11全等三角形常用辅助线1教师版初一自招进度二

1 第第 12 讲讲 全等三角形常用辅助线（全等三角形常用辅助线（1） 【知识点【知识点】 1. 条件中出现中点 a) 倍长中线：构造两组全等三角形和一个平行四边形，转移边和角； b) 中点在直角三角形斜边上：联结中点和直角顶点，利用斜边中线性质； c) 构造中位线：再找到或作出新的中点，形成中位线再解题. 2. 条件给出角分线 a) 翻折：沿着角分线翻折角的某一边，这种技巧经常出现在截长补短中； b) 作高：从角分线上的一点向角的两边作垂线段； c) 作平行线：从角分线上的一点作角一边的平行线，可以立得等腰三角形. 3. 条件给出高 a) 题目中一定有很好的角度关系； b) 多条高提示要通过面积法转化. 4. 构造等腰或等边三角形； a) 中线、角分线和高有两线合一：提示要补出等腰三角形，并通过全等证明之.； b) 在已有的等腰或等边三角形之外，补出新的等腰或等边三角形. 特别是题目中含有 60 或 120 时， 常常可以将图形补成正方形. 5. 几何无王者之道 理解某类方法的限制和理解某类方法为什么有效同样重要！方法是没有好、坏之分的，只是对某些特 定的题目存在高效的方法和低效的方法之分！要成为解题高手，就是准备好足够的方法，然后不断尝 试，不断试错，找到最高效的方法！ 【例题精讲】 【例题【例题1】如图，已知ACAB，AD 是ABC的中线，求证： 22 ABACACAB AD . 【解答】 DBC A 2 E D F C B A 【例题【例题2】如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，证明 BECFEF 【解答】 证明：延长 FD 至 M，使 FD=DM，连接 BM，EM ， 易证BMDCFD，CFBM. 又DEDF， EDMEDF90 MDEFDE EMEF MEF 是等腰三角形， EMEF. 又 BE+BMEM， BE+CFEF. 【例题【例题3】已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BEAC，延长 BE 交 AC 于 F， 求证 AFEF. 【解答】证明：倍长 AD 至 G，连接 BG， 易证ADCGDB，所以GCAD，BGAC， BEAC，BGBEGBEG，CADBEG BEGAEF（对顶角相等）CADAEF AFAE（等角对等边） 3 【例题【例题4】已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形. （1）求证：EF2AD； （2）求证：ADEF； （3）联结 EC、BF，试证明：EC 垂直且等于 BF. 【解答】 证明：解法一：延长 AD 至 G，使得 DGDA，连结 BG 易证BDGCDA，所以 BGCA，GCAD， ABE 与ACF 是等腰直角三角形 AEAB，BAE90 ，ACAF，CAF90 BGAF 又EAF=360 -BAE-CAF-BAD-CAD 180 -BAD-CADABG180 -BAD-GEAF ABG ABGEAF AGEF 又AG2AD，EF2AD. 解法二：把AEF 绕着 A 点顺时针旋转 90 得到AGC，则 EF=CG 此时 AD 是BCG 的中位线，所 以 CG=2AD，所以 EF=2AD. 【例题【例题5】如图，在ABC中，ACAB ，D 在 AB 的延长线上，且ABBD ，E 是 AB 的中点，连接 CD、CE. 求证：CDCE 2 1 . 【解答】 4 D C B A E D C B A 【例题【例题6】如图，已知在ABC 中，B60 ，ABC 的角平分线 AD，CE 相较于点 O. （1）求证：OEOD； （2）求证：AC = AE + CD. 【解答】证明：在 AC 上作 CF 等于 CD，连接 FO. 因为由题意得，DCO=ACO，,BAD=CAD，又因 为B=60 ，所以OAC+OCA=60 ，所以AOC 等于 120 ，所以DOC=AOE=60 所以又FOC DOC，所以 FO=DO,又可证明AOEAFO，所以 EO=FO，所以 OE=OD. 【例题【例题7】如图，ABC中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CDAC. 【解答】证明：解法一：延长 AC 至 E,使 CE=AC, 则 AB=AE, 连结 DE 又AD 平分BAC,AD=AD, ABDAED=ED=BD=ED=AD 又CE=AC,DC=DC ECDACD=ACD=ECD 又ACD+ECD=180 ACD=90 =CDAC 解法二：过 D 点作 DFAB，AFD90 ABAD，AFBF，又AB2AC，AFAC，AD 平分BAC，FADCAD，FADCAD（SAS）， AFDACD，CDAC. 5 【例题【例题8】如图，在ABC中，CABC221，求证：ACBDAB. 【解答】 【例题【例题9】如图，锐角ABC 中，B=2C，AD 为 BC 边上的高，求证：DC=AB+BD. D A B C 【 解 答 】 沿 直 线 AD 翻 折 ABD 得 ABE ， 可 得 两 个 等 腰 三 角 形 ABE 和 AEC ， DC=DE+EC=DE+AB=AB+BD. 【例题【例题10】已知点 P 是ABC 的角平分线 AD 上任一点，且 ABAC. 求证 PBPCABAC. 【解答】 B C A D 6 【例题【例题11】如图，已知等腰 RtABC 中，B=90 . BAC 的平分线交 BC 于 E，求证 AB+BE=AC. 【解答】证明：延长 AB 至 F 使 AFAC，连结 EF. 易证AFEACE，所以AFAC，FACE AC是正方形ABCD的对角线，ACE45 F45 又CBAB，所以FBE90 ，BEF45 BEBF， ACAFAB+BFAB+BE. 【例题【例题12】如图所示，在ABC中，AB=AC， 100A，BE 平分ABC交 AC 于 E，求证：BC=AE+EB. 【解答】证明：延长 【例题【例题13】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射 线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? N EBMA D 【解答】 联结 DN，得等边DMN，易证DNBDMA，故 DM=MN. 7 【例题【例题14】在等边三角形 ABC 中，点 E 在边 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC. （1）如图试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由 （2）若点 P 在直线 AB 上，点 Q 在直线 BC 上，且 PQ=PC若ABC 的边长为 1，AP=2，求 CQ 的长. 【解答】 （1）相等. 过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，得等边AEF，AE=EF. 再证EFCDBE. （2）CQ=2 或者 CQ=3. 8 E DC B A 【课后作业】 【作业【作业1】如图，ABDC，AD 求证：ABCDCB. 【解答】证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC. 则 AN=DN，BM=CM，在ABN 和DCN 中 )( )( )( 已知 已知 辅助线的作法 DCAB DA DNAN ABNDCN （SAS） ABNDCN NBNC （全等三角形对应边、角相等） 在NBM 与NCM 中 )( )( )( 公共边 辅助线的作法 已证 NMNM CMBM NCNB NMBNCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形对应角相等） 【作业【作业2】如图，已知ABC 中，AD 是BAC 的平分线，且BAD9 ，BAC 的外角的平分线 AE 交 BC 的延长线于点 E，ABACBE，求ABC 的度数. 【解答】解：延长 BA 至 F 点使得 AFAC， 易证ACEAFE（SAS） ，ACEAFE， 设ABCx，BAD9 ，AD 是BAC 的平分线， BAC18 ，ACE18 x，AFE18 x， 又ABACBE，ABAFBE，即 BFBE，AFEBEF18 x 在BEF 中ABCAFEBEF180 ，即