10[1].6_高斯公式__通量与散度.ppt

1,高斯公式,物理意义-通量与散度,小结思考题作业,flux,divergence,10.6高斯(Gauss)公式通量与散度,高斯Gauss,K.F.(17771855)德国数学家、物理学家、天文学家,第10章曲线积分与曲面积分,沿任意闭曲面的曲面积分,为零的条件,2,格林公式把平面上的闭曲线积分与,本节的高斯公式表达了空间闭曲面,上的曲面积分与曲面所围空间区域上的,它有明确的物理背景,三重积分的关系.,所围区域的二重积分联系起来.,通量与散度.,3,分量在及上具有,则有高斯公式,一阶连续偏导数,或写成,一、高斯公式,定理10.9,设为空间有界闭区域,其边界面,是分片光滑曲面,曲面的正侧记作+,向量函数,的各,4,证明思路,分别证明以下三式,从而完成定理证明.,只证其中第三式,其他两式可完全类似地证明.,5,证,设空间区域,母线平行于z轴的柱面.,即边界面由1,2,3,三部分组成:,(取下侧),(取上侧),(取外侧),在xOy面上的投影域为Dxy,6,由三重积分的计算法,投影法(先一后二法),7,由曲面积分的计算法,取下侧,取上侧,取外侧,一投,二代,三定号,8,于是,所以,9,同理,合并以上三式,得,高斯公式,10,若区域的边界曲面,与任一平行于坐标轴,的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的,曲面把分为有限个闭区域,使得每个闭区域满,足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两,个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正,好抵消.,因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正,确的.,11,高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了,它能简化曲面积分的计算.,一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系.,高斯Gauss公式的实质,12,使用Guass公式时易出的差错:,(1)搞不清P,Q,R是对什么变量求偏导;,(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;,(3)忽略了的取向,注意是,取闭曲面的,正侧.,高斯公式,13,解,例,外侧.,14,计算曲面积分,解,高斯公式,练习,15,解,外侧.,?,能否直接用高斯公式,的点(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.,可先用曲面方程将被积函数,因被积函数中,化简,例,函数P,Q,R在上要具有一阶连续偏导数.,不能！,16,有时可,作辅助面,(将辅助面上的积分减去).,化为闭曲面的曲面积分,然后利,用高斯公式.,对有的,非闭曲面,的曲面积分,17,例,计算曲面积分,解,高斯公式,补平面1:,下侧.,极坐标,18,计算曲面积分,下侧.,的方向余弦.,的,解,空间曲面在xOy面上的,曲面不是封闭曲,为利用高斯公式.,投影域为Dxy,补,+1构成封闭曲面,在上使用高斯公式.,面,练习,是在(x,y,z)处的法向量,其中为,1取上侧,+1围成空间区域.,19,先二后一法,20,故所求积分为,因为,21,被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.,?,如直接计算,分析,用高斯公式.,例,其中是锥面,所围立体的表面外侧.,设f(u)是有连续的导数,计算,22,解,由于,故由高斯公式:,=,23,例设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上,其中是闭区域的整个边界曲面,v(x,y,z)沿的外法线方向的方向导数,称为拉普拉斯(Laplace)算子.,具有一阶及二阶连续偏导数,证明,为函数,符号,24,证,因为方向导数,是在点(x,y,z)处的外法线向量,的方向余弦.,于是曲面积分,25,移项后,即证.,高斯公式,26,解,(如图),练习,计算曲面积分,绕y轴旋转曲面方程为:,一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角,绕y轴旋转,27,取右侧.,有,高斯公式,28,取右侧,故,29,二、沿任意闭曲面的曲面积分,为零的条件,在怎样的条件下,曲面积分,与曲面无关而只取决于的边界曲线？,这问题相当,于在怎样的条件下,沿任意闭曲面的曲面积分为零？,用高斯公式解决.,1.连通区域的类型,有空间区域G,(1)若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G为空间二维单连通域;,30,1.连通区域的类型,(2)若G内任一闭曲线总可以张成一片以其为边,则称G为空间一维单连通域.,如,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成,既是一维,是二维但不是,的区域是一维但不是二维单连通区域.,有空间区域G,界的、全属于G的曲面,也是二维单连通区域;,一维单连通区域;,31,2.闭曲面积分为零的充要条件,定理10.10,设G是空间二维单连通域，,则曲,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G内具有一阶连续偏导数,面积分,在G内与所取曲面无关而只取决于的边界曲线,(或沿G内任一闭曲面的曲面积分为零)的充要条件是,32,1.通量,为向量场,设有一向量场,其中函数P,Q,R具有一阶连续偏导数,通量.,flux,divergence,穿过曲面这一侧的,三、物理意义通量与散度,有向曲面某一侧的曲面积分:,则称沿场中,33,通量的计算公式,两类曲面积分之间的关系,34,例,的通量,解,为了求曲面上侧的单位法向量,法向量:,单位法向量:,35,例,的通量,设在闭区域上有稳定流动的不可压缩流体的,速度场为,是闭区域的,时间内流体经过曲面流向指定侧的流体总质量为,则由对坐标的曲面积分的物理意义可知,2.散度,36,其中P,Q,R均具有连续一阶偏导数,是曲面在点(x,y,z)处的单位法,密度为1,边界曲面的外侧,向量,单位,37,若为方向向外的闭曲面,当0时,说明流入的流体质量少于流出的,当0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过,当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.,表明内有泉;,表明内有洞;,根据高斯公式,流量也可表为,的流量为,38,且方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M,要揭示场内任意点M处的特性,两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M,则有,根据高斯公式,流量也可表为,在上式,(记作M),三重积分中值定理,39,称为速度场v在点M的通量密度或散度,记为,即,表明流体在该点处有正源;,表明流体在该点处有负源;,表明流体在该点处无源.,散度绝对值的大小反映了源的强度.,其中,40,可看作稳定流动的不可压缩流体在点,M的源头强度,在单位时间单位体积内所产生的,流体质量.,对于一般的向量场,在场中点M(x,y,z)处,利用向量微分算子,如,匀速场,故它是无源场.,41,42,利用向量场的通量和散度,高斯公式:,可写成,或,其中+是空间闭区域的外侧边界曲面.,43,例,向量场,研究生考题,填空(3分),解,44,练习,设数量场,解,先求梯度,45,再求gradu的散度,设数量场,46,高斯Gauss公式,物理意义-通