秋季班初三自造进度一03三角形内切圆教师版VIP

1 第 03 讲 三角形内切圆 【知识点睛】 【三角形的内切圆】 三角形的内切圆：如果一个三角形三边所在直线都与一个圆相切，称圆 为三角形的内切圆；三角形为圆的外切三角形，内切圆的圆心称为三角 形的内心（三条角平分线交点）. 如图，I为ABC内心，IA、IB、IC平分A、B、C， 其中： （1）AFAE，BFBD，CDCE； （2）内切圆半径： 2 ABC ABC S r C .（任意三角形） 2 2 p papbpcpapbpc r pp . （3）在直角三角形中（其中a、b为直角边，c为斜边） ，有这样两个简便公式： （i） 2 abc r ， （ii） ab r abc . 【证明】 【三角形的旁切圆】 与三角形其中一边和另外两边的延长线相切的圆叫做 三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心，旁心是三角 形一内角平分线和另外两外角平分线的交点， 每个三角 形有三个旁心. r r r I F E D CB A P3 P2 P1 C B A I 2 【例题精讲】 【内心的概念及应用】 1. 如图， 已知ABC中，7AB cm，9BC cm，8CAcm，I是ABC 的内心，I与BCCAAB、分别相切于点DEF、 、.求线段 AFBDCE、的长. 解：令,AFx BFy CDz 由切线长定理，得AEAF ,BFBD CDCE 74 83,4,3,5 95 xyx yzyAFBDCE zxz 2. 点I是ABC的内心，AI交BC边于点D，交ABC的外接圆于 点E， 求证： （1）IEBE； （2）IE是AE和DE的比例中项 3. RtABC的内切圆I切斜边AB于点D， 切BC于点F，BI的延长线交AC 于点E求证：BI BCBD BE 证：连DI，DBICBE ，90BDIC，BDIBCE， BIBE BDBC ，即BIBCBEBD I F E C D B A I F E DC B A 3 4. 已知ABC中，ABAC，100A ，I为它的内心，BI的延长线交AC于D点，过A、B、D 三点作O，交BC于E点求证：BCBDAD 5. O 在O上，以 O 为圆心的圆交O于A、B，O的弦OC交 O 于D，求证：D为ABC的内心 4 【综合练习】 6. O内切于菱形ABCD，切点是E、F、G、H，求证：O是对角线AC和BD的交点 7. 如图所示，等腰ABC中，ABAC，4BC ，内切圆半径为1，求腰长 解：令AB与O的切点为D，BC与O的切点为E，则有EOA,三点共线，ADO 和AEB 都 是直角三角形，设xAD ，则1 2 xOA，又ADO AEB ，于是有 x x 2 1 2 1 2 ，解得 3 4 x， 3 1 3 AB 8. 设I是ABC的内心，IDBC于D，且有2AB ACBD DC，求证：ABAC 证明：设cABbACaBC ， 则 2 bca BD ， 2 cba CD 由题意知， 22 2 cbabca bc 2 2 2cbabc ， 222 acb ，ACAB I D C B A 5 9. 等腰ABC中，13ABAC，ABC的面积为60，求ABC内切圆的半径 分析：先求出底边与高的长，再计算内切圆半径，两步都分别有两种方法 第一步： 法一：设ABC 的内切圆圆心为O，过A作BCAD 于D，ACAB ，AD为BAC 的平分 线O在AD上设xCDBD ，60 2 1 ADBC，而在ABDRt 中，由勾股定理知， 22222 16913xxBDABAD ， 601692 2 1 2 xx， 解 得5 x或 12 x 法二： 设xBC2 ， 则 x AD 60 ， 由勾股定理知： 22 2 13 60 x x ， 整理得03600169 24 xx， 解得144 2 x或25 2 x，5 x或12 x 第二步： 法 一 ： 由 面 积 知 ， 当5 x时 ， 3 10 101313 120260 CDBCAB r， 当12 x时 ， 5 12 241313 120260 CDBCAB r 法二： 设O切AB于F， 连OF， 则ABOF ， A D BAFO ， 又BADFAO ， AFO ADB ， AB ODAD AB AO BD OF ， 设O的半径为r， 当5 x时，12 AD， 13 12 5 rr ， 解得 3 10 r当12 x时，5 AD， 13 5 12 rr ，解得 5 12 r ABC 的内切圆半径为 3 10 或 5 12 6 10. 已知：O为ABC的内切圆，切点分别是D、E、F:2:3:4ABC，求 :EDFDEFEFD的值 11. 在ABC中，AD与BE是角平分线，I是内心若C、D、I、E四点共圆，且1DE ，求ID的长 解：EIDC、四点共圆， 180DIEC 而 ABCBACAIBEID 2 1 2 1 180 CC 2 1 90180 2 1 180 180 2 1 90CC， 90 2 3 C， 60C，连IC， 30IDEICEICDIED，即 120DIE，1 DE， 3 3 ID 12. 试证：对于任何三角形，其内切圆圆心和旁切圆圆心的连线都被其外接圆圆周所平分 证明：CF平分ACB，CI1平分BCD ， 90 1 FCI CIEECI 454321，EIEC 11 9090ICIEECIECI ， 1 EICE 即 1 EICEIE ，E平分 1 II，得证 D E I CB A 7 【课后作业】 1. 如果用abc、 、分别表示直角边BCAC、和斜边AB的长，那么直角三角形ABC的内切圆半径长r 可以怎样表示？ 解一：设内切圆半径为r 则 111 222 ABC ABBCAC rS 2 ABC Sab r ABBCCAabc 解二：,IEBC IFAC且 0 90 ,CIEIF IECF为正方形，设,CEx BEy ADz 则 22 xya abcabc yzcxc zxb ab r abc 或写为 2 abc 【注】内切圆半径： 2S r C . 2. 如图，ABC的面积为S，周长为p，ABC 的三边在ABC外，且与对应边的距离均为h，求 ABC 周长与面积 r r r C A B F O E D c b a I C B A h A B C A BC h h 8 【备用题】 1. 如图， 在凸四边形ABCD中，BDACAB 它的四个内角中， 有两个是锐角， 其度数分别为 72、 66求另外两个内角的度数 2. 若一直角三角形的外接圆半径为R，其内切圆半径为r，与斜边相切的旁切圆半径为t，若R为r及t 的比例中项，证明：这直角三角形为等腰直角三角形 D B C A S H D K C BA 9 3. 已知ABC内切圆半径为r，三条边上的高分别是 abc hhh、 、，且9 abc hhhr求证：这个三 角形是正三角形 证：由已知得 cba S