nca2,fx00x0,函数fx在(0,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增，则fx在14,1上的最大值为maxf14,f1.由对a12,2, 不等式fx10在14,1上恒成立,有f1410f110即b394-4ab9-a 对a12,2成立b(394-4a)min=74b(9-a)min=7 解得b(-,74.注：将不等式恒成立问题转化为最值问题，是常见的转化形式。变换主元，把fx看成关于a的一次函数fa=1xa+x+b,对a12,2,x14,1, 不等式fa10恒成立(分两步进行)，f(a)max=f2=2x+x+b10,x14,1恒成立，y=2x+x+b在14,1上单调递减ymax=14+8+b10,解得：b(-,74.练习1.若关于x的方程4x+a+32x+5=0至少有一个实根在区间1,2内,则实数a的取值范围是( ).-334,3-25练习2.若4xbc0,求2a2+1ab+1a(a-b)-10ac+25c2最小值 (4) 第三节 判别式法解题利用一元二次方程的判别式求某些函数的值域或极值的方法，称为判别式法。判别式法的使用通常是对含有参数的二次方程。例题1.求函数y=x2-x+1x2+x+1的值域。解：由判别式可知分母x2+x+10(x2+x+10,xR)，两边同乘以x2+x+1得：y-1x2+y+1x+y-1=0,将此式看成是x的方程，必有实数解，=y+12-4y-1y-10解得：13y3，即函数y=x2-x+1x2+x+1的值域为13,3.例题2. 求函数y=x+4x2-x-2的值域。解：当x=2或x=-1时分母虽然为0，但分子x+40，变形后仍然可得到关于x的二次方程，将函数的两边同乘x2-x-2得：yx2-(y+1)x-2(y+2)=0,此方程x显然有实数解，=y+12+8yy+20,解得：y-3+223或y-3-223，二次项系数y0，函数y=x+4x2-x-2的值域为y-3+223或y-3-223注：在使用判别式法求分式函数的值域时，应注意两点：一是分式的表达式不能约分，二是变形后，二次项系数为0的y在求得的y的范围内，要代入方程验证。例题3. 求函数y=x2+4x+3x2+x-6的值域解：y=x2+4x+3x2+x-6=x+3x+1x+3x-2,由函数的定义域知x-3，y=x+1x-2=1+3x-2 3x-20，式的值域为y1;再将x=-3代入式,得到的y=25须删除,函数y=x2+4x+3x2+x-6的值域-,2525,11,+。注：函数的表达式中的分式，可约分时应先约分，再求值域，最后删除定义域中不存在点所对应的函数值。例题4. 设a1,d为实数，且首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，求公差d的取值范围。解：S5=5a1+10d,S6=6a1+15d,将其代入S5S6+15=0并化简得：2a12+9da1+10d2+1=0 *此式可看成是关于a1的二次方程，=(9d)2-810d2+10，解得：d-22或d22。注：由于方程(*)中的a1R，0是方程有解的充要条件，因此不必要再对结果进行检验了。本题也可以求a1的取值范围，方法相同。例题5. a,b0, a+b+ab=30,试问实数a,b为何值时，ab取得最大值？解1：利用基本不等式（略）。解2：设y=ab,则b=ya代入题设等式并整理得：a2+y-30a+2y=0 (*)=y-302-8y0，解得：y50或y18。由a,b0知0y0，所以(ab)max=18.注：把(*)式看成关于a的二次方程，0是方程在0,+上有解的必要条件(不是充要条件)，因此需要通过检验说明最值的取得是合理的。变式：已知实数a,b,c满足a+b+c=9,ab+bc+ca=24,则b的取值范围是（1b5 ）。例题6. 如图建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-1201+k2x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。解：(1)令y=kx-1201+k2x2=0，解得：x1=0舍去，x2=20k1+k2=201k+k10千米.(2)设飞行物的坐标为(a,3.2)(a0),要击中飞行物，其坐标必须在炮弹飞行的轨迹方程上，即3.2=ka-1201+k2a2,整理成关于k的二次方程得：a2k2-20ak+a2+64=0 *=(-20a)2-4a2(a2+64)0,解得：-6a6.由k0,要检验，将a=6代入(*)式，解得k=530,a的最小值为6.注：把(*)式看成关于k的二次方程，0只是方程在(0,+)上有解的必要条件并不充分，应当通过检验“当a=6，k=530”说明a能取得最大值6.例题7. 如图某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO.OP,设排污管道的总长为y km.(1) 按下列要求写出函数关系式：设BAO=rad,将y表成的函数关系式；设OP=x(km),将y表成x的函数关系式；(2) 请选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。解:(1) 由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP，所以， 所求函数关系式为若OP