04 平行四边形1教师2016春季 初二数学自招进度四

平行四边形平行四边形 1 / 10 第四讲 平行四边形（1） 1 平行四边形定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ，用“ ”表示 2 平行四边形性质 性质 1：平行四边形的对边平行 （对边位置关系） 性质 2：平行四边形的对边相等 （对边数量关系） 性质 3：平行四边形的对角相等 （对角数量关系） 性质 4：平行四边形的对角线互相平分 （对角线） 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等 3 平行四边形的判定 判定 1：两组对边分别平行的四边形为平行四边形 （对边位置关系） 判定 2：两组对边分别相等的四边形为平行四边形 （对边数量关系） 判定 3：两组对角分别相等的四边形为平行四边形 （对角数量关系） 判定 4：对角线互相平分的四边形为平行四边形 （对角线） 判定 5：一组 对边平行且相等的四边形为平行四边形 （对边位置+数量关系） 平行四边形平行四边形 2 / 10 【例题1】 填空题 （1） 已知平行四边形的面积是 2 144cm， 相邻两边上的高分别为8cm和9cm， 则这个平行四边形的 周长为_ 2 68cm_ （2） 已知在ABCD 中，A=B+D，则B= 60 ，C= 120 （3） 一个平行四边形的对角线长分别为 6、8，则其一边 x 的长度范围是 17x （4） 平行四边形的一内角平分线与对边相交，把对边分成 5cm 和 3cm 两段，这个平行四边形的周 长为_ 解： （1）(5 8) 226cm （2）(3 8) 222cm 【例题2】 如图，在ABCD 中，AF、BE 分别平分DAB、CBA，交 CD 于点 F、E，若 AB=6cm， AD=4cm，求 EF 的长 解： 过点 F 作 FGBE 交直线 AB 于点 G， 易知 FGAF， AG=2AD=8， 故 EF=8-6=2 【例题3】 在ABCD中，M是AD的中点，2ADAB，求BMC的度数 解：M是AD的中点，22ADAMDM 在平行四边形ABCD中，ABCD，又2ADAB 0 00 ,12,34 / /15,3625,46 / /2546180 569079090 AMAB DMDC ADBC ABCD BMC ， ，即 CB ADM 平行四边形平行四边形 3 / 10 G C D BA H F E H G F E D CB A 【例题4】 如图， 在ABCD中，60A ，DEAB，DFBC，:2:3DE AB ，2AEcm， 求ABCD的周长 解：,ABDE DFBC 00 :2:3 60 ,130 24 AB DEBC DF BC ABDE DF A ADAEcm 在 ABCD中，4,3 3ADcm ABcm 周长=(86 3)cm 【例题5】 已知：如图，点D、E、F分别是ABC三边上的点，且AEDF/，延长ED到点G，使 EDDG，连接AG与DF相交于点H，求证：AG、DF互相平分 【例题6】 如图，E、F、G、H 分别是ABCD 各边上的点，且满足 AE=CG，AH=CF 求证：四边形 EFGH 是平行四边形 证：判定 2 或判定 5 【例题7】 如图，已知1=2，3=4，BE/DF 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 证：判定 3 平行四边形平行四边形 4 / 10 N M D C B A 【例题8】 如图，已知在ABCD中，A和C的平分线分别与BD交于点N、M，求证：四边形 ANCM是平行四边形 【例题9】 在ABCD中，EF、是对角线BD的三等分点求证：四边形AECF是平行四边形 证（1） ：联结AC，交BD于O 在ABCD 中，,OAOC OBOD EF、是BD的三等分点， BEDF OBBEODDF 即OEOF，四边形AECF是平行四边形 证（2） ：A D EC B F，AECF，且34 AECF，四边形AECF是平行四边形 【例题10】 已知如图，以ABC各边为边，在BC一侧作正BCE、正ACF、正ADB，连接 ,DE EF，求证：四边形DAFE是平行四边形； 解：易证DBEABCDEAC，正ACFACAF DEAF,同理，EFAD,四边形DAFE是平行四边形。 【例题11】 如图，分别以ABCD中的ADBC、为边作等边ADE、等边BCF，联结EF 求证：四边形ABFE和四边形DCFE都是平行四边形 证：在ABCD中 / /,ADBC ADBC 0 1180ABC 即 0 123180 在等边ADE、等边BCF中 0 3460 ,ADAE BCBF O F E D C B A A BC D E F 平行四边形平行四边形 5 / 10 0 124180 即 0 2180EAB AEBF，且AEBF， 四边形ABFE是平行四边形 ABCDAB CD在中， ， ,ABFEAB EFCD EF在中， 四边形DCFE是平行四边形 【例题12】 如图，已知在ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O， AEBD 于 E， BFAC 于 F， CGBD 于 G，DHAC 于 H，求证：四边形 EFGH 是平行四边形 证：判定 4 【例题13】 如图，在平行四边形ABCD中，2ADAB，点EF、分别在BAAB、的延长线上，且 EABFAB，联结ECDF、求证：ECDF 证明：在平行四边形ABCD中，/ABCD，15,24 又,2,EABFAB ADAB ADBC 0 ,23, 17 1 34,571801809090 2 AFAD BEBC DOCDC ， ， 或AEG()DCG AAS， GDDC且DO平分GDC，故ECDF F H G E C B D A O 2 G 7 6 5 4 3 1 B A F C D E O G 1 B A F C D E 平行四边形平行四边形 6 / 10 M H N G F E D C B A 【例题14】 如图：已知)(DCBCABCD的各角平分线围成一个四边形EFGH，连HF， 求证：DCBCHF 【例题15】 在平行四边形ABCD中，6AB，8AD，B是锐角，将ACD沿对角线AC折 叠， 点D落在ABC所在平面内的点E处， 如果AE过BC的中点， 求平行四边形ABCD的面积； 解：设：BC的中点为F，由翻折知：ACEACD 8AEAD，6CECD，CAECAD 易证： 1 2 AFCFBC，则90BAC 22 2 7ACBCAB， 12 7 ABCD SAB AC。 【例题16】 已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AD=24cm，BC=30cm，点 P 自点 A 向 D 以 1cm/s 的速度运动，到 D 点即停止点 Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运动，到 B 点即停 止，直线 PQ 截梯形为两个四边形问当 P，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四 边形？ 解：设 P，Q 同时出发 t 秒后四边形 PDCQ 或四边形 APQB 是平行四边 形，根据已知得到 AP=t，PD=24t，CQ=2t，BQ=302t （1）若四边形 PDCQ 是平行四边形，则 PD=CQ，24t=2tt=88 秒后四边形 PDCQ 是平行四边 形； （2）若四边形 APQB 是平行四边形，则 AP=BQ，t=302tt=1010 秒后四边形 APQB 是平行四 边形 平行四边形平行四边形 7 / 10 【例题17】 已知： 等边ABC的边长为a，P是ABC内一点，ABPD/，BCPE/，ACPF /， 点D、E、F分别在BC、AC、AB上，求证：PFPEPD的值为a 【作业1】 判断下列语句是否正确： 对角线相等的四边形是平行四边形 （ ） 对角相等的四边形是平行四边形 （ ） 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（ ） 有两组邻角互补的四边形是平行四边形（ ） 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形（ ） 一组对角相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形（ ） 一组对角互补，另一组对角相等的四边形是平行四边形（ ） 一组对边相等及一组对角相等的四边形是平行四边形（ ） 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（ ） 一组对角相等且连接这一组对角顶点的对角线被另一条对角线所平分的四边形是平行四边形 （ ） 【作业2】 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE 平分ABC，CF 平分BCD，BE、CF 交于点 G若使 1 4 EFAD，那么平行四边形 ABCD 应满足条件（ D ） A. 60ABC B. :1:4AB BC C. :5:2AB BC D. :5:8AB BC 平行四边形平行四边形 8 / 10 【作业3】 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 是直线 AC 上的两点，并且 AE=CF求证：四边形 BFDE 是平行四边形 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形，,BOOD AOOC， AECF，,EOOF BOOD， 四边形 BFDE 是平行 四边形 【作业4】 如图所示，AECF 的对角线相交于点 O，DB 经过点 O，分别与 AE，CF 交于 B，D 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 证明： 四边形 AECF 是平行四边形 ,OEOF OAOC AECF ,DFOBEOFDOEBO FDOEBO ODOB OAOC四边形 ABCD 是平行四边形 【作业5】 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，AF 与 EB 交于点 G，CE 与 DF 交于点 H试说明四边形 EGFH 的形状 解：四边形 EGFH 是平行四边形 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，且 E，F 分别是 AD，BC 的中点 AE FC ，四边形 AECF 是平行四边形，GFEH 同理，四边形 EBFD 为平行四边形，EGHF，四边形 EGFH 是平行四边形 【作业6】 在平面直角坐标系中，点 A、B、C 的坐标分别为 A（-2，1） ，B（-3，-1） ，C（1，0） 若点 A、B、C、D 构成平行四边形，求点 D 的坐标 解：（1） 当AB为对角线，( 6,0)D ；（2） 当BC为对角线，(0, 4)D；（3） 当CA为对角线， (2,2)D 平行四边形平行四边形 9 / 10 【作业7】 如图：平行四边形 ABCD 中，MNAC，试说明 MQ=NP 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，,AMQC APNC 又MNAC， 四边形 AMQC 为平行四边形，四边形 APNC 为平行四边形 ,ACMQ ACNP， MQNP 平行四边形平行四边形 10 / 10 1. 平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O 点，,ACab BDac ABm，求m的 取值范围 解：过CCEDBAB作交的延长线于E， 易证四边形DBEC是平行四边形， 所以,CEDBac BEDCABm 2 .AEm即 在ACEACCEAEACCE中，即 11 ()(2) 22 bcmabc 2. 如图，在ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，G、H 是 AC 的三等分