习题课线性代数17slides06

第六次习题课：第六次习题课： 逆逆矩阵的矩阵的概念、性质和求解概念、性质和求解 北京大学公共卫生学院 罗冬梅 luodongmei_pku 主要内容主要内容 ? 可逆矩阵的概念和性质 ? 伴随矩阵的概念和性质 ? 初等矩阵的概念和性质 ? 用伴随矩阵法和初等变换法求解逆矩阵 可逆矩阵可逆矩阵 定义 对于n阶矩阵A，如果存在矩阵B，使得 则A称为可逆矩阵，简称A可逆. 称B是A的逆矩阵. （1）矩阵A、B一定是同阶方阵. （2）如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. .ABBAE? 可逆矩阵可逆矩阵 矩阵可逆的充分必要条件: n阶矩阵A可逆的充分必要条件是： |A|0； rank(A)=n； A的行(列)向量组线性无关； A可以表示成一些初等矩阵的乘积. 以上四个条件是等价的. 可逆矩阵可逆矩阵 逆矩阵的性质： (1)若A可逆,则A-1可逆,并且(A-1)-1=A. (2) 若A,B可逆,则AB可逆, 并且 (3) 若A可逆,则AT可逆,并且 (4) 若A可逆,c?0,则cA可逆,并且 (5)若A可逆,则 111 ().cAc A ? ? 1 1 .AA ? ? ? 111 ().ABB A ? ? T11 T ()() .AA ? ? 可逆矩阵可逆矩阵 求逆矩阵的方法： ? 伴随矩阵法 ? 初等变换法 伴随矩阵伴随矩阵 定义 矩阵 11211 12222T 12 () n n ijn nnnn AAA AAA AA AAA ? ? ? ? ? ? ? ? ? 称为矩阵A的伴随矩阵，其中是元素的代数余子式. ij A ij a 伴随矩阵伴随矩阵 1112111211 2122212222* 1212 |00 0|0 |. 00| nn nn nnnnnnnn n aaaAAA aaaAAA AA aaaAAA A A A E A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 行列式按行展开. 伴随矩阵伴随矩阵 1121111121 1222221222* 1212 * |00 0|0 |. 00| nn nn nnnnnnnn n AAAaaa AAAaaa A A AAAaaa A A A EAA A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 行列式按列展开. 伴随矩阵法求逆矩阵伴随矩阵法求逆矩阵 伴随矩阵法求逆矩阵: 定理 方阵A为可逆矩阵的充要条件是|A|0.当A可逆时, 1* 1 . | AA A ? ? ? ? 34(2) 34(2) 下列矩阵是否可逆下列矩阵是否可逆? ?若可逆若可逆, ,求其逆矩阵求其逆矩阵. . 伴随矩阵伴随矩阵 T * 1*1 *1 *11 * T * *1* * * *2 (1)|; (2)| 0(1/ |),|; (3)| |(1); (4) ()(1/ |)() ; (5)()() ; (6)(); (7)(),()() ; (8)()|. n n kk n AAA AA E AAA A AA A AAn AAAA AA AA cAcA ABB AAA AAA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可逆,则可逆,且 伴随矩阵的性质： 3636 5151 初等矩阵初等矩阵 对应三种初等行变换,有三种初等矩阵: (1)互换E的i,j两行(2)E的i行c倍(3)i行加j 行l倍 ( , )E i j ( ( )(0)E i cc ? ?( , ( )E i j l c 1li j ( , )E i j ( (1/ )E ic( , ()E i jl? ? 逆矩阵逆矩阵 定义 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵初等矩阵 定理 矩阵Amn左(右)乘m(n)阶初等矩阵相当对于A做同类 初等行(列)变换. 初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵 如果一系列初等行变换把A化成了单位矩阵E,那 么同样这些初等行变换就把E化成了A-1. 因此我 们可以把A和E并排放在一起，组成一个n*2n级 矩阵（A, E）. (A, E) 初等行变换 (E, A