第1章 第2节 命题、充分条件与必要条件.ppt

第二节命题、充分条件与必要条件,1.命题,真命题,假命题,2.四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系：,若q,则p,若p,则q,若q,则p,（2）四种命题间的等价关系：原命题等价于_，否命题等价于_，在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或4.,逆否命题,逆命题,3充要条件(1)相关概念：,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,(2)集合与充要条件:,真子集,真子集,A=B,包含,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）若原命题“若p，则q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数是1.（）（2）已知命题“若p成立且q成立，则r成立”，则其逆否命题是“若r不成立，则p不成立且q不成立”.（）（3）命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”（）（4）已知集合A,B，则AB=AB的充要条件是A=B（）（5）x2,y2是x+y4的充要条件.（）,【解析】（1）错误原命题为真时，如果逆命题也为真，则否命题、逆否命题均为真（2）错误“p成立且q成立”的否定是“p不成立或者q不成立”（3）正确根据命题与其逆否命题等价可得（4）正确充分性是显然的，只要结合Venn图即可判定必要性（5）错误x2,y2x+y4；反之不能推出，如x=5,y=1满足x+y4，但不满足y2答案：（1）（2）（3）（4）（5）,1有以下命题：集合N中最小的数是1；若-a不属于N，则a属于N；若aN,bN,则a+b的最小值为2；x2+1=2x的解可表示为1,1其中真命题的个数为()（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】选A假命题，集合N中最小的数是0；假命题，如假命题，如a=0,b=0；假命题，1,1与集合元素的互异性矛盾,2命题“若x21，则-1x1”的逆否命题是()（A）若x21，则x1或x-1（B）若-1x1，则x21（C）若x1或x-1，则x21（D）若x1或x-1，则x21【解析】选D其逆否命题是：若x1或x-1，则x21,3已知p:-4k0，q:函数y=kx2-kx-1的值恒为负，则p是q成立的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【解析】选A-4k0k0,=k2+4k0,函数y=kx2-kx-1的值恒为负；函数y=kx2-kx-1的值恒为负，不一定有-4k0，如k=0时，函数y=kx2-kx-1的值恒为负，即pq，而qp.,4.若条件条件q:x25x-6,则p是q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选B.p的集合是（-5,3,q的集合是（2，3）,故p是q的必要不充分条件.,考向1命题及其相互关系【典例1】（1）（2012湖南高考）命题“若则tan=1”的逆否命题是()（A）若则tan1（B）若则tan1（C）若tan1,则（D）若tan1,则,（2）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是()（A）若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数【思路点拨】(1）把否定的结论作条件、否定的条件作结论即可得出（2）条件的否定作条件、结论的否定作结论即可得出,【规范解答】（1）选C.原命题的逆否命题是“若tan1,则”.（2）选B.条件的否定是“f(x)不是奇函数”，结论的否定是“f(-x)不是奇函数”，故该命题的否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数”,【拓展提升】1.一些词语及其否定2.否定的方法在根据原命题构造其否命题和逆否命题时，首先要把条件和结论分清楚，其次把其中的关键词搞清楚注意其中易混的关键词，如“都不是”和“不都是”，其中“都不是”是指的一个也不是，“不都是”指的是其中有些不是,【变式训练】已知：命题“若函数f(x)=ex-mx在（0,+)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是()（A）否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数，则m1”，是真命题（B）逆命题是“若m1，则f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数”，是假命题（C）逆否命题是“若m1，则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数”，是真命题（D）逆否命题是“若m1，则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函数”，是真命题,【解析】选Df(x)=ex-m0在(0,+)上恒成立，即mex在(0,+)上恒成立，故m1，这说明原命题正确；反之若m1，则f(x)0在(0,+)上恒成立，故逆命题正确增函数的否定是“不是增函数”结合选项知选D,考向2充分条件、必要条件的判断【典例2】（1）（2012北京高考）设a,bR,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的()（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（2）（2012天津高考）设R,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的()（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件,【思路点拨】（1）利用纯虚数的定义及充分条件、必要条件的概念进行判断即可（2）根据三角函数性质，条件的充分性是显然的，只要根据偶函数的定义，在函数f(x)=cos(x+)(xR)是偶函数的条件下求出值，然后根据必要条件的概念判断即可,【规范解答】（1）选B.当a=0时，若b=0，则a+bi为实数；当a+bi为纯虚数时，a=0,b0.所以“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.,(2)选A方法一:=0时，f(x)=cosx，此时f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)对任意实数x恒成立，函数f(x)是偶函数，即=0f(x)=cos(x+)为偶函数；当f(x)=cos(x+)为偶函数时，根据三角函数的诱导公式，只要=k（kZ），则f(x)=cosx或者f(x)=-cosx，此时函数f(x)是偶函数，但=0只是其中的一个值，所以f(x)=cos(x+)为偶函数时，不一定等于零所以“=0”是“函数f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数的充分而不必要条件,方法二:=0f(x)=cos(x+)为偶函数同方法一；当f(x)=cos(x+)为偶函数时，根据偶函数的定义，对任意实数x恒有f(-x)=f(x)，即cos(-x+)=cos(x+)对任意实数x恒成立，即cosxcos+sinxsin=cosxcos-sinxsin对任意实数x恒成立，即sinxsin=0对任意实数x恒成立，其充要条件是sin=0，即=k(kZ)，即函数f(x)=cos(x+)为偶函数的的集合是|=k,kZ由于=0只是这个集合中的一个元素，故“=0”是“函数f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的充分而不必要条件,【拓展提升】充要条件的三种判断方法（1）定义法：即根据pq,qp进行判断（2）集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的充要条件转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或者y1”的何种条件，即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件,【变式训练】（1）若非空集合A,B,C满足AB=C，且B不是A的子集，则()(A)“xC”是“xA”的充分不必要条件(B)“xC”是“xA”的必要不充分条件(C)“xC”是“xA”的充要条件(D)“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件,【解析】选BAB=C，且B不是A的子集，说明集合CA.又AAB=C,即集合AC，这说明集合A的元素都在集合C中，但集合C中的元素至少有一个不在集合A中，结合选项可知正确选项为B,(2)(2013南昌模拟）“t0”是“函数f(x)=x2+tx-t在（-,+)内存在零点”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A函数f(x)=x2+tx-t在（-,+)内存在零点的充要条件是=t2+4t0,即t0或t-4,所以“t0”是“函数f(x)=x2+tx-t在(-,+)内存在零点”的充分不必要条件.,考向3充分条件、必要条件的探究与证明【典例3】已知集合M=x|x-3或x5，P=x|(x-a)(x-8)0.（1）求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的充要条件.（2）求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分不必要条件.,【思路点拨】（1）分充分性和必要性两个方面求解证明.（2）只要在（1）中求出的实数a的取值范围内找到一个值，破坏其中的必要性即可【规范解答】（1）由MP=x|5x8，结合集合M，P可得-3a5.故-3a5是MP=x|5x8的必要条件.下面证明这个条件也是充分的.证明：当-3a5时，集合P=x|ax8，集合M=x|x-3或x5，故MP=x|5x8.综上可知，-3a5是MP=x|5x8的充要条件.,（2）求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分不必要条件，就是在集合a|-3a5中取一个值，如取a=0，此时必有MP=x|5x8；反之，MP=x|5x8未必有a=0，故a=0是MP=x|5x8的一个充分不必要条件.,【互动探究】本例中条件不变,求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个必要不充分条件.【解析】求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个必要不充分条件就是另求一个集合Q满足所述条件，故a|-3a5是集合Q的一个真子集.当a|a5时，未必有MP=x|5x8，但是MP=x|5x8时，必有a5，故a|a5是所求的一个必要不充分条件.,【拓展提升】充要条件的证明方法在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时，其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明的这类试题一般有两种设置格式（1）证明：A成立是B成立的充要条件，其中充分性是AB，必要性是BA.（2）证明：A成立的充要条件是B，此时的条件是B，故充分性是BA，必要性是AB,【提醒】在分充分性与必要性分别进行证明的试题中，需要分清充分性是什么，必要性是什么；在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明,【变式备选】已知ab0，证明a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0【解析】先证充分性：若a3+b3+ab-a2-b2=0，则(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,所以由ab0得a+b-1=0，所以a+b=1成立，充分性得证,再证必要性：若a+b=1，则由以上对充分性的证明知a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0，故必要性得证.综上知，a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.,【易错误区】混淆充分性与必要性【典例】（2013太原模拟）若则“”是“”的()(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件,【误区警示】根据题目中的两个不等式能否相互推出以及充分条件、必要条件的概念作结论时，混淆充分条件、必要条件的概念致误.【规范解答】选A.当时，0sinx1，“”等价于“xsin2x1”，“”等价于“xsinx1”，“xsin2x1”是“xsinx1”的必要不充分条件.,【思考点评】条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”、哪个是“结论”，从语文的角度好理解，如“A是B成立的条件”，其中A是条件；“A成立的条件是B”，其中B是条件.其实只要把条件简化为“A是条件”“条件是B”就行了，然后再根据充分条件、必要条件的概念进行判断,1.(2013菏泽模拟）有以下命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题为()（A）（B）（C）（D）,【解析】选D中逆命题为：“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；中否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”，是真命题；中原命题是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；中原命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题,2.（2013石家庄模拟）“”是“(x+2)(x-1)0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件,【解析】选A.不等式即其解集为(-,-2(1,+）.不等式（x+2）(x-1)0的解集为(-,-21,+）.由于集合(-,-2(1,+）为集合(-,-21,+）的真子集，根据集合与充要条件的关系得“”是“(x+2)(x-1)0”的充分不必要条件.,3（2012山东高考）设a0且a1，则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【解析】选A.因为函数f(x)=ax在R上是减函数，所以00,即a2.转化为若0a1,则a2，而若a2推不出0a1.所以“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.,4.(2013温州模拟)下面四个条件中，使ab成立的充分不必要条件是()(A)ab+1(B)ab-1(C)a2b2(D)a3b3【解析】选A.题意为由选项中的不等式可得ab,ab得不出选项中的不等式.选项A中，ab+1b，反之ab推不出ab+1；选项B中，abb-1，反之ab-1推不出ab，为必要不充分条件;选项C为既不充分也不必要条件；选项D为充要条件.,5.（