非线性科学介绍)

精选的文件非线性科学是研究非线性现象共性的新的跨学科领域。主要研究内容为混沌、分形和孤子。本文主要介绍了非线性科学的起源、主要内容、主要研究方法和工程应用，并对今后的发展作了一些思考。关键字非线性科学/研究方法/工程应用非线性科学是研究非线性现象共性的新的跨学科领域，诞生于20世纪60年代和70年代。1963年美国气象学家洛伦兹发表的确定论的非周期流论文表明确定性非线性方程中存在混沌(chaos)。1965年数学家查夫斯基和克鲁兹卡尔通过计算机实验发现了索利顿。1975年，美国数学家曼德勃罗发表了分形：形态、机遇和维数这本书，创立了分形理论。混沌、孤子、分形代表了非线性现象的三大普遍性，构成了非线性科学的三大理论。1非线性科学的发展标志着人类对自然的认识从线性现象发展到非线性现象。非线性科学的混沌理论被认为是继20世纪相对论、量子力学之后的另一场革命。分形几何是微积分之后的另一场革命。孤子理论预示着物理和数学的统一。一、线性科学和非线性科学线性是指用正交坐标系形象化正关系的直线。在数学中，主要通过对运算符的说明来讨论系统的线性与否。如果运算符y满足：其中是常数，u，v是任意函数就称为线性运算符，否则称为非线性运算符。2在线性系统中，部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵循叠加原理。换句话说，方程的其他解仍然是方程的解。线性理论是研究线性系统的理论。主要完成了牛顿古典力学、爱因斯坦的相对论、量子力学理论等线性方程、曲线、微积分等数学方法。3非线性问题自古就有，但随着科学技术的发展，人们开始只解决线性问题，在解决非线性问题上逐渐取得了进展。现代所有的科学前沿问题几乎都是非线性问题。从物理现象来看，线性现象是在空间和时间上平滑、规则的动作，非线性现象是从规则动作到不规则动作的转换和突变。非线性科学几乎贯穿自然科学、工程科学、数学和社会科学的所有领域。4二、非线性科学的起源515世纪初开始的现代科学研究的生产力水平限制所面临的实际问题，大部分是能源密度低、相对稳定、变化快、干扰不大的问题，动能、运动速度、力的大小等就属于这个领域，初步的近似也可以用线性模型处理。那时数学家们也只能解决线性问题，解决非线性问题的数学方法还不成熟。特别是非线性微分方程只有有限方程才能解。到19世纪末，大量经典物理理论是线性的，线性数学方法也充分发展。20世纪以来，随着物质运动观测的深入，特别是在量子力学的研究中，发现很多关系是非线性的；同时，物理和化学中出现了很多非线性的问题。随着原子能和航天技术的发展，人们往往要把能源密度高、变化快、外部干扰大、控制精度高的研究领域引进来，解决突变问题。所有这些新的研究领域和新材料、新技术和新技术的发展使非线性模型的建立成为必不可少的。三、非线性科学的主要内容和应用在非线性问题的系统处理方法还没有完全得到保证的情况下，在不同的研究领域出现了混沌运动等独特的研究方法。分形单微扰理论；分支，突变理论；孤子理论等。但是非线性科学的三大普遍性类别包括混沌、分形和孤子。(a)混乱混沌理论的发展过程619世纪末20世纪初，庞加莱在研究三体问题时遇到了混乱问题。太阳、月亮和地球之间的相对运动与单体问题、转移问题不同，无法得到正确的答案，这已成为牛顿力学多年的遗产。1903年，庞加莱在科学与方法一书中把力学和拓扑学有机地结合起来，提出了在三体问题中，在一定范围内该解是任意的推测。实际上，这是一种保守体系中的混乱，成为世界上第一个知道混沌存在的人。1954年，前苏联概率论大师科尔莫格罗夫发表哈密顿(Hamilton)函数中微小变化时条件周期运动的保持号后，这篇文章表示，混乱是如何出现在即将发生混乱的保守体系中的，是卡m定理的原型。1963年，本文所描述的内容通过严密的数学证明，为确认耗散系统存在混乱，保守系统也存在混乱的理论开辟了道路。1963年，洛伦兹在一篇名为确定性的非周期流的文章中指出，第三阶非线性自治系统可能会发生混乱。这是耗散系统中一个明确的方程推导出混沌解的第一个例子。2000年自然杂志发表论文The Lorenz Attractor Exists，在自然界中用数学严格证明了洛伦兹吸引子的存在。cam定理论保守体系，洛伦兹方程论耗散体系，从不同的角度解释两种不同类型的动力体系和长期进化过程中混沌是如何出现的。1964年，法国天文学家埃农在研究球状星团和洛伦兹吸引器的过程中获得了灵感，他制作了慕尼黑映射，并利用它建立了“热重力崩溃”理论，揭示了太阳系遗留下来几个世纪的稳定性问题。1971年法国数学物理学家D.Ruelle和荷兰学者F.Takens共同发表了著名论文论湍流的本质，描述了动力系统中特别复杂的新吸引子，其几何特征，证明了与这台吸引子相关的运动是混乱的，并将这种新吸引子命名为奇怪的吸引子。混沌运动的特征7混沌一词是1975年由华裔美国学者李天岩和美国数学家约克首次提出的。当时他们在周期3意味着混沌的文章中给出了混沌的数学定义，因为其定义有缺陷，1989年devaner.l .从混沌的特性出发，给出了混沌的描述性定义。但是到目前为止，混沌还没有承认数学定义。混沌一般被认为是(1)在内部随机性中出现的、看似不规则的、确定性体系中的有序运动。解释混沌系统的进化方程是确定的，而进化行为是不确定的。系统短期行为决定，但长期行为不确定。系统的这种行为不同于现有的确定性现象和现有的随机性现象，是系统确定性和随机性的有机结合。研究结果表明，混沌的本质原因在于确定性系统的非线性。(2)对初始值的敏感依赖性。混沌运动的振动解不是渐近稳定性，该解在一定范围内显示了整体稳定性，但系统的非线性不断将进入吸引子内部的轨道相互排斥，反复分离和折叠，使系统局部不稳定。这种局部不稳定性是对初始条件的敏感依赖，即使初始系统初始值出现小偏差，轨道也呈指数分离，这称为“蝴蝶效应”。系统对初始值的敏感度依赖的根本原因仍然在系统内的非线性交互作用中，对于一维迭代系统，用非线性迭代方程表示。(3)奇点。整体系统稳定性；局部系统不稳定。答案轨迹在有限的范围内形成了无数的分离、折叠和接近，形成了一种称为奇怪吸引子或混沌吸引子的结构。系统attractor内部有无限级别的自相似结构，奇怪attractor的维数通常不是整数。混沌的主要应用领域混沌运动是初始值灵敏度和长期发展趋势的不可预测性，因此混沌控制和混沌时间序列的短期预测成为混沌应用的主要内容。混沌控制是指混沌的控制和诱导。这是非线性动态系统和非线性控制的新理论和新方法智能控制的重要组成部分。1989年，胡伯勒发表了第一篇控制混乱的文章。1990年，正如奥特(E.Ott)、格雷伯奇(C.Crebogi)和约克(J.A.Yorke)提出的，控制混乱的想法得到了广泛响应。同年，佩可拉(L.M.Pecora)和卡罗尔(T.L.Carroll)提出了混沌同步的想法，接着，迪托(W.L.Ditto)和罗(R.Roy)等完成了控制混沌的实验。未来10年，混沌控制与混沌同步的研究积极展开，成为混沌研究领域的重要热点。此前，提出了控制混沌的多种方法，并在光学、等离子体、化学反应、流体、电子电路、人工神经网络、生物系统等众多实验和应用中得到了验证。目前混沌控制的目标是人为地影响混沌系统，使其进化到所需的状态。其中包括(1)在混乱有害的时候成功地抑制混乱。(2)混沌有用时，产生具有特定特性的必要混沌运动，甚至产生特定混沌轨道。(3)系统处于混乱状态时，通过控制产生人们需要的各种输出。总之，如果可能的话，利用混沌运动本身的各种特性实现控制目的是所有混沌控制的共同特征。8非线性系统的混沌现象是由某些主要参数的变化引起的，因此控制或诱导混沌的非常自然的想法是直接控制或调整这些参数。根据Von Neumann的想法，Pettini于1988年模拟到计算机上，通过观察最大Lyapunov指数，观察到适当的参数扰动可以达到消除Duffing系统混沌现象的目的。之后，Ott，Grebogi和Yorke提出了比较系统和严密的参数摄动方法，OGY方法。该方法结合小参数调整手段，实现了连续局部线性化控制混沌的目的。目前，混沌控制(或诱导)方法主要是参数摄动法、统一轨道和强制迁移法、工程反馈控制法和混沌同步调整法。9讨论了时间混沌的控制，时间和空间的混沌控制主要有变量反馈方法、定点注入方法、局部模式反馈方法等。相反，从时间序列角度研究混沌从1980年Packard等提出的重构相空间理论开始。该理论表明，它包含有关决策系统中所有变量的长期时间序列以及该系统中所有变量的长期演化的信息。因此，通过系统的任意单变量时间序列，可以研究系统的混沌行为。Attractor的不变关联维数(系统复杂性估计)、Kolmogorov熵(动态系统的混沌级别)和Lyapunov指数(系统的特性指数)对系统的混沌特性起到了重要的作用。混沌现象的发现开辟了科学建模的新范式。另一方面表明，混沌现象的本质确定性很大的随机现象实际上是可预测的。相反，混沌现象固有的对初值的敏感性意味着预测能力从根本上受到限制。实际上，混沌现象在短期内是可以预测的，但在长期内是无法预测的。混沌时间序列的预测方法包括全局方法、局部方法、基于Lyapunov指数的预测方法、基于神经网络的预测方法等。混沌时间序列预测具有非常广泛的应用前景，如电力系统短期负荷预测、股市预测、转子剩余寿命预测、天气预测等。10(b)分形1.分形理论的发展过程11分形理论是由美国法国数学家曼德勃罗(B.B.Mandelrot)创建的。他在1967年美国科学杂志上发表的论文英国的海岸线有多长中首次发表了分形的想法。1973年在法国学院讲课时，他还正式提出了分形图形的概念。1975年他的法语专刊分形：形状、机遇和维数的出版是分形理论诞生的象征。1883年德国数学家秃鹰制作的孔多拉3潜水员、法国数学家拜尔斯于1872年7月18日在柏林科学院报告中发表的分析数学中，包含连续又荒唐的堰stratss函数等19世纪末20世纪初很多数学家的并行曲线或形状的作品。2.分形集的特征12曼德勃罗于1982年在分形下定义。如果Hausdorff维的集合大于拓扑维，则为分形。1986年，他认为这种定义不完整，并重新定义分形是由整体和某些类似地区组成的一种形式。此后不久，在1987年，他声称，对简洁而完整的分形的定义还没有发现。但是，分形的基本特征包括：(1)集与局部之间存在某种自相似性。(2)集合具有无限精细的结构(无限可分离)。(3)该集合具有分数维。换句话说，分形集的维数通常是分数，而不是整数。分形的主要应用领域13分形理论诞生后，发展非常迅速，并广泛应用于自然科学、社会科学、人文等各种领域。分形和分形的概念现在从最初显示的形式的几何自相似性这一狭窄分形扩展到结构、功能、信息、时间等具有自相似性的宽分形。分形物理、分形生物学、分形结构地质学、分形地震学、分形经济学、分形人口学等都出现了，从而发现了材料学、化学、天文学中的分形和思维分形、艺术分形、智能分形等。首先，分形理论提供了一种定量表征和描述自然界中复杂形状、结构、功能等的新方法。因此自诞生以来，在地质学、地震、石油、材料破坏等应用科学中得到了广泛的应用。其次，分形理论为混沌理论研究提供了重要的数学工具。分形几何一经生成，就成为研究混沌学的基本工具之一，经常被称为混沌几何。分形集是动态系统中具有不稳定轨迹的初始点的集合。也就是说，混沌集是混沌吸引子的分形集。再次，分形理论及其方法为研究自组织现象提供了重要的思路和方法。很多事实表明分形实际上与自组织现象有关，分形代表一种自组织机制。像人类这样复杂的庞大系统，数量惊人的细胞构成了整个有机整体，协同工作，这与人体内的许多器官和组织等有分形结构是密不可分的。最后，分形理论及其方法对人们的思维科学，尤其是大脑之谜的探索，提出了新的观点、想法和方法。(c)孤子1.孤子理论的发展过程14索利的发现可以追溯到1834年，英国科学家、朝鲜工程师斯科特罗素从运河中观察到光滑的、浮出水面并以一定速度扩散的巨大孤立波峰，这一事实的本质在当时引起了广泛的争论。1895年，两位年轻的荷兰科学家Korteweg和de Vries建立了著名的KDV方程，这是单向运动浅水的数学模型，并获得了形状不变的孤立波解决方案，这与Russell的观察一致。但是，科学家们一直关心这种