第二章 命题逻辑等值演算.ppt

主要内容等值式与基本的等值式等值演算与置换规则析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式联结词完备集可满足性问题与消解法,第二章命题逻辑等值演算,两公式什么时候代表了同一个命题呢？抽象地看,它们的真假取值完全相同时即代表了相同的命题.设公式A,B共同含有n个命题变项,可能A或B有哑元,若A与B有相同的真值表,则说明在2n次方个赋值的每个赋值下,A与B的真值都相同.于是等价式AB应为重言式.,2.1等值式,2.1等值式,定义2.1若等价式AB是重言式，则称A与B等值，记作AB，并称AB是等值式几点说明：定义中，A,B,均为元语言符号A或B中可能有哑元出现.例如(pq)(pq)(rr)r为左边公式的哑元.用真值表可检查两个公式是否等值请验证：p(qr)(pq)rp(qr)不与(pq)r等值,定义中给出的符号不是联结词符,它是用来说明A与B等值（AB是重言式）的一种记法,因而是元语言符号.此记号在下文中频繁出现,千万不要将它与混为一谈,同时也要注意它与一般等号=的区别.判断等值式有如下方法：1.真值表2.等值演算3.范式,用真值表判断公式的等值,例1判断下面两个公式是否等值：(pq)与pq解:用真值表法判断(pq)(pq)是否为重言式.此等价式的真值表如表1所示,从表中可知它是重言式,因而(pq)与pq等值,即(pq)(pq).,表1(pq)(pq)的真值表,等值式例题,例2判断下列各组公式是否等值:(1)p(qr)与(pq)r,结论:p(qr)(pq)r,等值式例题,(2)p(qr)与(pq)r,结论:p(qr)与(pq)r不等值,基本等值式,双重否定律AA幂等律AAA,AAA交换律ABBA,ABBA结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)分配律A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)德摩根律(AB)AB(AB)AB吸收律A(AB)A,A(AB)A,基本等值式,零律A11,A00同一律A0A.A1A排中律AA1矛盾律AA0蕴涵等值式ABAB等价等值式AB(AB)(BA)假言易位ABBA等价否定等值式ABAB归谬论(AB)(AB)A特别提示：必须牢记这16组等值式，这是继续学习的基础,等值演算与置换规则,1.等值演算由已知的等值式推演出新的等值式的过程2.等值演算的基础：(1)等值关系的性质：自反性、对称性、传递性(2)基本的等值式(3)置换规则3.置换规则设(A)是含公式A的命题公式，(B)是用公式B置换(A)中所有的A后得到的命题公式若BA，则(B)(A),等值演算的应用举例,证明两个公式等值例2证明p(qr)(pq)r证p(qr)p(qr)（蕴涵等值式，置换规则）(pq)r（结合律，置换规则）(pq)r（德摩根律，置换规则）(pq)r（蕴涵等值式，置换规则）今后在注明中省去置换规则注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值例3证明p(qr)与(pq)r不等值证方法一真值表法,见例1(2)方法二观察法.观察到000,010是左边的成真赋值，是右边的成假赋值方法三先用等值演算化简公式，然后再观察p(qr)pqr(pq)r(pq)r(pq)r更容易看出前面的两个赋值分别是左边的成真赋值和右边的成假赋值,等值演算的应用举例,判断公式类型:A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1例4用等值演算法判断下列公式的类型(1)q(pq)(2)(pq)(qp)(3)(pq)(pq)r),等值演算的应用举例,解(1)q(pq)q(pq)（蕴涵等值式）q(pq)（德摩根律）p(qq)（交换律，结合律）p0（矛盾律）0（零律）矛盾式,判断公式类型,(2)(pq)(qp)(pq)(qp)（蕴涵等值式）(pq)(pq)（交换律）1重言式,(3)(pq)(pq)r)(p(qq)r（分配律）p1r（排中律）pr（同一律）可满足式，101和111是成真赋值，000和010等是成假赋值.,2.2析取范式与合取范式,基本概念(1)文字命题变项及其否定的总称(2)简单析取式有限个文字构成的析取式p,q,pq,pqr,(3)简单合取式有限个文字构成的合取式p,q,pq,pqr,(4)析取范式由有限个简单合取式组成的析取式p,pq,pq,(pq)(pqr)(qr)(5)合取范式由有限个简单析取式组成的合取式p,pq,pq,(pq)p(pqr)(6)范式析取范式与合取范式的总称,范式概念,说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式形如pqr,pqr的公式既是析取范式，又是合取范式,范式的性质,定理2.1(1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题变项和它的否定式.(2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项和它的否定式.如：pp,ppr都是重言式.pq,pqr都不是重言式定理2.2(1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合取式都是矛盾式.(2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式.,命题公式的范式,定理2.3（范式存在定理）任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式公式A的析取(合取)范式与A等值的析取(合取)范式求公式A的范式的步骤：(1)消去A中的,（若存在）ABABAB(AB)(AB)(2)否定联结词的内移或消去AA(AB)AB(AB)AB,命题公式的范式,(3)使用分配律A(BC)(AB)(AC)求合取范式A(BC)(AB)(AC)求析取范式公式范式的不足不惟一,求公式的范式,例5求下列公式的析取范式与合取范式(1)(pq)r(2)(pq)r解(1)(pq)r(pq)r（消去）pqr（结合律）最后结果既是析取范式(由3个简单合取式组成的析取式)，又是合取范式(由一个简单析取式组成的合取式),(2)(pq)r(pq)r（消去第一个）(pq)r（消去第二个）(pq)r（否定号内移德摩根律)析取范式(pr)(qr)（对分配律）合取范式,求公式的范式,例6求下面公式的析取范式与合取范式：(pq)r解:演算中利用交换律,使得每个简单析取式或合取式中命题变项的出现都是按字典顺序,这对下文中求主范式更为重要.,（1）先求合取范式(pq)r(pq)r（消去）(pq)r)(r(pq)（消去）(pq)r)(rpq)（消去）(pq)r)(pqr)（否定号内移）(pr)(qr)(pqr)（对分配律）经过五步演算,得到了含三个简单析取式的合取范式.,（2）求析取范式求析取范式与求合取范式的前两步是相同的,只是在利用分配律时有所不同.因而可以用（1）中前四步的结果,接着进行对分配律演算.(pq)r(pq)r)(pqr)(pqp)(pqq)(pqr)(rp)(rq)(rr)(pqr)(pr)(qr),极小项与极大项,定义2.4在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i个文字出现在左起第i位上（1in），称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.几点说明：n个命题变项有2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示.用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示.mi（Mi）称为极小项（极大项）的名称.,实例,由两个命题变项p,q形成的极小项与极大项,实例,由三个命题变项p,q,r形成的极小项与极大项.,mi与Mi的关系：miMi,Mimi,主析取范式与主合取范式,主析取范式由极小项构成的析取范式主合取范式由极大项构成的合取范式例如，n=3,命题变项为p,q,r时，(pqr)(pqr)m1m3主析取范式(pqr)(pqr)M1M7主合取范式公式A的主析取(合取)范式与A等值的主析取(合取)范式定理2.5(主范式的存在惟一定理)任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式,并且是惟一的,求公式主范式的步骤,求公式主析取范式的步骤:设公式A含命题变项p1,p2,pn(1)求A的析取范式A=B1B2Bs,其中Bj是简单合取式j=1,2,s(2)若某个Bj既不含pi,又不含pi,则将Bj展开成BjBj(pipi)(Bjpi)(Bjpi)重复这个过程,直到所有简单合取式都是长度为n的极小项为止(3)消去重复出现的极小项,即用mi代替mimi(4)将极小项按下标从小到大排列,求公式主范式的步骤,求公式的主合取范式的步骤:设公式A含命题变项p1,p2,pn(1)求A的合取范式A=B1B2Bs,其中Bj是简单析取式j=1,2,s(2)若某个Bj既不含pi,又不含pi,则将Bj展开成BjBj(pipi)(Bjpi)(Bjpi)重复这个过程,直到所有简单析取式都是长度为n的极大项为止(3)消去重复出现的极大项,即用Mi代替MiMi(4)将极大项按下标从小到大排列,实例,例6(1)求公式A=(pq)r的主析取范式和主合取范式解(pq)r(pq)r（析取范式）(pq)(pq)(rr)(pqr)(pqr)m6m7r(pp)(qq)r(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m1m3m5m7,代入并排序，得(pq)rm1m3m5m6m7（主析取范式）,实例,(pq)r(pr)(qr)（合取范式）prp(qq)r(pqr)(pqr)M0M2qr(pp)qr(pqr)(pqr)M0M4,代入并排序，得(pq)rM0M2M4（主合取范式）,主范式的应用,1.求公式的成真成假赋值设公式A含n个命题变项,A的主析取范式有s个极小项,则A有s个成真赋值,它们是极小项下标的二进制表示,其余2n-s个赋值都是成假赋值例如(pq)rm1m3m5m6m7成真赋值为001,011,101,110,111，成假赋值为000,010,100.类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.,2.判断公式的类型设A含n个命题变项.A为重言式A的主析取范式含全部2n个极小项A的主合取范式不含任何极大项,记为1.A为矛盾式A的主合析取范式含全部2n个极大项A的主析取范式不含任何极小项,记为0.A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个、但不是全部极小项A的主合取范式中至少含一个、但不是全部极大项.,主范式的应用,例7用主析取范式判断公式的类型:(1)A(pq)q(2)Bp(pq)(3)C(pq)r解(1)A(pq)q(pq)q0矛盾式(2)Bp(pq)1m0m1m2m3重言式(3)C(pq)r(pq)r(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m0m1m3m5m7非重言式的可满足式,主范式的应用,3.判断两个公式是否等值例8用主析取范式判以下每一组公式是否等值p(qr)与(pq)rp(qr)与(pq)r解p(qr)=m0m1m2m3m4m5m7(pq)r=m0m1m2m3m4m5m7(pq)r=m1m3m4m5m7显见，中的两公式等值，而的不等值.,主范式的应用,4.解实际问题例9某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察,需满足下述条件:(1)若A去,则C必须去;(2)若B去,则C不能去;(3)A和B必须去一人且只能去一人.问有几种可能的选派方案?解记p:派A去,q:派B去,r:派C去(1)pr,(2)qr,(3)(pq)(pq)求下式的成真赋值A=(pr)(qr)(pq)(pq),主范式的应用,求A的主析取范式A=(pr)(qr)(pq)(pq)(pr)(qr)(pq)(pq)(pq)(pr)(rq)(rr)(pq)(pq)(pq)(pq)(pr)(pq)(rq)(pq)(pq)(pq)(pr)(pq)(rq)(pq)(pqr)(pqr)成真赋值:101,010结论:方案1派A与C去,方案2派B去,主范式的应用,由主析取范式确定主合取范式例10设A有3个命题变项,且已知A=m1m3m7,求A的主合取范式.解A的成真赋值是1,3,7的二进制表示,成假赋值是在主析取范式中没有出现的极小项的下角标0,2,4,5,6的二进制表示,它们恰好是A的主合取范式的极大项的下角标,故AM0M2M4M5M6,用成真赋值和成假赋值确定主范式,由主合取范式确定主析取范式用真值表确定主范式,几点注意：1.由公式的主析取范式求主合取范式设公式A含n个命题变项。A的主析取范式含s(0s2n)个极小项，即Ami1mi2mis,0ij2n-1,j=1,2,s没出现的极小项为mj1,mi2,mis,它们的角标的二进制表示为A的成真赋值，因而A的主析取范式为A=mj1mj2mj2n-1,由定理2.4可知AA(mj1mj2mj2n-1)mj1mj2mj2n-1Mj1Mj2Mj2n-1于是，由公式的主析取范式，即可求出它的主合取范式。例由公式的主析取范式，求主合取范式：（1）Am1m2(A中含两个命题变项p,q)（2）Bm1m2m3(B中含命题变项p,q,r),解:（1）由题可知，没出现在主析取范式中的极小项为m0和m3，所以A的主合取范式中含两个极大项M0与M3，故AM0M3（2）B的主析取范式中没出现的极小项为m0,m4,m5,m6,m7，因而BM0M4M5M6M7反之，由公式的主合取范式，也可以确定主析取范式。,2重言式与矛盾式的主合取范式矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n（n为公式中命题变项个数）个极大项。而重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项。将重言式的主合取范式记为1。至于可满足式，它的主合取范式中极大项的个数一定小于2n.,3主析取范式有多少种不同的情况含n个命题变项的所有无穷多合式公式中，与它们等值的主析取范式（主合取范式）共有多少种不同的情况。n个命题变项可产生2n个极小项（极大项），因而共可产生种不同的主析取范式（主合取范式），,由定理2.5可知，含n个命题变项的所有公式的主析取范式（主合取范式）最多有22n种不同情况，这与在1.2节中对真值表个数的讨论情况一样，并且可以看出：AB当且仅当A与B有相同的真值表，又当且仅当A与B有相同的主析(合)取范式真值表与主析取范式（主合取范式）是描述命题公式标准形式的两种不同的等价形式。,2.3联结词的完备集,定义2.6称F:0,1n0,1为n元真值函数.0,1n=000,001,111，包含个长为n的0,1符号串.共有个n元真值函数.,真值函数,2元真值函数,公式与真值函数,任何一个含n个命题变项的命题公式A都对应惟一的一个n元真值函数F,F恰好为A的真值表.等值的公式对应的真值函数相同.例如：pq,pq都对应,联结词完备集,定义2.7设S是一个联结词集合，如果任何n(n1)元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集若S是联结词完备集,则任何命题公式都可由S中的联结词表示定理2.6S=,是联结词完备集证明由范式存在定理可证,联结词完备集,推论以下都是联结词完备集(1)S1=,(2)S2=,(3)S3=,(4)S4=,(5)S5=,证明(1),(2)在联结词完备集中加入新的联结词后仍为完备集(3)AB(AB)(4)AB(AB)(5)ABAB,不是联结词完备集,0不能用它表示它的子集,等都不是,复合联结词,定义2.8设p,q为两个命题,(pq)称作p与q的与非式,记作pq,即pq(pq),称为与非联结词(pq)称作p与q的或非式,记作pq,即pq(pq),称为或非联结词定理2.7与为联结词完备集.证明,为完备集ppp(pp)pppq(pq)pq(pp)(qq)pq(pq)(pq)(pq)(pq)得证为联结词完备集.对类似可证,联结词“”真值表如图,定义：将任何命题公式A中各变元的肯定形式替换为否定形式，否定形式替换为肯定形式所得到的公式称为公式A的内否式。记为A-。如公式A=(PQ)(RS)A-=(PQ)(RS)不难验证：(A-)-=A,2.4可满足性问题与消解法,不含任何文字的简单析取式称作空简单析取式,记作.规定是不可满足的.约定:简单析取式不同时含某个命题变项和它的否定S:合取范式,C:简单析取式,l:文字,:赋值,带下角标或文字l的补lc:若l=p,则lc=p;若l=p,则lc=p.SS:S是可满足的当且仅当S是可满足的定义2.9设C1=lC1,C2=lcC2,C1和C2不含l和lc,称C1C2为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果,记作Res(C1,C2)例如,Res(pqr,pqs)=qrs,消解规则,定理2.8C1C2Res(C1,C2)证略注意:C1C2与Res(C1,C2)有相同的可满足性,但不一定等值.,消解序列与合取范式的否证,定义2.10设S是一个合取范式,C1,C2,Cn是一个简单析取式序列.如果对每一个i(1in),Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1jki),则称此序列是由S导出Cn的消解序列.当Cn=时,称此序列是S的一个否证.定理2.9一个合取范式是不可满足的当且仅当它有否证.例11用消解规则证明S=(pq)(pqs)(qs)q是不可满足的.证C1=pq,C2=pqs,C3=Res(C1,C2)=qs,C4=qs,C5=Res(C3,C4)=q,C6=q,C7=Res(C5,C6)=,这是S的否证.,消解算法,消解算法输入:合式公式A输出:当A是可满足时,回答“Yes”;否则回答“No”.1.求A的合取范式S2.令S0,S2,S1S的所有简单析取式3.ForC1S0和C2S14.IfC1,C2可以消解then5.计算CRes(C1,C2)6.IfC=then7.输出“No”,计算结束8.IfCS0且CS1then9.S2S2C,消解算法,10.ForC1S1,C2S1且C1C211.IfC1,C2可以消解then12.计算CRes(C1,C2)13.IfC=then14.输出“No”,计算结束15.IfCS0且CS1then16.S2S2C17.IfS2=then18.输出“Yes”,计算结束19.ElseS0S0S1,S1S2,S2,goto3,消解算法例题,例12用消解算法判断下述公式是否是可满足的:p(pq)(pq)(qr)(qr)解S=p(pq)(pq)(qr)(qr)循环1S0=,S1=p,pq,pq,qr,qr,S2=Res(pq,pq)=pRes(pq,qr)=prRes(pq,qr)=prRes(qr,qr)=qS2=pr,pr,q循环2S0=p,pq,pq,qr,qr,S1=pr,pr,q,S2=Res(pq,q)=p,消解算法例题,Res(qr,pr)=pqRes(qr,pr)=pqRes(pr,pr)=pS2=输出“Yes”,第二章总结,主要内容等值式与等值演算基本等值式（16组，24个公式）主析取范式与主合取范式联结词完备集消解法,基本要求,深刻理解等值式的概念牢记基本等值式的名称及它们的内容熟练地应用基本等值式及置换规则进行等值演算理解文字、简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的概念深刻理解极小项、极大项的概念、名称及下角标与成真、成假赋值的关系，并理解简单析取式与极小项的关系熟练掌握求主范式的方法（等值演算、真值表等）会用主范式求公式的成真赋值、成假赋值、判断公式的类型、判断两个公式是否等值会将公式等值地化成指定联结词完备集中的公式会用命题逻辑的概念及运算解决简单的应用问题了解消解规则及其性质会用消解算法判断公式的可满足性,1.设A与B为含n个命题变项的公式，判断下列命题是否为真？(1)AB当且仅当A与B有相同的主析取范式(2)若A为重言式，则A的主合取范式为0(3)若A为矛盾式，则A的主析取范式为1(4)任何公式都能等值地化成,中的公式(5)任何公式都能等值地化成,中的公式,真,假,假,假,真,65,2.判断公式的类型设A含n个命题变项.A为重言式A的主析取范式含全部2n个极小项A的主合取范式不含任何极大项,记为1.A为矛盾式A的主合析取范式含全部2n个极大项A的主析取范式不含任何极小项,记为0.A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个、但不是全部极小项A的主合取范式中至少含一个、但不是全部极大项.,主范式的应用,解用等值演算法求主范式(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)m2m1m3m0m0m1m2m3主析取范式1主合取范式,2.判断下列公式的类型:(1)(pq)(qp),重言式,解用等值演算法求公式的主范式(pq)q(pq)qpqq0主析取范式M0M1M2M3主合取范式,(2)(pq)q,矛盾式,解用等值演算法求公式的主范式(pq)p(pq)p(pq)(p(qq)(pq)(pq)m0m1主析取范式M2M3主合取范式,(3)(pq)p,非重言式的可满足式,3已知命题公式A中含3个命题变项p,q,r，并知道它的成真赋值为001,010,111,求A的主析取范式和主合取范式，及A对应的真值函数.解,A的主析取范式为m1m2m7,A的主合取范式为M0M3M4M5M6,4将A=(pq)r改写成下述各联结词集中的公式:(1),(2),(3),(4),解(1)(pq)r(pq)r(2)(pq)r(pq)r(3)(pq)r(pq)r(pq)r),(4)