数学建模模糊数学方法

数学建模模糊数学方法,主讲人：张先君,模糊数学方法,模糊集的基本概念模糊综合评判模糊聚类分析,模糊集的基本概念,模糊子集与隶属函数隶属函数的确定模糊矩阵及运算与性质,模糊子集与隶属函数,设U是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例设论域,，,例设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,还可用向量表示法A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1),模糊集的运算,相等：A=BA(x)=B(x)；包含：ABA(x)B(x)；并：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).,例设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”B=“商品质量坏”，并设,A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).,则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.,Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).,可见AcB,BcA.,又AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).,隶属函数的确定,1.模糊统计方法,与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.,2.指派方法,一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。,3.借用已有的“客观”尺度,模糊矩阵,设R=(rij)mn，若0rij1，则称R为模糊矩阵.当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.当模糊方阵R=(rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.,模糊矩阵及运算与性质,模糊矩阵间的关系及并、交、余运算,设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，定义相等：A=Baij=bij；包含：ABaijbij；并：AB=(aijbij)mn；交：AB=(aijbij)mn；余：Ac=(1-aij)mn.,设A=(aik)ms，B=(bkj)sn，称模糊矩阵AB=(cij)mn，为A与B的合成，其中cij=(aikbkj)|1ks.,模糊矩阵的合成,模糊方阵的幂定义：若A为n阶方阵，定义A2=AA，A3=A2A，Ak=Ak-1A.,模糊矩阵的转置,定义设A=(aij)mn,称AT=(aijT)nm为A的转置矩阵，其中aijT=aji.,转置运算的性质：,性质1：(AT)T=A；性质2：(AB)T=ATBT，(AB)T=ATBT；性质3：(AB)T=BTAT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：ABATBT.,模糊矩阵的截矩阵,设A=(aij)mn,对任意的0,1，称A=(aij()mn,为模糊矩阵A的-截矩阵,其中当aij时，aij()=1；当aij时，aij()=0.显然，A的-截矩阵为布尔矩阵.,模糊综合评价模型,对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因素很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较全面而又定量化的评价，是提高领导决策能力和管理水平的一种有效方法。,模糊综合评价的基本步骤：,（1）首先要求出模糊评价矩阵P，其中P表示方案X在第i个目标处于第j级评语的隶属度，当对多个目标进行综合评价时，还要对各个目标分别加权，设第i个目标权系数为W，则可得权系数向量：A（W1，W2，W）,（2）综合评判利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量BBAP（其中为模糊乘法），根据运算的不同定义，可得到不同的模型,模型1M（，V）主因素决定型,模型2M（，）主因素突出型,模型3M（，+）加权平均型,例1：对某品牌电视机进行综合模糊评价,设评价指标集合：U图像，声音，价格；评语集合：V很好，较好，一般，不好；,首先对图像进行评价：假设有30%的人认为很好，50%的人认为较好，20%的人认为一般，没有人认为不好，这样得到图像的评价结果为（0.3,0.5,0.2,0)同样对声音有：0.4,0.3,0.2,0.1)对价格为：（0.1,0.1,0.3,0.5)所以有模糊评价矩阵：,设三个指标的权系数向量：A图像评价，声音评价，价格评价（0.5,0.3,0.2)应用模型1，bj=max(airij)有综合评价结果为：BAP（0.3,0.5,0.2,0.2)归一化处理：B（0.25,0.42,0.17,0.17)所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。,例2：对科技成果项目的综合评价,有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中评选出优秀项目。,三个科研成果的有关情况表,设评价指标集合：U科技水平，实现可能性，经济效益评语集合：V高，中，低评价指标权系数向量：A（0.2，0.3，0.5）,专家评价结果表,由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自的评价矩阵P、Q、R：,求得：,归一化后得：,所以项目乙可推荐为优秀项目,因素集：U=政治表现及工作态度，教学水平，科研水平，外语水平；评判集：V=好，较好，一般，较差，差；,例3：“晋升”的数学模型，以高校教师晋升教授为例,（1）建立模糊综合评判矩阵,当学科评审组的每个成员对评判的对象进行评价，假定学科评审组由7人组成，用打分或投票的方法表明各自的评价,例如对王，学科评审组中有4人认为政治表现及工作态度好，2人认为较好，1人认为一般，对其他因素作类似评价。,（2）综合评判,以教学为主的教师，权重A1=(0.2,0.5,0.1,0.2)以科研为主的教师，权重A2=(0.2,0.1,0.5,0.2),B1=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)B2=(0.2,0.2,0.5,0.14,0.14),归一化（即将每分量初一分量总和），得B1=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)B2=(0.17,0.17,0.42,0.12,0.12),若规定评价“好”“较好”要占50%以上才可晋升，则此教师晋升为教学型教授，不可晋升为科研型教授,例4：利用模糊综合评判对20加制药厂经济效益的好坏进行排序因素集：U=u1,u2,u3,u4为反映企业经济效益的主要指标其中u1：总产值/消耗；u2：净产值；u3：盈利/资金占有；u4：销售收入/成本，评判集：V=v1,v2,v20为20家制药厂,（1）建立模糊综合评判矩阵,即rij表示第j个制药厂的第i个因素的值在20家制药厂的同意因素值的总和中所占的比例，得到模糊综合评判矩阵R=(rij)420,（2）综合评判,按从小到大的次序排序，这20家制药厂的经济效益的好