函数的幂级数展开

教案函数的幂级数展开复旦大学陈纪修金路1 .教育内容函数的幂级数(Taylor级数)展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。 通过阐述函数展开为幂级数的各种方法，比较其优缺点，充分认识函数展开的重要性，掌握对不同函数选择最简单快捷的方法展开幂级数的方法，提高学生的计算和运算能力。2 .指导思想(1)函数的幂级数(Taylor级数)展开作为强大的数学工具，在分析学中占有重要的地位。 通常的数学分析教科书着重于解释幂级数的理论，但是如果忽视将函数展开为幂级数的方法，学生就容易学习幂级数的基本理论，但是在实际的计算中，对于非常简单的函数，也会感到求出该幂级数展开是很困难的，必须改变情况。(2)求函数的幂级数展开是数学家常遇到的问题，虽然有函数的幂级数展开式(见下面的(* )公式)，但一般来说直接利用(* )公式求函数的幂级数展开很不方便，因此需要向学生介绍一种方便实用的幂级数展开方法，以提高学生的实际计算能力。 这也是数学分析课程中推进素质教育不可忽视的一环。3 .教育安排首先回顾叙述幂级数理论时学到的内容：如果函数f (x )能够在具有x0的附近O(x0，r )展开幂级数，则该幂级数展开是f (x )为x0的泰勒级数(* )此外，得到了以下基本幂级数展开公式(1) f (x)=ex=，x (-，)(2) f (x)=sin x=，x(-，)(3) f (x)=cos x=，x(-，)(4) f (x)=arctan x=，x-1，1 。(5) f (x)=ln (1 x)=，x(-1，1 )。(6)，0是任意实数。正整数m时f (x)=(1 x)m=1 mx xm，x(-，)也就是说，其幂级数展开是二项式展开，只有有限项。在不是0和正整数情况下，其中=，(n=1，2，)和。假设函数f (x )能在x0附近的O(x0，r )导出任何阶数，要求在O(x0，r )处的幂级数展开并且从头开始考虑使用公式(* )通常是不明智的。 下面通过具体实例介绍幂级数展开的方便实用的方法1 .通过各种运算和变换，使函数成为已知幂级数展开的函数之和。例1中求出的幂级数展开。分解是部分式得到的，(6)再利用式()得到，例2中求出的幂级数展开。解，通过使用(2)式和(3)式而得到例3关于变量的幂级数展开求出。解除命令。 如果使用(5)式2 .按项求已知幂级数展开的函数或按项积分。例4中求出的幂级数展开。可以通过引导每个项目得到解求例f (x)=arcsin x的幂级数展开。若利用(6)式，则在x (-1，1 )的情况下=1 ，方程的两侧从0到x积分，与幂级数每项的积性=arcsin x很快就会得到arcsin x=x，x1，1 。关于其中幂级数在区间端点x=1的收敛性，可以用Raabe判别法得到。特别地，如果x=1，则可以获得关于的级数表示=1。3 .形状相似的函数可以分别使用Cauchy乘积和“未定系数法”。设f (x )的幂级数展开为收敛半径为R1、g(x )的幂级数展开为收敛半径为R2时，f (x)g(x )的幂级数展开为它们的Cauchy积f (x)g(x)=()()=其中cn=、的收敛半径minR1，R2。b0 0时，我们设为应用未定系数法求出的级数展开=、则()=，把x的各幂系数分开，可以依次得到b0 c0=a0 c0=，b0 c1 b1 c0=a1 c1=，b0 c2 b1 c1 b2 c0=a2 c2=、继续下去，你就可以找到所有的cn。例求ex sin x的幂级数展开(到x5 )。ex sin x=( ) ()=x 、和的收敛半径为全部，因此上述幂级数展开对于全部的x(-，)成立。例求tan x的幂级数展开(到x5 )。因为解tan x是奇函数tan x=c1 x c3 x3 c5 x5 ，所以呢(c1xc3x5x5)=)方程两端的x，x3和x5系数的比较得出c1=1，c3=，c5=，因此tan x=x x3 x5 。4 .“代入法”关于例7，也可以使用如下的“代入法”求解=1 u u2 如果将u=代入=1 () ()2 ) .=1 x2 x4 ，然后，求出与sin x的Cauchy积，同样得到关于tan x的幂级数展开。使用“未定系数法”和“代入法”求幂级数展开现在不能得到其收敛范围，只知道在x=的小附近幂级数展开成立(事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围为(-，)，其证明需要复数函数的知识)。“代入法”常用于e f (x )、ln(1 f (x ) )等函数的幂级数展开问题等复合函数。例8求出的幂级数展开(至x4)解除代入，很快就会得到的双曲馀弦值。关于注函数用幂级数展开的问题，因为不能采用代入的方法，所以希望学生考虑为什么应该正确使用“代入法”。求例9ln的幂级数展开(至x4)，其中函数为f (x)=首先，可以利用sin x的幂级数展开得出解=。ln (1 u)=u -，即得ln=() - ()2 =。利用例9，可以得到一些有趣的结果。 以前我们得到了方程式=、两侧取对数，将ln分别展开为幂级数ln=-。若比较上述式和本例的结果，由于这些x2系数、x4系数全部相等，故可得到式=、=。在计算时更加精细，即将ln的幂级数展开计算为x6、x8、也可以得到、的正确值。小心点1 .如果邻近的幂级数展开中存在幂级数，则幂级数必须是x0的泰勒级数(* )反之亦然。 实际上，我们列举了可以在任意阶段引导的函数，但是其Taylor级数没有收敛。 但是，一般而言，对于具有解析式的初等函数，如果其能够以任意次数导出，则其Taylor级数用附近的幂级数展开。2 .要让学生知道遇到了应该求函数的级数展开问题，首先不要考虑使用(* )式。 事实上，我们所介绍的求级数展开的一些方法比直接利用公式(* )更为方便，但学生应该学习在上述方法中选择最方便快捷的方法。3 .一般来说，利用“未定系数法”和“