时钟问题的经典解法

17 . 时钟问题就是行程问题，两个人速度不一样同向走，后面的追前面的，确定要追的路程。在初始时刻需追赶的格数（1-1/12）=追及时间（分钟），其中，1-1/12为分针每分钟比时钟多走的格数。时针 ： 分钟1格 ： 12格X/12 ： X1）在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？第一次垂直，时针和分钟差15分钟10+X-X/12=15 =11/12X=5 =X=5*12/11=5又5/11分钟所以第一次垂直时，10点5又5/11分钟第二次垂直，时针和分钟差15分钟50+X/12-X=15 =11/12X=35 =X=12*35/11=420/11=38又2/11分钟所以第二次垂直时，10点38又2/11分钟2）现在是2点15分，再过几分钟，时针和分针第一次重合？ 因为要重合肯定是在3点15分之后，所以从三点开始算15+X/12=X 时钟走的格子数和分钟走的格子数相同=15=11/12X =X=16又4/11分钟所以第一次重合的时间是3点16又4/11分钟需要经过的时间是45+16又4/11=61又4/11分钟3）在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针之间的夹角为120？ 第一次夹角成120，时针和分钟差20分钟35+X/12-X=20 =11/12X=15 =X=180/11=16又4/11所以时间是7点16又4/11分钟第二次夹角成120，时针和分钟差20分钟正好是8点整4）小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小明解题共用了多少时间？答案：32又2/11分钟开始分针与时针正好成一条直线，时针和分钟差30分钟35+X/12-X=30 =11/12X=5 =X= 60/11= 5又5/11分钟所以此时是7点5又5/11分钟后来两针正好重合，时针和分钟差0分钟35+X/12-X=0 =11/12X=35 =X= 420/11=38又2/11所以此时是7点38又2/11那么时间差是38又2/11 5又5/11 = 32又8/11分钟5）.一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次.问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟？答案：快10又10/143分钟（按旧钟上的时间） 正常的时钟应该是12小时重合11次, 所以重合一次需要的时间是12/11*60=720/11=65又5/11分钟将小时折算成分钟12/11*60-65 X 12*60-65*11 X- = - =- =- 65 24*60 65*11 24*60=X=（720-715）*1440/715=1440/143=10又10/143分钟因此这只旧钟快了10又10/143分钟时钟问题的经典解法 2009-7-1 来源：公务员百事通 时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/（11/12）=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。例3：在8时多少分，时针与分针垂直？8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格（分针落后时针），也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/（11/12）=300/11分钟；另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格（但分针超过时针），也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/（11/12）=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出，求解此类问题（经过多少时间，分针与时间成多少夹角）时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/（11/12）=180/11分钟。例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/（11/12）=540/11分钟。例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。 专题介绍钟面上有时针与分针，每针转动的速度是确定的。 分针每分钟旋转的速度：360606 时针每分钟旋转的速度：360(1260)05 在钟面上总是分针追赶时针的局面，或是分针超越时针的局面。这里的转动角度用度数来表示，相当于行走的路程。因此钟面上两针的运动是一类典型的追及行程问题。经典例题例1 钟面上3时多少分时，分针与时针恰好重合？ 分析 正3时时，分针在12的位置上，时针在3的位置上，两针相隔90。当两针第一次重合，就是3时过多少分。在正3时到两针重合的这段时间内，分针要比时针多行走90。而可知每分钟分针比时针多行走60555(度)。相应的所用的时间就很容易计算出来了。 解 360123= 90(度) 90(605) 90551636(分) 答 两针重合时约为3时1636分。例2 在钟面上5时多少分时，分针与时针在一条直线上，而指向相反？ 分析 在正5时时，时针与分针相隔150。然后随时间的消逝，分针先是追上时针，在此时间内，分针需比时针多行走150，然后超越时针180就成一条直线且指向相反了。 解 360125=150(度) (150 180)(6 05) 60(分) 5时60分即6时正。 答 分针与时针在同一条直线上且指向相反时应是5时60分，即6时正。例3 钟面上12时30分时，时针在分针后面多少度？ 分析 要避免粗心的考虑：时针在分针后面180。正12时时，分针与时针重合，相当于在同一起跑线上。当到12时30分钟时，分针走了180到达6时的位置上。而时针在同样的30分钟内也在行走。实际上两针相隔的度数是在30分钟内分针超越时针的度数。 解 (605)30=553=165(度) 答 时针在分针后面165度。例4 钟面上6时到7时之间两针相隔90时，是几时几分？ 分析 从6时正作为起点，此时两针成180。当分针在时针后面90时或分针超越时针90时，就是所求的时刻。 解 (18090)(605) 90 55 16.36(分钟) (180 90)(6 05) 27055 4909(分钟) 答 两针相隔90时约为6时1636分，或约为6时4909分。时钟问题（追及问题）的简便解法(2009-01-23 12:50:01) 标签：时钟 分针 时针 夹角 解法 分类：数学教育题1：现 4：05，问，多少分钟以后两针第一次重合。【方法一】分针 每分钟走 1 小格，5 分钟走 5 格时针 每小时走 5 小格，每分钟走 5/60 = 1/12 格，5 分钟走 5/12 格，两针相距 205 + 5/12 = 185/12 格设x 分钟以后，两针相遇分针又走了x 格，时针又走了 x/12 格，就有x- 15=5/12 + x/12或 (1 - 1/12)= 185/12 解得 X = 16又9/11（分）【方法二】简便 设 4 点 x 分两针相遇从 4 点开始，分针走了 格，时针从 4（20格）开始，走了 /12 格 12 = 2021又9/11 即是：4点21又9/11分两针重合。减去已走过的5分钟，就是 16又9/11（分）。答：16又9/11分钟以后，两针重合。【扩展题计算相遇时钟时间】如果计算两针夹角90，/12=35 38.18 如果两针相背（夹角180），方程为/12=54.55 如果两针都与垂直线夹角相等（八字眉），/12=40=36.92* 这道题，还可以变换角度，30、60、120、150 。* 还可以取两个方向夹角。* 还可以设成1点、2点、3点、5、6、7、8点。方程都是 （）/12 = （5的倍数）