03梅氏定理1教师初一寒假竞赛超常班

梅氏定理（梅氏定理（1） 1 / 7 第三讲 梅氏定理（1） 【梅涅劳斯定理】【梅涅劳斯定理】 梅涅劳斯梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的他指出：如果一条直线与）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的他指出：如果一条直线与 ABC的三边的三边AB、BC、CA或其延长线交于或其延长线交于F、D、E点，那么点，那么1 AFBDCE FBDCEA 【梅涅劳斯定理的逆定理】【梅涅劳斯定理的逆定理】 若有三点若有三点F、D、E分别在分别在 ABC的边的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足或其延长线上，且满足 1 AFBDCE FBDCEA ，则，则F、D、E三点共线三点共线利用这个逆定理，可以判断三点共线利用这个逆定理，可以判断三点共线 【以下为教师参考资料】【以下为教师参考资料】 证明一：证明一： 过点过点A作作AGBC交交DF的延长线于的延长线于G， 则则 AFAG BDBD CEDC FBBD DCDC EAAG ， 三式相乘得：三式相乘得： 1 AFBDCEAGBDDC FBDCEABDDCAG 证明二：证明二： 过点过点C作作CPDF交交AB于于P，则，则 BDFB CEPF DCPF EAAF ， 所以有所以有1 AFBDCEAFFBPF FBDCEAFBPFAF 它的逆定理也成立：若有三点它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在分别在 ABC的边的边AB、BC、CA或其延长线上，或其延长线上， 且满足且满足1 AFBDCE FBDCEA ，则，则F、D、E三点共线三点共线利用这个逆定理，可以判断三利用这个逆定理，可以判断三 点共线点共线 F E D C B A 梅氏定理（梅氏定理（1） 2 / 7 1. 已知如图，已知如图，ABC 中，中，BD：DC=CE：EA=2：1，AD和和BE交于交于F，求求AF：FD的值的值 证明：证明：ACD 割线割线BFE，由梅氏定理，由梅氏定理 1 DB CEAF BCEA FD 即即 2 2 1 3 1 AF FD 所以所以 3 : 4 AFFD 法二：法二： 2. 设设D为为 ABC中中BC边的中点，过边的中点，过D作一直线与作一直线与AC及及AB的延长线的延长线分别交于分别交于E、F 求证：求证：:AE ECAF BF 证明：证明：ABC ，割线割线EDF，由梅氏定理，由梅氏定理 1 AE CD BF ECDB FA 1 1 1 AEBF ECFA AEFA ECBF 方法二方法二： 3. 如图，已知如图，已知AD是是 ABC的的BC边上的中线，边上的中线，F为为AB上一点，上一点，CF 交交AD于点于点E 求证：求证： 2AEAF EDFB 证明：证明：ABD ，割线割线CEF，由梅氏定理，由梅氏定理 梅氏定理（梅氏定理（1） 3 / 7 1 AFBCDE FB CDEA 2AFAE FBDE 方法二方法二： 4. 如图， 点如图， 点D在在ABC 的的AC边上，边上，E在在CB的延长线上， 且的延长线上， 且AD=BE， 求证：， 求证：EF BCAC FD 证：证：EDC ，割线割线BFA，由梅氏定理由梅氏定理 1 EFDA CB FDAC BE 及及ADBE EF BCFD AC 5. 如图，如图，D、F分别是分别是ABC 边边AB、AC上的点且上的点且 2 3 ADCF DBFA ， DF交交BC边的延长线于边的延长线于E点，求点，求EF：FD的值的值 解法一解法一： ADF，割线，割线 BCE，1 AB DE FC BD EFCA ， 3 2 DE EF ， 2 1 EF DF 解解法二法二： ABC，割线，割线 DFE，1 BE CFAD ECFA DB ， 即即 2 2 1 3 3 BE CE ， 9 4 BE CE BDE，割线，割线 CFA，1 EFDA BC DFAB CE ， 即即 2 5 1 5 4 EF DF ， 2 1 EF DF 6. 如图如图，在，在ABC 中，高中，高BD=6cm，中线，中线CE=5cm，BD与与CE交交 于于M，M到到AC的距离为的距离为1cm，求求AB的值的值 解解：过过点点E作作EFAC于点于点F，则，则EFBD， ACE，割线割线DMB，1 BMDCAE MD CAEB ， 1 5 DC CA ，设设CDa ，则则2AFDFa， 梅氏定理（梅氏定理（1） 4 / 7 1 3 2 EFBD，在，在Rt CEF中中，43CFa，于是于是 4 3 a ， 8 3 AF ， 在在Rt AEF中中， 145 3 AE ，故，故 2 145 3 AB 方法二方法二： 7. 如图，如图，D、E为为BC的三等分点，的三等分点，F为为AC的中点求：的中点求：BP：PQ：QF 解解： BCF，割线割线DPA，1 BPFA CD PFACDB ，1 BP PF ， BCF，割线割线EQA，1 BQFA CE QFACEB ，4 BQ QF 设设2FQ ，则，则8BQ ，5BP ，3PQ ，:5:3:2BP PQ QF 方法方法二：二： 8. 如图，如图，D、E、F分别是分别是ABC 的边的边BC、CA、AB的三等分点的三等分点 中靠近中靠近B、C、A的一个分点，且的一个分点，且AD、BE、CF交成交成LMN ， 求证：求证： 1 7 LMN ABC S S 梅氏定理（梅氏定理（1） 5 / 7 证明证明： BCE，割线割线DMA，1 BDACEM DCAE BM 即即 1 3 1 2 2 EM BM 4 3 EM BM 设设 ABC sS 3322 7737 ABMABEBCNACL SSssSS 21 3 77 LMN Ssss 9. 如图，已知如图，已知F为为AB的中点，的中点，D为为AC的中点，的中点，AE=2EC， CF分别交分别交BD、BE于点于点G、K求求: BGKABC SS 解：解： ABD，割线割线FGC，1 BG DCAF GDCAFB ， 2 1 BG GD ， 2 3 BG BD ABE，割线割线FKC，1 BKECAF KECABF ， 3 1 BK KE ， 3 4 BK BE 231111 3422612 BGKBDEBDEBDEABCABC BGBK SSSSSS BDBE 10. 如图，已知如图，已知AD为为ABC 的中线，直线的中线，直线l分别交分别交AB、AD、AC于于E、F、G，求证：，求证： 2 BECGFD EAAGAF 证明证明：设：设：若若l与与BC 不平行不平行，则延长，则延长 EF 交交 BC 延长线延长线于于P， ABD，割线割线EFP，1 BEAFDP EA FDPB ， BEAFPB AEFDPD ， ACD，割线割线FGP，1 CG AFDP GA FDPC ， CGAFPC AG FDPD ， 2 BEAFCGAFPBPC AEFDAG FDPD 2 BECGFD EAAGAF 若若lBC， BECGFD AEAGAF 结论显然成立结论显然成立 11. 如图，如图，M、N分别为分别为ABC 中中AB、AC边上的点，且有边上的点，且有 AM m BM ， CN n BN ，MN与与中线中线BD交于交于O，求求 DO BO 的值的值 解解：若若MN与与AC不平行不平行，则延长则延长MN交交AC延长线延长线于点于点P， 梅氏定理（梅氏定理（1） 6 / 7 BDC，割线割线ONP，1 BO DP CN OD PCNB ，得得 BOPC ODnPD ， ABD，割线割线MOP，1 AMBO DP MB ODPA ，得得 BOPA ODmPD ， 22PCPAPDPCPC nPDmPDmPDmmPD ， 2PCn PDmn ， 2 DOPDmn n BOPC 若若MNAC，则则 DOAMCN m BOBMBN ，即即mn ，所以所以 2 DOmn BO 综上综上， 2 DOmn BO 方法二方法二： 12. 已知：已知：AD为为 ABC的中线，的中线，E、F分别为分别为AB、AC边边上的点，上的点，且且AEAF ，连，连EF交交AD于于 M求证：求证： EMAC MFAB M F D A B C E 梅氏定理（梅氏定理（1） 7 / 7 1.