05 三角形的认识 与三角形有关的线段教师2016寒假 初一数学自招进度三

1 / 6 第五讲 三角形的认识与三角形有关的线段 一、 三角形的基本概念： 三角形的定义三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形 三角形的内角三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角 在同一个三角形内，大边对大角 三角形的外角三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角 三角形的分类三角形的分类： () () (): 直角三角形:三角形中有一个角是直角 三角形 按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角 斜三角形 钝角三角形:三角形中有一个角是钝角 不等边三角形:三边都不相等的三角形 三角形 按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 正三角形 有三边相等的三角形 注意：每个三角形至少至少有两个锐角，而至多至多有一个钝角 三角形的三个内角中，最大最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三 角形或钝角三角形) 二、 与三角形相关的边 三角形中的三种重要线段 三角形的角平分线三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线 注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心内心，而且它一定在三角 形内部内部 2 / 6 三角形的中线三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 注：每个三角形都有三条中线，相交于一点，这个点叫做三角形的重重心心，而且它一定在三角形内部内部 三角形的高三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心垂心 锐角锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部内部； 钝角钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部外部， 直角直角三角形有两条高分别与两条直角边重合重合反之也成立 画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高 三角形三条边的关系 三角形三边关系三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边 三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边即 a、b、c三条线段可组成三角形bcabc两条较小的线段之和大于最大的线段 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之 和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形 3 / 6 【例1】 三角形的周长小于 13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ） A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【解析】首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长，得到三角形的三边都不能大于 5； 再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数 【答案】 根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于 13， 则其中的任何一边不能超过 5； 再根据两边之差小于第三边，则这样的三角形共有 3，4，2；4，5，2；3，4，5 三个 故选 B 【例2】 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A3，8，4 B4，9，6 C15，20，8 D9，15，8 【答案】故选 A 【例3】 为估计池塘两岸A、B间的距离， 杨阳在池塘一侧选取了一点P， 测得16PAm，12PB m， 那么AB间的距离不可能是（ ） A5m B15m C20m D28m 【答案】PA、PB、AB能构成三角形，根据三边关系，故选 D 【例4】 如图所示，第 1 个图中有 1 个三角形，第 2 个图中共有 5 个三角形，第 3 个图中共有 9 个三 角形，依次类推，则第 6 个图中共有三角形 _ 个 【答案】第n个图形中，三角形的个数是14(1)43nn所以当6n 时，原式21，故填 21 P BA 4 / 6 【例5】 两根木棒的长分别是 7cm和 10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根 木棒的长是cma，则a的取值范围是_ 【解析】317a根据三角形三边关系定理，可得107107a，解之即得 【例6】 已知三角形两边长为2cm和7cm，求它的周长的取值范围 【解析】已知两边长，求周长的取值范围，也是应用三角形三边关系，先求第三边的取值范围，再求 周长的取范围 设第三边长为cmx，周长279xx 由三边关系得7272x，得59x 所以95周长99，所以14周长18 【答案】14周长18 【例7】 已知ABC有两边长为a、b，其中ab，则其周长l一定满足( ) A22()blab B22alb Calab D2alab 【答案】A 【例8】 a、b、c为三角形的三边长，化简abcbcacab ，若此三角形周长为11，求 上面式子的值 【解析】三角形任意两边之和大于第三边 0abc，0bca ，0cab 原式()()()11abcbcacababc 【答案】11 【例9】 周长为整数的三角形三边长分别为3、4、x，x满足不等式 12 327 x x ， 这样的三角形有 个 【答案】3 【例10】下列长度的线段能否组成三角形：3a、4a、21a( 1 5 a )； 【解析】有3(21)4aaa，4(21)3aaa，而34(21)51aaaa，因为 1 5 a ， 所以510a ，即3421aaa，它们可以组成三角形； 【答案】可以 5 / 6 【例11】等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为15cm和11cm两部分，则此三角形的底边 长为_cm 答：6 或 34 3 【例12】等腰三角形的周长是18cm，设底边的长为cmx，用 x 的代数式表示腰长，则腰长为 _，其中 x 的取值范围是_ 答：9 2 x ；09x 【例13】若ABC的周长为 12，AB 的长为 x，BC 比 AB 长 2，则 x 的取值范围是_ 答：24x 【例14】已知，如图，P、Q 为三角形ABC内两点，B、P、Q、C 构成凸四边形，求证： ABACBPPQQC 【答案】作直线PQ，分别与AB AC，交于点MN， 由三角形的三边关系可得 AMANMPPQQN MPPBBP NQNCQC +得AMANMPPBNQNCMPPQQNBPQC AMANPBNCPQBPQC即ABACBPPQQC N M Q P C B A Q P C B A 6 / 6 【习题1】下列不能构成三角形三边长的数组是( ) A2、3、4 B 1 2 、 1 3 、 1 4 C 2 1a 、 2 21a 、 2 31a D 2 5、 3 12、 3 13 【答案】D 【习题2】一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( ) A7 B9 C12 D9 或 12 【答案】C 【习题3】有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x，若这三条线段不能构成三 角形，则x的取值范围是 【答案】02x或8x 【习题4】现有长度分别为2cm， 3cm，4cm，5cm的木棒， 从中任取三根，