变量间的相关关系.ppt

2.3变量间的相关关系,1.什么叫做两个变量间的相关关系?,2.什么叫做两个变量间相关关系的确定性和不确定性?,3.什么样的关系叫两个变量间的线性相关关系?,4.什么叫正相关关系?什么叫负相关关系?,5.如何画两个变量的散点图?,2.3.1变量之间的相关关系,问题1.(1)两个变量x,y满足y=2x,x、y之间是否相互影响,它们存在一个什么样的关系?(2)数学成绩的好坏与物理成绩的好坏是否相互有影响,它们之间存在一个什么样的关系?(1)和(2)的两个问题有什么相同和不同?,(1),x一变化,y就随之而变化,且是随x的2倍,同样,y一变化,x也就随着变化,且值确定.,变化.,(2),数学成绩不好,物理成绩就可能好不起来;,数学成绩好,物理成绩就可能会好.,数学成绩的好坏,对物理成绩有影响.,么确定,还与其他因素有关,对有些人影响较大,而,但影响有多大,这不像问题(1)那,对另一些人可能影响不十分大.,2.3.1变量之间的相关关系,问题1.(1)两个变量x,y满足y=2x,x、y之间是否相互影响,它们存在一个什么样的关系?(2)数学成绩的好坏与物理成绩的好坏是否相互有影响,它们之间存在一个什么样的关系?(1)和(2)的两个问题有什么相同和不同?,这两个关系又有它的不同.(1)中的两个变量的关系非常确定,而(2)中的两个变量间的关系不确定,存在不同的情况,即不确定因素.,(1)中的两个变量互相影响,一个变量的变化会引起另一个变量确定性的变化.,(2)中也有这样的一个关系,两个变量之间相互存在着一定的影响作用.,两个变量相互间有一定影响,我们就说这两个变量之间存在着一定的相关关系.,在现实生活中,存在着许多不确定的相关关系的问题.,(1)商品销售收入与广告支出经费之间的关系.,(2)粮食产量与施肥量的关系.,(3)开发一项产品的投入与产出的关系.,(4)个人的教育投资与收入的关系.,要分析这些关系的大小、强弱,一是凭经验粗略估计;二是发挥统计知识的作用,用一些有说服力的数据来确定变量之间的相关关系.,两个变量之间,除了像函数这样有确定的关系外,如:,(5)人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.,问题2:人体的脂肪含量与年龄存在相关关系,那么这两个变量间是怎样的一个相关关系呢?这个相关关系可以用数或式的形式表示吗?,下面是对不同年龄进行抽样调查得到的一组数据,我们由这组数据讨论脂肪含量与年龄的相关关系.,人体的脂肪百分比和年龄调查数据表:,借助坐标系,作出这些数据的散点图:,此散点图有两特点:,(2)从左到右在升高,左低右高.,(1)在某一条直线附近.,满足第(2)个特点的相关关系,称为正相关;,如果散点图是从左到右下降,即左高右低,则称为两变量成负相关.,满足第(1)个特点的相关关系,称为线性相关;,1.你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗?,水涨船高,站得高,看得远,只要功夫深,铁杵磨成针,夜长梦多,正相关关系.,如:,正相关关系.,负相关关系.,正相关关系.,困难象弹簧,你弱它就强,负相关关系.,【课时小结】,1.相关关系,两个变量互相影响,一个变量的变化会引起另一个变量的变化.,函数的两个变量之间的关系是一个确定性关系.,非确定性关系:两变量间的影响程度不能确定.,这一节关注的要点:寻找非确定关系的规律.,【课时小结】,3.线性相关关系,两关系的数据散点图在某一条直线附近,(其关系可以近似地用一次函数表示),这样的相关关系称为线性相关.,若散点图分布左低右高,则称两变量正相关;反之,左高右低分布,则称两变量负相关.,2.散点图,将两变量对应数据看作点的坐标,在直角坐标平面上描出样本中的所有点.,两个变量的线性相关,线性相关及回归方程,1.什么叫回归直线?,2.怎样能使回归直线从整体上看与散点图的各点距离最小?,3.回归直线的方程是怎样的?,刚才,我们画出了人体脂肪含量与年龄的散点图.同学们又画出了习题中的散点图,这些散点图中的样本点从整体上看,大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.,怎样得到这条回归直线的方程呢?,回归直线的方程是一次函数,即y=kx+b的形式,关键是求出斜率k和截距b.,科学家们是这样思考的:,设回归方程为如图:,表示各点到回归线,若所有纵距离之和最,小,则从整体上看,各点与直,由于绝对值不易计算,就改用平方,即,=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2,的纵距离,线的距离最小.,经过推导可得:,即要使Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2最小,a,b应取什么值?,求出a,b的值,就得到回归方程,这种使样本数据各点到回归直线的距离的平方和最小来得到回归直线的方法叫做最小二乘法.,例：观察两相关变量得如下表：,求两变量间的回归方程,解：,列表：,计算得:,小结：求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表；第二步：计算；第三步：代入公式计算b,a的值；第四步：写出直线方程。,例(补充):为了对公式的理解,我们求下面两个变量的线性回归方程,并估计当数学为98分成绩时,物理可能是多少分的成绩.,斜率,0.56,截距,=74-0.5674.5,=32.28.,回归方程为:,解:,例(补充):为了对公式的理解,我们求下面两个变量的线性回归方程,并估计当数学为98分成绩时,物理可能是多少分的成绩.,回归方程为:,解:,当x=98时,87,当数学为98分成绩时,估计物理可能是87分的成绩.,【利用计算机求回归方程】,用笔算求回归方程,计算量较大.下面我们用MicrosoftOffice中的Excel软件求回归方程.,以人体脂肪含量与年龄的相关关系数据为例:,基本步骤如下:,1.单击启动Excel,输入数据;,2.选择数据插入图表散点图下一步完成;,选择散点图图表添加趋势线线性选项显示公式,确定拖动图表的大小,恰当摆放回归方程关闭程序.,【利用回归方程作预测】,利用回归直线方程,我们可以对所调查的项目进行预测.如人体脂肪含量与年龄问题.我们可以预测2361岁之间任一年龄的体内脂肪含量.,如某人37岁,将x=37代入回归方程,20.90,得,即这个人的体内脂肪含量约为20.90%左右.,问题:凡是37岁的人,体内脂肪含量都是20.90%吗?都与20.90%很接近吗?,不一定,因为会受其他随机因素的影响.,(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律;,随着气温的升高,热饮杯数减少,气温与热饮杯数成负相关关系.,(3)求回归方程;,解:,气温平均数,杯数平均数,斜率,-2.35,截距,147.77,回归方程为:,(4)如果某天的气温是2,预测这天卖出的热饮杯数.,解:,回归方程为,当气温x=2时,143,即气温在2时,这天卖出的热饮杯数大约在143杯左右.,1.利用本节例题中求出的回归方程,求当x=0时的值,说明它为什么与实际卖出的热饮杯数不一样.,解:,例题的回归方程是,当气温x=0时,148,即气温在0时,卖出的热饮约为148杯.,计算结果与实际卖出的150杯有差异.,这是因为回归直线只是靠近散点的直线,散点不全在直线上,即x=0的点不一定在回归直线上.,即便某点在回归直线上,由于是样本数据求得的回归方程,同一气温,在不同一天,可能卖出的热饮杯数也不同.,练习:(92页),作出鸟类种数与海拔高度的散点图:,从总体上看,鸟类种数与海拔高度成正相关关系.但线性关系不强.,【课时小结】,1.回归直线,当两变量是线性相关时,散点图在一条直线附近,若这条直线从整体上看距各散点的距离最近,则这条直线叫这两变量的线性回归直线.,回归直线是用函数的形式反映两变量的相关性.,【课时小结】,2.回归直线的方程,使散点图的各点到直线的纵距离的平方和最小(最小二乘法)求得回归直线方程的斜率b,与截距a.,2.有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第一列表示此种食品所含热量的百分比,第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价:,(1)作出这些数据的散点图;,(2)作出回归直线;,(3)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?,两个变量成正相关关系,即口味好的热量也高.,2.有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第一列表示此种食品所含热量的百分比,第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价:,(4)对于这种食品,为什么人们更喜欢吃位于回归直线上方的食品而不是下方的?,答:因为人们喜欢吃口味好的,如果是同热量时,回归线上方的口味相对较好,所以人们就喜欢吃回归线上方的.,回归方程:,加工零件个数与加工时间成正相关关系,即加工零件个数越多,需要的时间越多.且线性相关非