人教版高中数学《离散型随机变量的分布列》教学设计(全国一等奖)

离散型随机变量的分布列教学设计 一、一、教教材分析材分析 离散型随机变量的分布列是人教 A 版普通高中课程标准实验教科书 数学选修 2-3第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的 第二课时，主要内容是学习分布列的定义、性质、应用和两点分布模型。离散型 随机变量的分布列是高中阶段的重点内容，它作为概率与统计的桥梁与纽带，既 是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，起到承上启下的作用，是本章的关 键知识之一， 也是后续第三节离散型随机变量的均值和方差的基础。从近几年的 高考观察，这部分内容有加强命题的趋势。一般以实际情境为主，需要学生具备 一定的建模能力，建立合适的分布列，通过均值和方差解释实际问题。 二、二、学学情分析情分析 在必修三的教材中，学生已经学习了有关统计概率的基本知识，在本书的 第一章中也全面学习了排列组合的有关内容， 有了知识上的准备; 并且通过古典 概率的学习， 基本掌握了离散型随机变量取某些值时对应的概率, 有了方法上的 准备, 但并未系统化。处于这一阶段的学生，思维活跃，已初步具备自主探究的 能力，动手能力运算能力尚佳，但基础薄弱，对数学图形、符号、文字三种语言 的相互转化，以及处理抽象问题的能力，还有待于提高。 三、教学策略分析三、教学策略分析 学生是教学的主体， 本节课要给学生提供各种参与机会。 本课以情境为载体， 以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导 帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，通过设计抽奖方案， 让学生感受“从特殊到一般，再从一般到特殊”的抽象思维过程，应用类比、归 纳、转化的思想方法，得到分布列的三种表示方法及分布列的性质，培养学生分 析问题、解决问题的能力。 四、目标分析四、目标分析 1. 理解核心概念离散型随机变量分布列及两点分布模型，掌握分布列 的性质，会求离散型随机变量的分布列，并能解决实际问题； 2. 在对抽奖问题的分析中经历数学建模过程，通过与函数的类比使学生理 解离散型随机变量的分布列的函数属性， 通过对抽奖方案的分析得出特殊的离散 型随机变量的分布列， 再从特殊的离散型随机变量的分布列归纳出一般的离散型 随机变量的分布列，再通过对例题的抽奖方案的分析得出两点分布模型，让学生 感知从特殊到一般再从一般到特殊的认知过程； 3. 通过情境导入使学生在具体情境中认识分布列对于刻画随机现象的重要 性，体会数学来源于生活，又应用于生活的本质。通过策划抽奖活动，培养学生 对数学学习的兴趣，体会学习的成功感。 五、教学重点与难点五、教学重点与难点 教学重点教学重点 离散型随机变量的分布列的概念，表示方法及性质， 两点分布的 模型； 教学难点教学难点 离散型随机变量的分布列的概念和两点分布模型。 六、教学过程设计分析六、教学过程设计分析： ： （一）复习回顾，巩固旧知（一）复习回顾，巩固旧知 1. 随机变量： 2. 离散型随机变量： 3. 概率的基本性质： 4. 函数的定义及表示方法： 设计意图：巩固 上一节所学的内 容，同时为本节 研究离散型随机 变量分布列的性 质及表示方法打 下坚实的基础. 设计意图：创设 “ 设 计 抽 奖 方 案”这一问题情 境，启动学生思 维，激发学生强 烈的求知欲及参 与的积极性，让 学生主动融入到 ( (二二) )创设情境，引入课题创设情境，引入课题 活动：为“金苹果艺术节”设计抽奖游戏 道具：一个纸箱和带有 1-6 标号的 6 个乒乓球 请同学们分组讨论提供设计方案。 学情预设：学生会得出各种各样的方案。当学生介绍完 自己的方案后，师选取两种比较有代表意义的方案带领学生 共同研究。 方案一：每位同学从中任取一球，用标号对奖，标号即学习中。 奖次； 方案二：每位同学从中任取一球，设抽到 1 号球为一等 奖，抽到 23 号球为二等奖，抽到 46 号球为三等奖。 思考：你认为哪种方案更合理？设计意图：引导 学情预设：学生很容易从直观感受上选择方案 2 更加合学生从概率的角 理，但很少有学生能从概率的角度解释这一问题。 生：方案 2 师：为什么？如何从随机变量的角度解释这一问题？ 度分析实际生活 中遇到的问题， 让学生发现生活 不妨记某位同学所中奖次为随机变量 X， 求随机变量 X 有中存在的数学问 哪些值，及取每个值的概率是多少？(由学生自己计算完成)题，在具体的情 方案一：随机变量 X 的取值为 1,2,3,4,5,6；对应的概率境中经历数学建 111 P(X 1) ,P(X 2) ,P(X 3) , 666 为 111 P(X 4) ,P(X 5) ,P(X 6) . 666 模的过程，同时 体会数学来源于 生活又服务于生 活本质。 思考：方案中得到的随机变量 X 的取值与取值的概率 P 之间是一种什么关系？ 生：函数关系 思考：类比函数，分布列有哪几种表示方法？设计意图：引导 学情预设：通过对函数的复习，学生很容易类比得到函学生将知识横向 数关系的表示方法 生：解析式法，列表法和图像法。 师：请同学们将方案中的结果用表格出来。 方案一： 列表法: 师 X ： 将 以 P 1 1 6 迁移，类比，使 学生充分挖掘分 布列中蕴含的函 数思想，进而类 比函数的表示方 法，让学生自己 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 得出分布列的表 示方法。 上方案中随机变量 X 的取值与取值对应的概率 P 建立的表格 称为离散型随机变量 X 的概率分布列。 解析法：P(X= i )= 1 ，i=1，2，6. 6 设计意图：让学 生自己感受分布 列的三种表示方 法的优劣，体会 列表法的优势， 同时引导学生在 具体问题中分析 分布列的构成， 为得出一般地离 散型随机变量的 分布列打下坚实 的基础。 图象法： 思考：分组讨论三种表示方法的优劣？ 解析法：精确不直观； 图象法：直观不精确； 列表法：直观且精确，但 X 的取值较多时比较繁 琐。 方案二：随机变量 X 的取值为 1,2,3；对应的概率为 111 P(X 1) ,P(X 2) ,P(X 3) . 632 分布列： X123 1 2 11 P 36 从列表法的角度，如何给任意的一个离散型随机变量的 分布列下一个一般地定义呢？ 由学生口头表述，师给出严格定义：从具体的例子中 抽象出对分布列 的一般形式 , 让 学生感受从特殊 到一般的数学思 维方法, 发展学 （三）抽象概括，形成概念（三）抽象概括，形成概念 分布列定义：分布列定义： xx 如果离散型随机变量 X 的所有可能取得值为 1，2， x n； X 取每一个值 xi（i=1，2，n）的概率为p1，p2， 生的抽象思维能 力。 p n，则称表 X P x 1 x 2 p 2 x n p n p 1 为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列。 思考：根据方案中离散型随机变量 X 的三种表示方法,思 考一般离散型随机变量有几种表示方法？ 列表法： X P 解析式：P(X=xi)= p i ，i=1，2，n. 图像法： x 1 x 2 p 2 x n p n p 1 设计意图：通过 对具体的分布列 （四）概念深化（四）概念深化, , 性质归纳性质归纳 思考：结合方案中的表格和概率的性质，分小组讨论分 特征的分析，得 布列具有什么样的性质？ 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： 出一般分布列具 有的性质。培养 p i 0，i1，2，n； 学 生 的 观 察 能 力；通过图形语 言到符号语言的 转换，把握分布 列的性质。同时 使学生经历从特 殊 到 一 般 的 过 程，体验知识的 产生、 形成过程， 逐步培养学生的 概括能力。以突 出重点。 设计意图：进一 步加深对分布列 的性质的理解， 对学生学习中所 出现的遗漏和不 p 1 +p 2 +p n =1. （五）知识实践，形成能力（五）知识实践，形成能力 题型一：分布列性质的应用题型一：分布列性质的应用 例 1. 某同学求得一离散型随机变量的分布列如下： P0.20.30.150.45 0123 足 给 予 即 时 补 救，培养学生归 纳总结的能力， 同时培养学生的 (1) 试说明该同学的计算结果是否正确？ （2）怎样改动可以成为一个正确的分布列？ 变式训练 1：设随机变量的分布列如下 P -1 0.1 0 2 123 0.4 发散思维，感受 数学答案的丰富 0.2a /10a/5 多彩！ （1）则 a=? （2）求P(1)? 题型二：求分布列题型二：求分布列 例 2. 一只箱子中放有 6 个乒乓球，标号均为 1-6 号，从箱子 设计意图：还原 抽奖情境，引出 中抽取一球，抽得乒乓球标号为偶数时中奖，为奇数时不中特殊的分布列 奖，请你从分布列的角度加以分析。两点分布，让学 生感受从一般到 中奖1, 解：设中奖结果为随机变量 X，则X ，随机变量 0，不中奖特殊的数学思维 X 的分布列为： 像上面的随机变 X P 0 1 2 过程。同时巩固 1 1 2 分布列的求解过 程。 量X 只取 0,1 两个值对应的分布列称为两点分布，又称 0-1 分布 或伯努利分布。 如果随机变量 X 的分布列为两点分布列，则称 X 服从两点分 布，并称 p=P(X=1)为成功概率。 适用的范围： （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； (2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 变式训练 2：下面的分布列是否为两点分布？ X P 2 0.3 5 0.7 例 3：一只纸箱中装有5 个乒乓球，标记为1-5 号，现从中随 机取出 3 个小球，以 X 表示取出球的最大号码，求 X 的分布 列。设计意图：巩固 解：试验结果为（123）（124）（125）（134）（135）(145)分布列的求解过 (234)(235)(245)(345)共 10 种； 随机变量 X 的取值为 3,4,5， 对应的概率为：P(X=3)=0.1,P(X=4)=0.3，P(X=5)=0.6 列表如下： X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6 程，加强训练， 使之内化成学生 的能力。 例 4：设随机变量 的分布为 P -1 1 6 设计意图：这类 题 型 是 高 考 热 0 1 3 1 1 2 点，通过变换的 形式建立了变量 与变量之间的关 系，同时让学生 体会一个非两点 （1）求随机变量Y 2的分布列。 （2）求随机变量2的分布列。 分布的变量通过 适当的变换可以 变为一个两点分 布。 设计意图：引导 学 生 从 数 学 知 识、数学思想、 两个方面进行归 纳总结。有利于 学生巩固所学知 识, 也能培养学 生的归纳和概括 能力。 把所学的 新知识纳入已有 知识结构形成系 统。 设计意图：分层 布置作业，满足 不同层次学生的 需求。同时设计 一 项 探 究 性 练 ( (六）梳理知识，总结反思六）梳理知识，总结反思 1.数学知识： (1) 分布列的定义，性质。 (2) 分布列的简单应用以及求简单的分布列。 2.数学思想：一般到特殊，类比化归。 3.数学方法：概括、归纳。 ( (七七) ) 分层作业，课后自评分层作业，课后自评 1、必做题：课本 P44 练习 B2；P46 习题 A2；B2； 2、选做题：(选做)练习册能力提升； 3、 探究性训练： 两只箱子中各放有 6 个乒乓球， 标号均为 1-6 号，分小组完成策划抽奖活动。要求：至少设计两个方案，习，培养学生的 其中一个是两点分布。开放性思维。 七、教学反思七、教学反思 本课就新课程理念下概念教学课的课堂模式，做了一些探索。突现数学核心 概念，紧抓数学学习的本质。通过设计抽奖活动方案将整堂课串联起来，从实际 情境引入，以抽奖活动结束。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解 决问题，拓展问题，采用小组合作、自主学习的研究性学习方式，重点放在离散 型随机变量的分布列的知识生成上，采用了从特殊到一般，再从一般到特殊的认 知过程，充分体现了学生的主体地位。如果在本堂课中设计的活动再多一些，学 生可能会更积极，课堂气氛也会更活跃。 附板书设计： 2.1.2 离散型随机变量的分布列 1.定义函数关系例 3.总结 方案一的表格 2.性质 图象例 4 3.两点分布 解析式 课例离散型随机变量的分布列点评 本节课的设计合理，思路清晰，坚持启发式教学思想，以学生 熟悉的抽奖情境为载体，用一个抽奖活动将整堂课串联起来， 让学生 在抽奖的情境中经历知识的形成与发展，运用类比、归纳、转化的数 学思想方法分析解决问题，让学生感知从特殊到一般， 再从一般到特 殊的认知过程。 本节课首先简单复习了与本节内容相关的几个概念， 为学生自己 得出分布列的定义及性质做了一定的铺垫。 接下来通过设计抽奖方案 这一数学情境启动学生的思维， 让学生主动参与到学习中来。 通过构