第二章静电场.ppt

本章主要内容,一、静电场的求解方法：,1双电轴法,2镜象法,无限大导电平面镜象,球形导体面镜象,无限大介质交界面的镜象,二、静电场的应用,计算电容,计算电场力,理论依据：,静电场的唯一性定理,1唯一性定理,2唯一性定理的重要意义,唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。,在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。(UniquenessTheorem),2.1静电场的唯一性定理及其应用,2.1静电场的唯一性定理及其应用,3边界为导体时，边界条件分类,(a)给定各导体表面的电位值。,(b)导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。,(c)给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。,为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相差任一常数？,唯一性定理的应用：等位面法,静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另一侧的电场保持不变。,等位面内填充导电媒质后，边界条件不发生变化：边界k的等位性不变；边界k内的总电荷量不变。,用静电场的唯一性定理解释静电屏蔽现象,现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。,用静电场的唯一性定理解释静电屏蔽现象,现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电场不受壳外电场的影向。,1边界S2为等位面；2边界S2上的总电荷量不变。,导体壳不接地情况下，壳外电场是否受壳内电荷的影响？,2.2平行双电轴法,边值问题：,（导线以外的空间）,根据唯一性定理，寻找等效线电荷电轴。,1.问题提出,能否用高斯定理求解？,设介质电容率为0的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电荷线密度分别为,(2-1),(2-2),由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度为：,平行双电轴电场,图2-8两电轴外任意一点P的电场,选取坐标轴的原点o为零电位点，点P电位为：,（2-5）,由叠加原理，点P的电位为,(2-4),(2-3),图2-9平行双电轴电场,等位线的分布规律,在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族面。通常称零等位线的那个等位面为零电位面或中性面。,设某个等位圆之半径为R0，等位圆圆心至中性面距离为x0，以及电轴至中性面的距离为D/2，则R0、x0与D三者间的关系，可通过简单几何关系求得。在等位圆上选择特殊点A及B，令R2/R1=R2/R1=K(常数)，则有,图2-10两平行同半径圆柱的等效电轴位置,(2-6),(2-7),可知：1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作出以x0为圆心R0为半径的等位圆。2)若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等位圆圆心所在处x0的等位圆。3)若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在的位置，亦即推求出距离D,图2-11两平行同半径圆柱体的几何中心轴与等效电轴的位置,具有相同半径R0的平行双输电线。设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+及-，求电场分布。可认为导线的圆截面是沿某待求的双电轴所形成的等位圆填充导电媒质所得，根据等位面法，此问题转化为求解双电轴的电场，而由式(2-7)，可以容易地求得双电轴的位置。,平行双电轴法,(2-8),由式(2-9)及式(2-10)可求得,(2-11),(2-10),(2-9),对于相互平行但半径不同的带电圆柱导体，半径R0与R0以及两圆柱体轴心距离d已知，得,(2-12),图2-12两不同半径的平行圆柱体的等效电轴的位置,解得x0及x0可求两电轴的距离,图2-13两不同半径的偏心圆的等效电轴的位置,对于两偏心圆柱套筒的电场，在已知两圆柱套筒半径R0、R0以及圆柱轴心间距离d的情况下，可得,从而可求两电轴的距离D。,(2-13),(2-14),电轴法在求解双输电线电容及偏心圆柱套筒等的电容问题中被广泛运用。,电轴法的基本思路,电轴法：用置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法，称为电轴法。,1、若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？,1、若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？2、感应电荷是否均匀分布？,1、若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？2、感应电荷是否均匀分布？3、若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。,电轴到中性面的距离为,例2-2空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量=10-8C/m，圆柱的半径各为R0=15cm,R0=20cm，两圆柱的几何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。,解对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式(2-11)可确定中性面到半径为R0的圆柱面的几何中心的距离为,试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。,（以y轴为电位为参考点）,解：,建立坐标系，确定电轴位置,圆柱导线间电场和电位,例,镜像法的特点以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件保持不变，从而保持被研究的场不变。,镜像法的理论基础唯一性定理。在静电场中，满足给定边界条件(即前述三类边界条件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。,2.3无限大导电平面的镜象法,1.点电荷对无限大接地导电平面的电场,边值问题：,1.点电荷对无限大接地导电平面的电场,上半场域边值问题：,1.点电荷对无限大接地导电平面的电场,P点的电位：,P点的电场强度：,大地上感应电荷面密度：,整个地面上感应电荷的总量为：,地面上感应电荷密度的分布曲线,2.无限大导电平面镜像法的应用,1)夹角为直角的两相联导电平面,2.无限大导电平面镜像法的应用,2)夹角为的两相联导电平面,偶数,夹角必须满足：,镜像电荷的个数为：,2.无限大导电平面镜像法的应用,3)长直圆柱导体对导电平面的镜像,圆柱导体的半径：,3.工程计算例题,例2-3.工程计算例题,在大气电场中架空地线的电位为：,解得：,在大气电场中导线的电位：,带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0，由于大气电场的影响将导致高度为l处的高压输电线A的电位升高。若在A的上方架设有架空地线G，半径为r0，G是经过支架接地的，则在架空地线G上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A处的电位。试求由于架空地线的屏蔽作用而导致A处电位的变化。,A处电位的变化率：,若h=11m，l=10m，r0=0.004m，则：,架空地线的作用：保护高压输电线免受直接的雷击。,4.总结：镜像法的要点,镜像电荷只能放在待求场域边界以外的区域，其所处的位置与场源电荷以边界平面相对称；镜像电荷所带电量与边界面原来所具有的总电荷量大小相等；与场源电荷量大小相等，符号相反；镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置；求解时，要注意场的适用区域。,课后作业：P72：2-172-18,接地导体球对点电荷的镜象,边值问题：,（除q点外的导体球外空间),点电荷对接地导体球面的镜像,2-4球形导体面的镜象,分析：按镜象法原理将导体球撤去，使整个空间充以电容率为0的同一媒质，并在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电荷-q，来代替球面分布电荷的作用。若此时仍能保持球面的电位为零，则球面以外的电场，可视为点电荷q及-q共同产生的电场，运用点电荷场强公式及叠加原理，即可求解。,(2-15),设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以R为半径的圆周上的任意点P，其电位表达式为,R2及R1分别为点P至点电荷-q及q的距离。由于点电荷q为确定值，q亦必为确定值，故有在圆上选取两特殊点C及D,(常数),(2-16),(2-18),(2-17),解上式得b=R2/d,(2-19),由式(2-16)进一步可得可以验证在点电荷q和-q的共同作用下，原导体球面上任一动点p处的电位为零。这样在求得q与b值之后，就可解决求解导体球外部电场的问题。注意：镜像电荷必须在被研究的场域边界之外，镜像电荷所带的电量与边界面原来具有的总电荷量相同（符号与数量均相同），但小于场源电荷量。,不接地导体球形对点电荷的镜象,在接地球的基础上判断镜像电荷个数、大小与位置,解:边值问题：,(除q点外的导体球外空间）,(S为球面面积),试计算不接地金属球附近放置一点电荷时的电场分布。,任一点电位及电场强度为：,在球内有两个等效镜象电荷。正负镜像电荷绝对值相等。正镜像电荷只能位于球心。,点电荷位于不接地导体球附近的场图,不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷吗?为什么？,空气中有一内外半径分别为R11和R22的导体球壳原不带电，其内腔介质为0，若于壳内距球心为b处置点电荷q，求球壳内外的电场强度和电位。,例2-4,解,1计算球内的场，设球壳的电位为0,2计算球外的场,球外表面的电荷均匀分布，球壳外电场具有球对称性。,2-5无限大介质交界平面的镜象,边值问题：,中的电场是由决定，其有效区在下半空间，是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。,即,点电荷位于不同介质平面上方的场图,中的电场是由与共同产生，其有效区在上半空间，是等效替代极化电荷的影响。,例2.5,离河面高度为h处，有一输电线经过，导线单位长度的电荷量为，且导线半径Rh。设河水的电容率为800，求水中的电场强度。,解：,镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理；,镜象法小结,镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；,镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置；,应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。,2-6电容与电容的计算,1电容器的电容,2）定义：若两个导体分别带有等量异号的电荷q，周围没有其它导体带电；其间电位差UAB，它们组成电容器的电容为：,单位：库仑/伏特称作法拉或记为C/V。,2孤立导体的电容,孤立导体是指附近无其它带电体或导体，认为地球离它很远。,说明：电容只与两导体的几何形状、尺