2017届高考全真模拟预测考试(第2次考试)---全国卷理科数学试题

.2017届高考全真模拟预测考试（第2次考试）理科数学试题命题：tangzhixin 时量120分钟满分150分一、选择题：共12题1若(m+i)2为实数,其中i为虚数单位,则实数m的值为A.1B.0C.-1D.12已知全集U=xZ|0x10,集合A=1,2,3,4,B=x|x=2a,aA,则(UA)B=A.6,8B.2,4C.2,6,8D.4,83在二项式(+)n的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=1 056,则n的值为A.3B.4C.5D.64若变量x,y满足不等式组,则()x+y的最小值为A.B.C.D.5已知数列是公差为2的等差数列,且a1=-8,则数列an的前n项和Sn取最小值时n的值为A.4B.5C.3或4D.4或56若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a的值为A.-1或-B.-C.-2D.-3或-7设A,B是椭圆+y2=1上的两个动点,O是坐标原点,且AOBO,作OPAB,垂足为P,则|OP|=A.B.C.D.8已知函数f(x)=2cos(x)cos2-sin(x)sin-cos(x)(0)的部分图象如图所示,则图中的x0的值为A.B.C.D.9运行如图所示的程序框图,则输出的S为A.1 008B.2 016C.1 007D.-1 00710已知O为等边三角形ABC内一点,且满足+(1+)=0,若三角形OAB与三角形OAC的面积之比为31,则实数的值为A.B.1C.2D.311已知三棱锥S-ABC的四个顶点都在球面上,SA是球的直径,ACAB,BC=SB=SC=2,则该球的表面积为A.4B.6C.9D.1212已知函数f(x)=,且f(a2)=.若当0x1x23;(2)若不等式f(x)g(x)对任意的xR恒成立,求m的取值范围.参考答案1.B【解析】本题主要考查复数的有关概念和乘法运算,考查考生对基础知识的掌握情况.解题时,先利用完全平方公式进行乘法运算,再根据实数的概念求解.(m+i)2=m2-1+2mi为实数,2m=0,m=0,故选B. 2.A【解析】本题考查集合的定义以及集合的交、补运算等.首先根据集合的定义求出集合B,然后进行集合的运算;也可利用排除法进行求解.通解由已知得全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,所以UA=5,6,7,8,9,而B=2,4,6,8,故(UA)B=6,8,所以选A.优解因为2,4A,所以2,4UA,故2,4(UA)B,所以排除B、C、D,所以选A. 3.C【解析】本题主要考查二项式定理的应用.解题时,首先令x=1写出A关于n的表达式,结合二项式系数之和为2n即可求得n的值.在二项式中令x=1,得各项系数之和A=4n,又B为各项二项式系数之和,则B=2n,故A+B=4n+2n=+2n=1 056,得2n=32,n=5,选C. 4.C【解析】本题考查不等式组表示的平面区域和指数函数的最值.一般地,线性规划问题的最优解在可行域的边界或顶点处获得.通解作出约束条件表示的可行域,如图中OAB(内部及边界)所示,再作直线l:x+y=0,向上平移直线l,则z=x+y增大,当过点B(2,4)时,z=x+y取得最大值6,因此()x+y的最小值为.优解由得顶点坐标分别为(-6,0),(0,0),(2,4),分别代入z=x+y知,z的最大值为6,因此()x+y的最小值为. 5.D【解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和,考查考生的运算能力.根据题意,=a1+2(n-1)=2n-10,an=n(2n-10).由an=n(2n-10)0得,n5,当n5时,an5时,an0,当n=4或5时,Sn最小. 6.A【解析】本题主要考查导数的几何意义,考查考生的运算能力.设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),则切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=.当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1. 7.A【解析】本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系以及直角三角形的面积,考查考生的运算求解能力.解题时,结合图形不妨设A(a,ka),B(-kb,b),代入椭圆方程进行化简求解,注意三角形面积相等的应用.设A(a,ka),B(-kb,b),则+k2a2=1,+b2=1.所以a2=,b2=,故|OP|=. 8.D【解析】本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质,考查考生的运算求解能力.解题时,先根据三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,然后结合函数的图象求得x0的值.f(x)=2cos(x)cos2-sin(x)sin-cos(x)=cos(x)(2cos2-1)-sin(x)sin=cos(x)cos-sin(x)sin=cos(x+).由题图可知,cos=,又0,=,又cos(x0+)=,x0+,x0=. 9.A【解析】本题主要考查程序框图.解题时,先根据程序框图计算,然后从中找出规律即可,需注意循环结束的条件.k=1,S=0;k2 016,S=0+(-1)01=1,k=1+1=2;k2 016,S=1+(-1)12=-1,k=2+1=3;k2 016,S=-1+(-1)23=2,k=3+1=4;k2 016,S=2+(-1)34=-2,k=4+1=5;k2 016,S=-2+(-1)45=3,k=5+1=6;k2 016,S=3+(-1)56=-3,k=6+1=7;当k=2 015时,k2 016,S=-1 007+(-1)2 0142 015=1 008,k=2 015+1=2 016.故输出的S为1 008. 10.A【解析】本题考查平面向量基本定理、平面向量的线性运算等知识,考查考生的数形结合思想、化归与转化思想等.因为+(1+)=0,所以+(+)=0.如图所示,D,E分别为BC,AC的中点,由向量加法的平行四边形法则可知+=2,(+)=2,故=-,连接AD,在等边三角形ABC中,因为SAOC=SAOB=SABC=SABC=SADC,故点O到AC的距离等于点D到AC的距离的,故,=-,由可知=. 11.B【解析】本题主要考查球的表面积、勾股定理等,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.由题意知,ACSC,ABSB,又BC=SB=SC=2,所以RtSACRtSAB,则AC=AB.又ACAB,所以AC=AB=,SA=,则球的半径R=,球的表面积为4R2=6. 12.B【解析】本题以分段函数为切入点,主要考查函数的单调性、二次函数的值域等知识,考查考生的转化与化归意识、综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.x1f(x2)=x1f(x1)=x1(6x1+1)=6+x1,从而将问题转化为二次函数求值域,确定变量的取值范围是解决本题的关键.因为0a1,所以0a2a,故f(a2)=12a3+1=,解得a=.所以f(x)=.当0x时,f(x)=6x+1单调递增,且1f(x)4,当x1时,f(x)=x+2单调递减,且2f(x)3.因为当0x1x21时,f(x1)=f(x2),所以0x1x21.令f(x1)=2,得x1=,令f(x1)=3,得x1=,所以x1.又x1f(x2)=x1f(x1)=x1(6x1+1)=6+x1,所以x1f(x2)在(,上单调递增,故x1f(x2)的取值范围为(,1. 13.28.5【解析】本题考查茎叶图、中位数、平均数等统计知识,考查考生对基础知识的掌握情况和基本的计算能力.由题意,得=29.2,解得x=8,则这10个数据的中位数是=28.5. 14.2(+)【解析】本题考查三视图和几何体表面积的求解,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.由三视图可得该几何体为两个半圆锥的对接图形,且对接的是底面,由题意知,圆锥的底面圆的半径为1,母线长为2,所以该几何体的表面积为22+22=2(+). 15.4+2【解析】本题主要考查三角形中的三角恒等变换等知识,考查考生的转化与化归意识、综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.由题意得=2,因为A+B1,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x11得,的取值范围为(1,7+4). 17.(1)由(an-an+1)g(an)=f(an)(nN*)得,4(an-an+1)(an-1)=(nN*).由题意an1,所以4(an-an+1)=an-1(nN*),即3(an-1)=4(an+1-1)(nN*),所以.又a1=2,所以a1-1=1,所以数列an-1是以1为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)得an-1=()n-1,bn=.则Tn=+,Tn=+,-得,Tn=+-=1+-=2-=2-.所以Tn=3-.【解析】本题主要考查等比数列的概念、通项公式以及错位相减法求和,考查考生的运算求解能力和推理论证能力.(1)根据等比数列的定义证明数列an-1为等比数列;(2)由(1)得到an,再利用错位相减法求出数列bn的前n项和Tn.【备注】高考对于数列问题的考查一般是等差数列、等比数列两个特殊数列的定义、通项公式、前n项和公式,利用裂项相消法、错位相减法等求和,有时也与函数、导数、不等式等知识综合考查.18.(1)由在这89人中随机抽取1人,抽到无酒驾习惯的概率是,可得无酒驾习惯的人数为57.从而得下表:(2)由题意可知,抽取的8人中男性6人,女性2人.X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为X的数学期望EX=0+1+2.【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望等知识,考查考生的阅读理解能力、运算求解能力、解决实际问题的能力.【备注】在计算离散型随机变量的数学期望与方差时,首先要搞清其分布特征和分布列,然后要准确运用公式求解.这类问题往往可以利用题目提供的信息,检验答案是否合理,若结果与题目本身的合理性矛盾,一般可以断定出了错误.19.(1)连接BE.在PAD中,PA=PD,AE=ED,所以PEAD.又平面APD平面ABCD,平面APD平面ABCD=AD,所以PE平面ABCD,故PEBD.在四边形BCDE中,BCDE,且BC=DE,所以四边形BCDE为平行四边形,又BC=CD,所以四边形BCDE为菱形,故BDCE.又PEEC=E,所以BD平面PEC,又BD平面PBD,所以平面PEC平面PBD.(2)取BC的中点F,连接EF.由(1)可知,BCE是一个正三角形,所以EFBC,又BCAD,所以EFAD.又PE平面ABCD,故以E为坐标原点,分别以直线EF、直线ED、直线EP作为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设PE=t(t0),则D(0,2,0),A(0,-2,0),P(0,0,t),F(,0,0),B(,-1,0).因为BD平面PEC,所以=(-,3,0)是平面PEC的一个法向量,又=(,-1,-t),所以cos=.由已知可得sin=|cos|=,得t=2.故P(0,0,2),=(,-1,-2),又=(,1,0),设平面APB的法向量为n=(x,y,z),则由,可得,即.取y=-,则x=,z=,故n=(,-,)为平面APB的一个法向量,所以cos=.设平面APB与平面PEC所成的锐二面角为,则cos=|cos|=.【解析】本题考查几何体的结构特征、面面垂直的证明、直线和平面所成的角以及二面角的求解、空间向量的应用等,考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力等.(1)首先得到PEBD,再分析四棱锥底面的性质,证明BDCE,即可证得BD平面PEC,最后利用面面垂直的判定定理证得结果;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,利用已知的线面角确定P的坐标,然后利用两个平面的法向量求解二面角即可.【备注】解决空间角的求解问题,首先需要根据几何体的结构特征建立合理的空间直角坐标系,准确求出点以及向量的坐标是解决此类问题的基础,准确求解直线的方向向量与平面的法向量是关键,最后只需利用这些向量表示所求角即可.解题时,要注意向量的夹角与所求角之间的关系,进行正确转化,如求解二面角时,要注意根据几何体的结构特征准确判断二面角的取值范围;求解线面角时,要注意三角函数名称的变化.20.(1)因为直线y=kx+过定点F,所以点F的坐标为(0,).因为动圆过点F(0,),且与直线l2:4y+1=0相切,根据抛物线的定义,动圆圆心的轨迹C是以点F(0,)为焦点,以定直线y=-为准线的抛物线.设轨迹C:x2=2py(p0),因为点F(0,)到准线l:y=-的距离为,所以p=,所以动圆圆心的轨迹C的方程为x2=y.(2)直线AB恒过定点(,1).理由如下:因为x2=y,所以y=2x,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=y1,=y2,则过点A(x1,y1)的切线方程为y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-y1.过点B(x2,y2)的切线方程为y-y2=2x2(x-x2),即y=2x2x-y2.因为过点A,B的切线都过点M(x0,y0),所以y0=2x1x0-y1,y0=2x2x0-y2,所以点A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线y0=2xx0-y上,所以直线AB的方程为y0=2xx0-y,即2x0x-y-y0=0.因为直线l3的倾斜角为,在y轴上的截距为-1,所以直线l3y=x-1,又点M(x0,y0)是直线l3上的动点,所以x0-y0-1=0,所以直线AB的方程为2x0x-y-(x0-1)=0,即x0(2x-1)+(1-y)=0,由,得,所以直线AB恒过定点(,1).【解析】本题考查直线与圆相切、抛物线的定义和性质等知识,意在考查考生的转化和化归能力以及运算求解能力.【备注】存在型问题、定点问题都是高中数学的重要题型,解决这类问题的关键:一是进行演绎推理,或导出矛盾或肯定结论;二是判断定点的坐标满足所求的直线系方程,即可证出直线经过该定点.同时,扎实的计算功底是解题的基础.21.(1)当a=1时,f(x)=x-2lnx,定义域为(0,+),F(x)=x2-x+2lnx+2ln 2(x0),则F(x)=2x-1-+,令F(x)=0,得x=,F(x),F(x)随x的变化情况为F(x)的极小值点为x=,无极大值点.(2)假设函数f(x)与g(x)的图象在其公共点(x0,y0)处存在公切线,f(x)=a(x-)-2lnx,f(x)=,g(x)=2x,由f(x0)=g(x0)得,=2x0,即2-a+2x0-a=0,(+1)(2x0-a)=0x0=,f(x)的定义域为(0,+),当a0时,x0=(0,+),函数f(x)与g(x)的图象不存在公共点.当a0时,f()=a(-)-2lna2-2ln-2,g()=a2,令f()=g(),得a2-2ln-2=a2,即=ln(a0).下面研究满足此等式的a值的个数:设t=,则a=2t,且t0,方程=ln化为lnt=t2-1,分别画出y=lnt和y=t2-1的图象如图所示,t=1时,lnt=0,t2-1=-0),方程=ln有且只有两个解.综上,当a0时,函数f(x)与g(x)的图象不存在公共点;当a0时,函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的a值有且仅有两个.【解析】本题主要考查函数与导数的知识,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想等.【备注】高考对于函数与导数部分往往综合考查曲线的切线,函数的单调性、极值、最值等,通过求导判断出函数的单调性,特别是含有参数的函数的单调性的讨论比较复杂,分类标准要把握准确,既要注意符号,又要注意各函数零点的大小判断,以及极大值、极小值的确定.对于不等式的证明问题,往往要转化为函数的最值问题解答,而对于方程的解的个数的讨论,则需要通过单调性和极值进行讨论.22.(1)EFCB,DEF=DCB,又DAB=DCB,DEF=DAB.又DFE=EFA,DFEEFA.(2)由(1)知DFEEFA,EF2=FAFD.又FG切圆O于点G,GF2=FAFD.EF2=FG2,EF=FG.又EF=1,FG=1.【解析】本题主要考查相似三角形的判定、直线与圆的位置关系等知识,考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力.【备注】几何证明选讲主要是进一步认识相似三角形和圆,主要内容是射影定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及圆内接四边形的性质,要求能通过相关的性质和定理证明一些反映圆与直线关系的题目.常用的解题策略有:由相等关系找特殊点或特殊形(如中点、等腰三角形),由乘积关系找圆的相关定理,由比例关系