二面角的计算方法精讲

二面角的计算方法很精致二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的必备内容，本文主要通过几个典型的例子说明二面角的三种基本计算方法，供学生们参考。一、直接法：建立二面角的平面角，然后利用求解三角形的知识进行求解。 通常，建立二面角的平面角的方法如下：图1定义法：通过在二面角的棱上取特殊的点，从这个点开始在二面角的两个面内分别做棱的垂线三垂线法：图1、c在二面角面内其中之一是o，只是ODAB在d中，连接CD，在三垂线定理中CDO求出二面角的平面角。垂直面法：在二面角的棱上取一点，将该点作为平面，垂直于二面角的棱，与二面角的两个面的交线所成的角是该二面角的平面角。例1如图2所示，在四角锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面VAD为正三角形平面VAD底面ABCD。(1)证明ab平面VAD(2)求出面VAD与面VDB所成的二面角的大小。解： (1)证明：(2)解：取VD的中点e，连接AF、BE22222222222222222222222222从勾股定理AEVD、BEVDaeb是求出的二面角的平面角在RtABE中为873bae=90，AE=AD=AB因此，tanAEB=所要求的二面角的大小例2图3、AB平面BCD、DCCB、AD与平面BCD构成30角，AB=BC .(1)求出ad与平面ABC所成的角的大小(2)求出二面角C-AD-B的大小(如果AB=2，则求出从点b到平面ACD的距离。解： (1) AB平面BCDADB是AD与平面BCD所成角，即ADB=300，是CDABDCBC，CD平面ABCad与平面ABC所成的角为DAC若设AB=BC=a，则为AC=、BD=acot300=、AD=2a、 tanDAC=，2222卡卡卡卡卡卡卡即，AD与平面ABC所成角度为450 .(将CEBD设为e，取AD的中点f，连接CF111111000艾艾艾艾艾面ABD面BCD另外，面ABD面BCD=BD、CEBDce面ABDAC=BC=、AF=FD、ADEF由有三垂线定理的逆定理可知，CFE是求二面角的平面角根据计算卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6因此，求出的二面角为arcsin例3如图4所示，p是具有边长为1正六边形ABCDEF的平面外一点，p是投影到平面ABC内的BF上的中点o .(一)证明的(2)求出面与面所成的二面角的大小。解： (1)在正六边形ABCDEF中，是等腰三角形设p向平面ABC内的投影为opo平面ABFao是PA在平面ABF内的投影另外，o是BF的中点，是等腰三角形 AOBF因为有三垂线定理，所以PABF .(2)O是BF的中点，ABCDEF是正六边形a、o、d共线且直线ADBF111111222星际航空653从三垂线定理，ADPB过o在平面PBF内使OHPB为h，连接AH、DH则成为PB平面AHD，因此求出二面角平面角.另外，正六边形ABCDEF的边的长度为1，222222222222222222，灬所以求得的二面角二、面积射影法：如图5所示，设二面角为锐二面角、abc为半平面内、abc为平面内的投影为A1B1C1时，为二面角的大小.例4在图6、矩形ABCD中，AB=6、BC=，沿对角线BD使点a移动到点p，将p在平面BCD内投影设为o，将o设为DC .(1)求证书：PDPC(2)求出二面角P-DB-C平面角的馀弦值(3)求出CD与平面PBD所成的角的正弦值。: (1)证明：pc在面BCD内的投影是OC，是OCBC根据三垂线定理，计算BCPC，另外，PB=6，BC=PC=而且PD=、DC= 36=DC，8756； pdpc(2).设OC=x，则OD=6-x，87岁2220设二面角P-DB-C的大小为三、空间向量法：I .用传统方法建立二面角的平面角，并利用向量的角度公式进行计算。例5如图7所示，在直角二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，f在CE上的点，是BF平面ACE .(1)寻求证据： AE平面BCE；(2)求出二面角B-AC-E的大小(3)求出从点d到平面ACE的距离。解： (1)二面角D-AB-E为直角二面角，AB为棱，CBABCB平面EAB，还有CBAE另外， BF平面ACE、8756； AEBF然后是8756； ae平面BCE。(2)连接BD AC与点o相交，连接OF，由于ABCD是正方形，所以OBAC另外，因为BF平面ACE，所以从三垂线定理的逆定理得出OFACBOF是求出二面角平面角在平面ABE内设为AxAB，将a设为原点，将Ax、AB、AD设为x轴、y轴、z轴，确立图7那样的空间直角坐标系，由于容易理解AEB是等腰三角形，因此能够判断a (0，0，0，0 )、o (0，1，1 )、b (0，2，0 )、c(0，2，2 )、e (1，1，0 )、f (1，1，0 )、c (0，2，2 )、c (0，2，2 )、e (1，2，0 )、f (0，2，2，0 )、c (022202220又是 BFAC、222022202220因此，求出的二面角为arccosII .直接求出平面的法线矢量，根据矢量的角度式求出的角度，根据法线矢量相对于二面角的方向决定二面角的大小。 一般而言，法线向量从二面角的内部通过外部(或从外部通过内部)时，二面角的大小为角度的补偿角法线向量从一方通过二面角的内侧通过外侧，另一方通过二面角的外侧通过内侧时，二面角的大小为角度。例6 (2006年四川卷)如图8所示，在长方体中，分别是中点，分别是中点(I )寻求证据：面(ii )求出二面角的大小。(iii )求三角锥的体积。解：考虑原点，将某条直线分别作为轴、轴、轴、正交坐标系每一个都是中点2220(1)取，明显的脸另外，1且面8756； 表面(2)很明显，设为平面ABCD的一个法线向量即平面PAE的法