2020北京市海淀区高三数学二模考试试卷参考答案 .pdf

数学答案 第 1 页（共 10 页） 海淀区高三年级第海淀区高三年级第二二学期学期期末期末练习练习参考答案参考答案 数数 学学 2020.6 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、一、选择题共选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D C C A B C C 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分。 题号 11 12 13 14 15 答案 1 2 22 1 44 xy 6 1，0, 6 注：第 12 题答案不唯一，写出一个形如 22 22 1 xy aa 或 22 22 1 yx aa （ 2 2a ）的方程即可； 第 14 题第一空 3 分，第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得分， 其他得 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。 （16） （本小题共 14 分） 解：选择条件，不存在正整数 (1)k k ,使得 1k SS. 解法 1 理由如下： 在等差数列 n a中， 511 54 5510 2 Sadad 又 1 4a ， 5 40S . 所以由 1 1 4, 51040 a ad 得 2.d 所以 1 (1)42(1)22 n aandnn. 0 数学答案 第 2 页（共 10 页） 又因为 11 0 nnn SSa ， 所以数列 n S为递增数列.即1k ，都有 1k SS. 所以不存在正整数 (1)k k ,使得 1k SS. 解法 2 理由如下： 在等差数列 n a中， 511 54 5510 2 Sadad 又 1 4a ， 5 40S . 所以由 1 1 4, 51040 a ad 得 2.d 所以 2 1 (1)(1) 423 22 k k kk k Skadkkk . 令 1 4 k SS，即 2 340kk. 解得1k 或4k . 因为1k ，所以1k 与4k 均不符合要求. 所以不存在正整数 (1)k k ,使得 1k SS. 选择条件，存在正整数12k ,使得 1k SS. 理由如下： 在等差数列 n a中， 511 54 5510 2 Sadad 又2d ， 5 40S . 所以由 1 2, 51040 d ad 得 1 12.a 所以 2 1 (1)(1) 12( 2)13 22 k k kk k Skadkkk . 令 1 12 k SS，即 2 1312kk. 整理得 2 13120kk.解得1k 或12k . 数学答案 第 3 页（共 10 页） 因为1k ，所以12k . 所以当12k 时， 1k SS. （17） （本小题共 14 分） （）证明：因为E为AD中点，所以 1 1 2 DEAD. 又因为1BC ，所以DEBC. 在梯形ABCD中，/DEBC， 所以四边形BCDE为平行四边形. 所以/BECD. 又因为BE 平面PCD，且CD平面PCD， 所以/BE平面PCD. 因为BE 平面BEF，平面BEF平面PCDFG， 所以/BEFG. （）解： （解法 1）因为PE 平面ABCD，且,AE BE 平面ABCD， 所以PEAE，且PEBE. 因为四边形BCDE为平行四边形，90ADC， 所以AEBE. 以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz . 则 (0,0,0)E ， (1,0,0)A ， (0,1,0)B ， ( 1,1,0)C ， ( 1,0,0)D . 设 (0,0,)Pm（ 0m） ， 所以(1, 1,)CPm，( 1,1,0)AB . 因为PC与AB所成角为 4 ， 所以cos,CP AB= CP AB CPAB = 2 2 22m =cos 4 2 2 . 所以2m . 则(0,0,)2P， 1 12 (,) 2 22 F . 数学答案 第 4 页（共 10 页） 所以(0,1,0)EB ， 1 12 (,) 2 22 EF ，(0,1,)2PB . 设平面BEF的法向量为 ( , , )x y zn ， 则 0 0. EB EF ，n n 即 0 112 0. 222 y xyz ， 令 2 x ，则1z ，所以( 2,0,1)n. 所以cos , | PB PB PB n n n 22 333 . 所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为 2 3 . （） （解法 2） 连结EC, 因为/AEBC且AEBC，所以四边形ABCE为平行四边形. 所以/ABCE. 因为PC与AB所成角为 4 ，所以PC与CE所成角为 4 . 即 4 PCE . 因为PE 平面ABCD，且CE 平面ABCD， 所以PECE. 又因为 2 EDC ，所以平行四边形BCDE是矩形. 所以在等腰直角三角形PEC中，2PECE. 因为PE 平面ABCD，且,AE BE 平面ABCD， 所以PEAE，且PEBE. 又因为AEBE， 以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz 则 (0,0,0)E ， (0,1,0)B ，(0,0,)2P， ( 1,1,0)C ， 1 12 (,) 2 22 F . A B C D P E G F x y z 数学答案 第 5 页（共 10 页） 所以(0,1,0)EB ， 1 12 (,) 2 22 EF ，(0,1,)2PB . 设平面BEF的法向量为 ( , , )x y zn ，则 0 0. EB EF ，n n 即 0 112 0. 222 y xyz ， 令 2 x ，则1z ，所以( 2,0,1)n. 所以cos , | PB PB PB n n n 22 333 . 所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为 2 3 . （18） （本小题共 14 分） 解: （）由图 1 可知，该地区居民中年龄在 7180 岁的频率为0.004 10=4%. 由图 2 可知，样本中年龄在 7180 岁居民家庭医生的签约率为 70.0%， 因为该地区居民人数约为 2000 万， 所以该地区年龄在 7180 岁，且已签约家庭医生的居民人数约为 2000 4% 70.0%=56（万人）. （） 由题意， 从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取一人， 其签约家庭医生的概率为 7 10 . 设 i A表示事件“从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人，其中第 i 个人已签约 家庭医生” （1,2i ） ， 则 7 () 10 i P A ， 73 ()1 1010 i P A （1,2i ）. 设事件 C 为“从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人,这两人中恰有 1 人已签 约家庭医生” ， 则 1221 CA AA A. 所以 1212 733721 ( )() ()() () 1010101050 P CP A P AP A P A. 所以这两人中恰有 1 人已签约家庭医生的概率为 21 50 . （）应着重提高年龄在 3150 岁居民的签约率. 数学答案 第 6 页（共 10 页） 理由如下： 依题意，该地区年满 18 周岁居民签约率从44%提高到55%以上，需至少提升 11%； 年龄在 3150 岁居民人数在该地区的占比约为： 21%+16%=37%，占比大； 年龄在 3150 岁居民的医生签约率较低，约为37.1%； 该地区年满 18 周岁居民的人数在该地区的占比约为： 0.008+0.005 0.7) 10=0.8851-(； 所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从37.1%提升至100%，可将该地区年满 18 周岁居民签约率提升37% (1 37.1%)0.88537% 62.9%23%，大于 11%. （19） （本小题共 15 分） 解： （）由题意， 222 1 3 2 . b c a abc ， ， 解得 2, 1. a b 所以椭圆W的方程为 2 2 1 4 x y. （）由题意，直线l不与坐标轴垂直. 设直线l的方程为： 1ykx（ 0k ）. 由 22 1, 44. ykx xy 得 22 (41)80kxkx. 设 11 ( ,)C x y ，因为 1 0 x ，所以 1 2 8 41 k x k . 得 2 11 22 814 11 4141 kk ykxk kk . 即 2 22 814 (,) 41 41 kk C kk . 又因为 (0, 1)B ，所以 2 2 1 2 14 1 1 41 8 4 41 k k k k k k . 数学答案 第 7 页（共 10 页） 由 1, 2. ykx y 得 1 , 2. x k y 所以点M的坐标为 1 ( ,2) k . 所以 2 21 3 1 kk k . 所以 12 13 3 44 kkk k . （20） （本小题共 14 分） 解： （）( )e (sincos )+e (cossin ) xx f xxxxx 2e cos x x. 令( )0,fx得22() 22 kxkk Z. 所以( )f x的单调递增区间为(2,2) 22 kk ()kZ. （）证明： 要证曲线( )yf x在区间(0,) 2 上有且只有一条斜率为2的切线， 即证方程( )2fx 在区间(0,) 2 上有且只有一个解. 令( )fx2e cos2 x x，得e cos1 x x . 设c(1)eos x g xx， 则( )e cose sin2e sin() 4 xxx g xxxx . 当(0, ) 2 x 时，令( )0g x，得 4 x . 当x变化时，( ), ( )g x g x的变化情况如下表： x (0,) 4 4 (,) 4 2 ( )g x 0 ( )g x 极大值 所以( )g x在(0,) 4 上单调增，在(,) 4 2 上单调减. 数学答案 第 8 页（共 10 页） 因为0(0)g,所以当(0, 4 x 时，( )0g x ； 又1(0) 2 g ，所以当(,) 4 2 x 时，( )g x有且只有一个零点. 所以当(0,) 2 x 时，c(1)eos x g xx有且只有一个零点. 即方程2( )fx，(0,) 2 x 有且只有一个解. 所以曲线( )yf x在区间(0,) 2 上有且只有一条斜率为2的切线. （21） （本小题共 14 分） 解： （）由题知( 2,2),(3,1)AB，进而有 2222 |(2+1)(32)34OAOB， 2222 |(2+2)(3 1)32OAOB， 所以 2222 |OAOBOAOB. 所以,A B两点相关； 由题知(4,4),(2, 3)CD，进而有 2222 | =4+3)(24)85OCOD（， 2222 |4+4)(23)89OCOD（， 所以 2222 |OCODOCOD， 所以,C D两点不相关. （）()设(1,1)A的相关点为( , )B x y，, x yZ，,nxnnyn , 由题意，(1, )Ay，( ,1)B x. 因为点,A B相关，则 2222 42| 12| 12|xyxyyyxx . 所以| 10 xyxy . 所以(| 1)(| 1)0 xy. 当0 x 时,|0,1y ,则(1,1)A相关点的个数共 3 个; 数学答案 第 9 页（共 10 页） 当| 1x 时,则(1,1)A相关点的个数共42n个; 当| 2x 时, | 1y ，则(1,1)A相关点的个数共4 (1)n n个. 所以满足条件点 B 共有 2 4 (1)42 345n nnn (个). ()集合S中元素个数的最大值为81n. (0,0),(0, 1),( 1, 1),( 1,),( 2,),(,)Snnnn 符合题意 下证：集合S中元素个数不超过81n. 设 1122 ( ,), (,)A x yB x y，若点,A B相关，则 2222 11112222 2|2|xyxyxyxy 2222 12122121 2|2|xyxyxyxy. 则 1 1221221 | |x yx yx yx y. 所以 1212 (|)(|)0 xxyy. 设集合S中共有m个元素，分别为( ,) iii A x y，1im ，*iN， 不妨设 12 | | m xxx，而且满足当 1 | | ii xx， 1 | | ii yy . 下证： 12 | | m yyy. 若 1 | | ii xx， 1 | | ii yy . 若 1 | | ii xx，则必有 1 | | ii yy . 记， 11 | iiiii dxyxy ，11im ，*iN， 显然，数列 i d至多连续 3 项为 0，必有 123 1 iiii dddd ， 假设81mn， 则 1281123481 ()21 nn ddddddddn . 而 12818181 | 21 nnn dddxxy