第六章自旋与全同粒子案例.ppt

,（一）Stern-Gerlach实验(二）光谱线精细结构（三）电子自旋假设（四）回转磁比率,1电子自旋的实验证据,第六章自旋与全同粒子,赣南师范学院物理系,（1）实验描述,处于S态的氢原子,（2）结论,I。氢原子有磁矩因而在非均匀磁场中发生偏转,II。氢原子磁矩只有两种取向即空间量子化的,基态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。,（一）Stern-Gerlach实验,（3）讨论,磁矩与磁场之夹角,原子Z向受力,分析,若原子磁矩可任意取向，则cos可在（-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带,但是实验结果是：出现的两条分立线对应cos=-1和+1，处于基态的氢原子=0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。,钠原子光谱中的一条亮黄线5893，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。,其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释,（二）光谱线精细结构,乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设,（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：,（三）电子自旋假设,（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：,自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：,Bohr磁子,（1）电子自旋回转磁比率,我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：,（2）轨道回转磁比率,则，轨道回转磁比率为：,可见电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍,（四）回转磁比率,2自旋算符和自旋波函数,（一）含自旋的状态波函数（二）自旋算符（三）自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵（四）含自旋波函数的归一化和几率密度（五）自旋波函数（六）力学量平均值,因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用(x,y,z)三个坐标变量外，还需要一个自旋变量(SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：,由于SZ只取/2两个值，所以上式可写为两个分量：,（一）含自旋的状态波函数,若已知电子处于Sz=/2或Sz=-/2的自旋态，则波函数可分别写为：,写成列矩阵,规定列矩阵第一行对应于Sz=/2，第二行对应于Sz=-/2。,自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别,通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数:,而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。,与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为,（二）自旋算符,自旋角动量轨道角动量异同点:,由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取/2两个值,算符的本征值是,仿照,自旋量子数s只有一个数值,（1）SZ的矩阵形式,电子自旋算符（如SZ）是作用于电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示成了21的列矩阵，那么，电子自旋算符的矩阵表示应该是22矩阵。,因为1/2描写的态，SZ有确定值/2，所以1/2是SZ的本征态，本征值为/2，即有：,矩阵形式,（三）自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵,同理对1/2处理，有,最后得SZ的矩阵形式,SZ是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值/2。,（2）Pauli算符,1.Pauli算符的引进,因为Sx,Sy,Sz的本征值都是/2，所以x,y,z的本征值都是1；x2,y2,Z2的本征值都是,2.反对易关系,基于的对易关系，可以证明各分量之间满足反对易关系:,证：,左乘y,右乘y,同理可证:x,y分量的反对易关系亦成立.证毕,或,y2=1,由对易关系和反对易关系还可以得到关于Pauli算符的如下非常有用性质：,3.Pauli算符的矩阵形式,根据定义,求Pauli算符的其他两个分量,令,X简化为：,令：c=expi(为实），则,由力学量算符厄密性,得：b=c*(或c=b*),x2=I,求y的矩阵形式,这里有一个相位不定性，习惯上取=0，于是得到Pauli算符的矩阵形式为：,写成矩阵形式,从自旋算符与Pauli矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：,课堂练习：（1）由对易关系和反对易关系得出,（2）由自旋算符的矩阵形式得出上式。,（1）归一化,波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即,（四）含自旋波函数的归一化和几率密度,（2）几率密度,表示t时刻在r点附近单位体积内找到电子的几率,表示t时刻r点处单位体积内找到自旋Sz=/2的电子的几率,表示t时刻r点处单位体积内找到自旋Sz=/2的电子的几率,在全空间找到Sz=/2的电子的几率,在全空间找到Sz=/2的电子的几率,波函数,通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，此时可以写成如下形式：,（五）自旋波函数,其中是的本征函数，称为自旋波函数,求：自旋波函数(Sz),SZ的本征方程,令,因为Sz是22矩阵，所以在S2,Sz为对角矩阵的表象内，1/2,-1/2都应是21的列矩阵。,代入本征方程得：,由归一化条件确定a1,所以,二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交,引进自旋后，任一自旋算符的函数G在Sz表象表示为22矩阵,算符G在任意态中对自旋求平均的平均值,（六）力学量平均值,算符G在态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是：,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自