离散时间的金融市场均衡和资产估值多期模型(PPT 86页).ppt

第四章离散时间的金融市场均衡和资产估值：多期模型,4.1多期经济4.1.1跨期的信息结构我们有以下的基本假设和记号：（1）这个经济体总共跨越T+1时期：t=0,1,T。（2）这个经济体的每个状态记为，它表示这个经济体从t=0时期演变到t=T时期的一种可能的历史过程。要注意：是外生的，所有的区分和刻画了经济体的外部环境；把所有可能的外部环境状态进行了完整的区分；所有可能的状态记为，每个可以看作是状态空间的元素（点）。（3）经济体的真实状态是逐渐地从t=0时期演变到t=T时期，这样一个演变过程实际上也是一个信息结构逐渐展示的过程，可以用事件树来表示。,下面用一个简单的例子来说明事件树和信息结构。例：考虑一个三期模型t=0,1,2（此处T=2）。到t=T时期总共有5种可能出现的事件，可能的演变过程可用图4.1的事件树表示。对此事件树做以下解释：所有的事件（在这个简单的事件树中总共可能出现8个事件：）它们都是状态空间的子集。如果两个事件和，有，则和成为互相分离的事件。状态空间的一个划分是一组事件，使得，有。到t时期，经济体展示的有关状态的信息（通常来说对所有的投资者都相同）可以用状态空间的一个划分来表示。,在图4.1的事件树中，到了t=1时期，投资者获得的有关状态的信息就是划分，其中：，。于是投资者依据这样的信息就可以判断，如果在t=1时期出现的事件是，那么，到期末（t=2时期），只可能出现这3个事件之一；如果在t=1时期出现的事件是，那么，到期末（t=2时期），只可能出现这2个事件之一。假设投资者具有无限的记忆能力，则随着时间的推移，展示的信息会越来越精细，即有，比精细，这意味着。各个时期展示的信息汇总起来，就是整个信息结构，表示为为了方便起见，我们可以认为和。（4）把状态空间看作基本的样本空间，就可以在其上定义概率测度：。对于任意事件，该事件发生的概率就是,这样，我们就有了跨期信息结构的完整定义。说明：前面定义的每个状态表示的是经济体从t=0时期演变到t=T时期的一种可能的历史过程，也就是事件树上从期初到期末的一条可能的路径，和期末各种可能出现的事件是不同的。但是，在图4.1的例子中，到达期末任意事件的路径都只有一条，所以很容易在理解上混同起来。由图4.2可知，到期末，只可能发生3个不同的事件但可能的状态有4个，因为有4条可能的路径。其中也是按这4条可能的路径来划分的。,4.1.2证券市场定义4.1：一个时间/事件或有要求权是1份有价证券，到t时期，在事件发生时，支付1个单位的消费品。时间/事件或有要求权就是多期模型中的Arrow-Debreu证券（基本证券），对于所有多期模型中的金融资产的不确定性现金流，我们都可以采用时间/事件或有要求权的组合来复制。假设在证券市场上一共有N+1种有价证券在进行竞争型交易。令是第K种证券在t时期的价格。显然，是的函数。如果采用向量和矩阵的记法，是所有N+1种有价证券在t时期的价格向量，是所有N+1种有价证券在t时期的红利（利息）向量。和都是相对于的可测随机序列，我们称和适应于信息结构。采用，和信息结构F刻画多期模型的证券市场。,4.1.3投资者偏好假设在我们的多期模型经济中总共有位消费者/投资者。他们在t时期的消费（量）记为，是的函数，即有所有的也都是相对于的可测随机序列，即都适应于信息结构F同样，消费者/投资者要最大化他们的冯诺伊曼摩根斯坦期望效用函数值。期望效用函数在数学上表示为此处表示消费者/投资者在事件树中的一条可能的路径上的全部消费。我们假设消费者/投资者具有以下形式的时间可加、状态可区分和各个状态互相间独立的偏好，可用以下形式的效用函数表示：注意：已经包含了消费的时间偏好在内。并且，我们假定（1）（严格的）非餍足性，即；（2）（严格的）风险厌恶，即。,（4.1.1）,（4.1.2）,4.1.4经济禀赋和消费/投资策略对于消费者/投资者i，令是他（她）在t时期对所有N+1种证券的持仓量，如果投资者在t时期交易证券，即调整他（她）的投资组合中各种证券的持仓量，那么，是指交易前（即调整投资组合前）的持仓量。因此，就是在t+1时期进行交易前（调整投资组合前）投资组合中各种证券的持仓量。如果投资者在t时期减持（即卖掉）部分有价证券，将所得的货币资金用于消费的话，在t时期消费的量（因为已经假设只有一种消费品）记为。这样，一个交易策略（即投资策略）也就是一个随时间变化调整投资组合中各种证券的持仓量的随机过程（在离散情况下是随机序列）。为什么是一个随机过程而不是一个确定性的过程？因为作为一个面向不确定性的策略，在期初制定时，它必须是一个“随机应变”的策略，在从t=0时期演变到t=T时期的过程中，面对各种可能出现的状态采用相应的不同措施。,定义4.2：一个交易策略（投资策略）是一个N+1维的随机序列适应于信息结构F。一个消费策略则是一个1维的随机序列也适应于信息结构F。定义4.3：一个交易策略（投资策略）称为是可采纳的，如果相应地存在一个消费策略，使得，有所有可采纳的交易策略都满足预算的约束。遵循（4.1.3）式的消费策略被称为是依靠交易策略（投资策略）融资的。是t时期除红（或付息）前投资组合的价值。现在（在时期）进行交易，卖掉一部分证券将所得用于消费，消费量是，剩下的调整后的投资组合的价值就是，调整后的持仓量就成为。此时还在t时期，价格仍然是t时期价格，但已经除红（或付息），所以证券价格仍然为。这样，按照新的持仓量计算，调整后的投资组合的价值为，于是就有（4.1.3）式。,（4.1.3）,定义4.4：是第i位消费者/投资者在t时期拥有的财富，即经济禀赋。也是一个适应于信息结构的随机过程（随机序列）。消费者/投资者在各时期各种状态下（即发生各种事件中）所拥有的经济禀赋（财富）构成了消费和投资的预算约束。,4.2最优消费/投资策略消费者选择他（她）的消费/投资策略这样的策略用来表示使自己的效用函数最大化：在模型（4.2.1）中，除了t=0时期的变量外，其他的变量都是随机变量。4.2.1动态规划解法动态规划是运筹学中求解多期优化问题的常用方法，该方法是贝尔曼在20世纪50年代初提出的，其基本思想是一种逆向的求解方法。（1）当t=T时，此时已经到了多期模型的终期，投资组合将被全部变现用于消费，所以有，并且,（4.2.1）,（2）我们标记到t期时，在当时所能获得的信息条件下的预期值（数学期望值）为，并记当时的投资组合的价值为，则在t=T-1期的消费/投资策略（模型4.2.1）就转变成这里，是T-1期的值函数。（3）当t=T-2时，可以重复上面的步骤，得到优化模型,（4.2.2）,（4.2.3）,注意：引用贝尔曼的“最优化原理”，这个模型的值函数（即优化目标函数）可以改写成以下的“嵌套”形式：和互换位置是因为去预期值（概率平均值）与的优化决策选择无关。注意：“嵌套”中的值函数是已经在（4.2.2）式的约束条件下优化后的结果。于是，（4.2.3）式的模型最终可改写为,（4.2.5）,（4.2.4）,（4）以此类推，我们就可以得到一般的t期模型：模型（4.2.6）就是我们求解多期消费/投资优化策略的动态规划模型。,（4.2.6）,4.2.2求解最优消费/投资策略记为第k种证券在t+1时期的收益率。于是，第i位消费者/投资者在t+1期的财富可以表示为其中，是第t+1期（在第t+1期进行交易调整持仓量之前）第i位消费者/投资者持有第k种证券的货币价值。于是，从第t期到第t+1期（在第t+1期进行交易调整持仓量之前），消费者/投资者的财富应该是,(4.2.7),代入（4.2.7）式，就有如果第0种证券是无风险资产，在第t+1期的收益率记为，就有,（4.2.8）,于是，我们可以把多期消费/投资优化策略的动态规划模型（4.2.6）改写成我们依然假设消费者/投资者是非餍足和风险厌恶的，于是就可以求一阶最优化条件（F.O.C.）：（1）相对于的一阶最优化条件（2）相对于的一阶最优化条件由模型（4.2.6），可以直接得到,（4.2.6）,（4.2.9）,由一阶最优化条件（4.2.9）可以推出这可以看作包络条件。这个包络条件的经济涵义是对于优化的消费/投资策略而言，今天消费的边际效用等于其财富的边际效用，而财富的边际效用就是预期的未来消费的边际效用。现在假设是严格的凹函数，则对于也是严格的凹函数。这样就可以解出最优消费策略因为是的严格凹函数，所以一阶最优化条件（F.O.C.）已经保证了所求得的解是最优解。注意：这里采用动态规划方法求出的最优消费/投资策略是针对个别消费者/投资者的，还未涉及整个金融市场的均衡问题。,（4.2.10）,（4.2.11）,4.3均衡定价4.3.1多期模型的Arrow-Debreu经济首先定义多期模型的Arrow-Debreu证券，并假设现在t=0时期存在这样的Arrow-Debreu证券的完全集。定义4.5：在一个多期经济体中，如果，存在一项有价证券，它的支付函数是，其中是示性函数：这样的有价证券被称为多期模型的Arrow-Debreu证券（状态或有要求权）。,我们把交易多期模型的Arrow-Debreu证券的市场经济称为多期模型的Arrow-Debreu经济。如果对多期模型的信息结构中所有可能的事件，都存在相应的Arrow-Debreu证券，这些Arrow-Debreu证券就构成完全集。存在多期模型的Arrow-Debreu证券的完全集的市场就称为多期模型的Arrow-Debreu经济的静态完全市场或具有静态完全性。假设：金融市场只在t=0时期开放，即只有在t=0时期可以投入货币资金构筑投资组合，或者可以变现投资组合获得货币资金用于消费。令是上述定义4.5中支付函数为的Arrow-Debreu证券在t=0时期的市场价格。在存在多期模型的Arrow-Debreu证券的完全集时，我们就可以建立以下多期模型的Arrow-Debreu经济均衡的概念。,定义4.6：在一个多期经济体中，Arrow-Debreu经济均衡是指存在一个状态价格集合，使得（1）每位消费者/投资者，都实现自己跨期的消费计划的优化，即有（2）市场结清,（4.3.2）,其中，约束等式的经济涵义是第i位消费者/投资者现在和未来消费所受到的财富（禀赋）约束。市场结清条件则告诉我们，无论是现在还是未来各期，在任何可能出现的状态下，市场都必须结清，也就是说，市场都必须处于供需均衡。在假设所有的消费者/投资者的确定性效用函数连续、递增和严格凹时，从一般均衡存在性的理论和福利经济学第一定理可以导出：多期模型的Arrow-Debreu经济的一般均衡是存在的；多期模型的Arrow-Debreu经济的均衡是帕累托最优（有效）的。,4.3.2多期模型的理性预期均衡在此，我们假设投资者不仅可以在t=0时期交易，还可以在t=0之后的任何时期交易。这样，消费者/投资者就可以根据自己优化的消费/投资策略不断地调整自己的投资组合的持仓量来求得效用最大化。一般来说，对于未来可以通过交易调整持仓量的机会，市场的均衡取决于投资者对未来发生的事情的预期。理性预期均衡模型就是要使市场均衡反映投资者的预期。定义4.7：理性预期均衡是一个适应于信息结构的价格（随机）过程，使得（1）每位消费者/投资者，都实现对自己跨期的消费/投资策略的优化，即有,（4.3.3）,约束条件中的是第位消费者/投资者在期初所持有的投资组合的持仓量。（2）市场结清在以后的任何时期的任何状态下，不管如何进行交易，市场上所有证券的数目不变，市场都处于均衡，当然，证券的价格随着时间的推移和市场状态的变化在不断地变化，期间还会派发红利或利息，因此，整个市场的总的市值也在不断的变化过程中。注意：在市场达到理性预期均衡时，市场关于未来证券价格的预期是完全由价格过程来表现的。理性预期均衡必须符合后验性要求，即交易者的预期要与事后的结果一致。在定义4.7中，因为对于都能结清市场而实现均衡，这意味着在这样的预期下，都可以在市场上实现，也就符合后验性要求。,（4.3.4）,于是，我们可以得到以下结论:如果市场在每个时期都开放，就一定存在一种理性预期均衡，这种理性预期均衡所有的交易都只会在t=0时期发生，而这种理性预期均衡所实现的资源配置和市场在t=0时期之后不再开放的多期模型的Arrow-Debreu经济均衡的配置是一样的。于是，对于理性预期均衡而言，就和多期模型的Arrow-Debreu经济均衡一样，证券的均衡价格直接由消费者/投资者相关的边际效用值确定。上述结论隐含的假设：存在Arrow-Debreu证券的完全集，如果不存在，情况就不同，这是市场的完全性问题，现在引入动态完全性这一概念。,4.3.3静态完全性和动态完全性在多期模型中，如果市场具有静态完全性，那么需要的Arrow-Debreu证券的数目是非常多的。再者，如果市场具有静态完全性，那么在t=0时期之后开放市场进行交易（投资者调整自己的投资组合）变成没有意义的事情，资源的最优配置可以在t=0时期一下子完成（前提是信息结构不发生变化）。如果容许在t=0时期之后开放市场进行交易（投资者因此可以动态地调整自己的投资组合），能否利用数目比较少的证券来实现最优配置？只有对这个问题给出正面的答案，动态资产定价理论才是有意义的。这就是金融市场的动态完全性问题。,我们用前面图4.1的例子来加以说明。,事件树上在t=0时期之后一共有7个节点，如果市场具有静态完全性，就需要有7个对应的Arrow-Debreu证券。我们把在所有时期都可以交易的证券称为长寿命证券。现在假设一共只有3种长寿命证券在市场上交易，它们都只在期末（T=2时期）才进行支付。它们在事件树上所有8个节点上的价格向量为,注意：第一项证券实际上是无风险证券，且不考虑时间价值，即。并且，到期末证券的价格就是支付。现在我们来证明，我们可以动态地交易这3种证券，实现任何消费模式。假如我们希望建立一个投资组合策略，使得到期末，如果出现状态，则投资组合能够提供1个单位的消费品；如果出现其他状态，则为0，即不提供任何消费品。如果到期末要出现状态，则在t=1时期必须出现状态。如果此时投资组合中3种证券的持仓量记为，为了到期末实现所要求的消费模式，必须满足其中,（4.3.5）,是在t=1时期出现了状态（事件），到下一时期（T=2时期）这3种证券的支付矩阵。显然，是满秩的。于是解得这样，投资组合在时期的价值就是现在我们倒推到t=0时期。在t=0时期，我们这样来选择投资组合，希望到t=1时期，如果出现状态（事件），则该投资组合的价值为；如果出现状态（事件），则该投资组合的价值为0。这就要求,（4.3.6）,其中是到t=1时期这3种证券的支付矩阵。（4.3.6）式的方程组的解不是唯一的。取，可以得到一个可行解。显然，在t=0时期，投资组合的市场价值就是所以，交易策略就可以使我们到期末实现我们所要求的消费模式，期初的成本则为。因此，到期末要求任何消费模式，都可以以类似的办法通过动态地交易这3种长寿命证券来实现。,注意：采用动态交易策略时，在中间节点通过交易调整投资组合中各种证券的持仓量时，实际上是自融资的（即，增持证券是依靠减持原来投资组合中的其他证券来融资的）。以上例子说明，只要有少数长寿命证券，对它们进行动态交易，就可以实现任何预想的消费模式。在这种情况下，消费者/投资者就可以通过动态调整数量较少的长寿命证券的组合来实现全市场的帕累托最优（有效）配置。一个金融市场如果能够做到这一点，就称为动态完全市场，或者称市场具有动态完全性。显而易见，市场的动态完全性所需要的长寿命证券的数目远少于静态完全性所要求的Arrow-Debreu证券的数目。现在，重要的问题是：需要一个什么样的长寿命证券组合才能使市场动态地完全化？分析上述例子，我们可以得到以下条件：,事件树里每个节点上的长寿命证券的数目不能少于节点后分叉的数目；节点上“局部”的支付矩阵的秩应等于节点后分叉的数目。满足以上条件的金融市场实际上是“局部”完全的，因而可以通过动态交易使整个市场动态完全性。,定义4.8：Arrow-Debreu经济的理性预期均衡可以通过证券市场的理性预期均衡来实现，如果满足以下条件：（1）证券市场是动态完全的；（2）在两个理性预期均衡中证券的价格是一样的；（3）两个理性预期均衡的配置是一样的。意味着，只要证券市场是动态完全的，就可以通过动态交易实现帕累托最优（有效）配置。,4.4理性预期均衡的资产定价在证券市场理性预期均衡时（注意：这里我们并不要求市场具有动态完全性），我们来考察从t时期到t+1时期的情况。参照第三章的两期模型中的结论，均可得出t时期的第i位消费者/投资者优化自己的消费/投资策略的条件：这个优化条件说明：对第i位消费者/投资者的边际效用而言，今天多消费1个单位的消费品，和不消费这1个单位的消费品而把它投资用于下一期消费，二者对于消费者/投资者来说是没有差别的。进一步可以将（4.4.1）式改写成,（4.4.1）,（4.4.2）,如果市场是动态完全的，那么，上述优化条件的配置就是帕累托最优配置。参见3.6.1小节，就可以知道，存在代表性经纪人，其预期效用函数为此处，对于所有的，有并且使得，有此处，分别是S时期和t时期的总量消费。于是我们可以把由个别消费者/投资者优化自己效用函数的条件改成全市场的均衡定价方程：,（4.4.3）,（4.4.4）,在纯交换经济的情况下，就有因为所有消费都来自对金融资产投资而获得的红利（利息）收入。令是所有有风险金融资产从t时期到t+1时期的收益率，而则是该期间的无风险短期利率。利用（4.4.5）式，如果无风险证券到t+1时期的支付为1，则现在（t时期）无风险证券的定价就是用该期间的无风险利率的折现值故有注意：如果现在是t时期，那么，由定价方程（4.4.5）式，就不是随机变量，我们可以推出这被称为基于消费的资本资产定价模型（CCAPM）。,（4.4.5）,（4.4.6）,（4.4.7）,（证券数目归一化为1）,4.5理性预期均衡和等价鞅测度,4.6套利定价：无套利与等价鞅测度,均衡定价：信息结构、支付过程、消费者/投资者的效用偏好等基础上为所有在金融市场交易的金融资产定价套利定价在已知某些在金融市场交易的有价证券均衡定价的基础上，为其他金融资产（衍生证券）定价。假设：消费者/投资者具有理性预期,几点原则：,1.如果不存在无风险套利机会，某些证券（衍生证券）可以根据其他已知均衡价格的证券（标的物）采用无套利原理定价；2.所有的标的物价格之间不应出现无风险套利机会；3.证券市场的价格体系中不存在无风险套利机会，意味着存在等价鞅测度使得,定义4.9：在多期模型中，如果存在一个由消费/投资策略融资的跨期消费计划c,使得就被称为存在无风险套利机会。条件（1）意味着现在（t=0时期）不需要支出任何成本；条件（2）未来（t0时期）却可以获得价值为正的消费品。,定理4.3：如果存在一个等价鞅测度，则价格体系中不存在无风