8.5+直线、平面垂直的判定及性质.ppt

8.5直线、平面垂直的判定及性质要点梳理1.直线与平面垂直（1）判定直线和平面垂直的方法定义法.利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则该直线和此平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也于这个平面.,相交,垂直,基础知识自主学习,(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内直线.垂直于同一个平面的两条直线.垂直于同一直线的两平面.2.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.3.二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.,任意,平行,平行,两个半平面,（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法.利用判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面.,垂直于棱,一条垂线,交线,基础自测1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当l时，lm且ln.但当lm,ln时，若m、n不是相交直线，则得不到l.,A,2.若P是平面外一点,则下列命题正确的是()A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行解析过P点存在一平面与平行，则该平面内过P的直线有无数条都与平行.,D,3.（2009广东理，5）给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是()A.和B.和C.和D.和,解析当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故不对；由平面与平面垂直的判定可知正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故正确.答案D,4.（2008湖南文，5）已知直线m、n和平面、满足mn，m，则()A.nB.n，或nC.nD.n,或n解析n与的位置关系各种可能性都有，A、B都不对.当n时，作nn,且nm=O,则n与m确定平面,设=l,则有ml,又mn,所以ln,ln,n;当n时，显然成立.故C不对，D正确.,D,5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面.若m,n,则mn;若,则；若m,n,则mn;若,m,则m.正确的命题是()A.B.C.D.解析中平面与可能相交，中m与n可以是相交直线或异面直线.故错，选C.,C,题型一直线与平面垂直的判定与性质如图所示,已知PA矩形ABCD所在平面,M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MNCD；(2)若PDA=45.求证：MN平面PCD.(1)因M为AB中点,只要证ANB为等腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MNAB.(2)已知MNCD，只需再证MNPC,易看出PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MNPC.,题型分类深度剖析,证明（1）连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，AN=BN，ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.,(2)连接PM、CM,PDA=45,PAAD,AP=AD.四边形ABCD为矩形，AD=BC，PA=BC.又M为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90,PM=CM.又N为PC的中点，MNPC.由（1）知，MNCD，PCCD=C,MN平面PCD.垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.,知能迁移1RtABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC，D为斜边AC中点.（1）求证：SD面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD面SAC.证明（1）如图所示，取AB中点E，连结SE，DE，在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DEBC，且DEAB,SA=SB，SAB为等腰三角形，SEAB.SEAB，DEAB，SEDE=E，AB面SDE.而SD面SDE，ABSD.,在SAC中，SA=SC，D为AC中点，SDAC.SDAC,SDAB,ACAB=A,SD面ABC.（2）若AB=BC，则BDAC，由（1）可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD，SDBD,BDAC,SDAC=D,BD面SAC.,题型二面面垂直的判定与性质如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8，AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积.(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.,(1)证明在ABD中,AD=4,BD=8,AB=4,AD2+BD2=AB2.ADBD.又面PAD面ABCD，面PAD面ABCD=AD，BD面ABCD，BD面PAD.又BD面BDM，面MBD面PAD.(2)解过P作POAD，面PAD面ABCD，PO面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高.又PAD是边长为4的等边三角形，PO=,在底面四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，四边形ABCD为梯形.在RtADB中，斜边AB边上的高为此即为梯形的高.当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线.把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等.,知能迁移2在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证：截面MBC1侧面BB1C1C.证明(1)AB=AC,D是BC的中点,ADBC.底面ABC平面BB1C1C，面ABC面BB1C1C=BC，AD侧面BB1C1C.CC1面BB1C1C，ADCC1.,（2）延长B1A1与BM交于N，连结C1N.AM=MA1，NA1=A1B1.A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1.C1NC1B1.截面NB1C1侧面BB1C1C，面NB1C1面BB1C1C=C1B1，C1N侧面BB1C1C.C1N面C1NB，截面C1NB侧面BB1C1C.即截面MBC1侧面BB1C1C.,题型三线面角的求法（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.（1）求证：PBDM；（2）求BD与平面ADMN所成的角.（1）易证PB平面ADMN.（2）构造直线和平面所成的角，解三角形.（1）证明N是PB的中点，PA=AB，ANPB.BAD=90，ADAB.PA平面ABCD，PAAD.,PAAB=A，AD平面PAB，ADPB.4分又ADAN=A，PB平面ADMN.平面ADMN，PBDM.6分（2）解连接DN，PB平面ADMN，BDN是BD与平面ADMN所成的角，8分在RtBDN中，10分BDN=30,即BD与平面ADMN所成的角为30.12分,求直线和平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角.必要时，可利用平行线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面内的射影.知能迁移3如图所示，四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，SBA=45，SBC=60，M为AB的中点.求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成的角的正切值.,解（1）SCSB，SCSA，SBSA=S，SC平面SAB，BC在平面SAB上的射影为SB.SBC为BC与平面SAB所成的角.又SBC=60,故BC与平面SAB所成的角为60.（2）连结MC，在RtASB中，SBA=45，ASB为等腰直角三角形，SMAB，由（1）知ABSC，ABSM=M，AB平面SMC，,平面ABC平面SMC平面ABC.过点S作SOMC于点O，SO平面ABC.SCM为SC与平面ABC所成的角.由（1）知SC平面SAB，又平面SAB，SCSM，SMC为直角三角形.设SB=a，即SC与平面ABC所成的角的正切值为.,题型四二面角的求法如图所示，三棱锥PABC中，D是AC的中点，PA=PB=PC=，AC=2，AB=，BC=.（1）求证：PD平面ABC；（2）求二面角PABC的正切值大小.（1）已知三角形三边长，可考虑利用勾股定理的逆定理证明垂直.（2）关键是找出二面角的平面角，由AP=PB，可考虑取AB的中点E.,（1）证明连结BD，D是AC的中点，PA=PC=，PDAC.AC=，AB=，BC=，AB2+BC2=AC2.ABC=90，即ABBC.PD2=PA2-AD2=3，PB=，PD2+BD2=PB2.PDBD.ACBD=D，PD平面ABC.,（2）解取AB的中点E，连结DE、PE，由E为AB的中点知DEBC，ABBC，ABDE.PD平面ABC，PDAB.又ABDE，DEPD=D，AB平面PDE，PEAB.PED是二面角PABC的平面角.在PED中，PDE=90,二面角PABC的正切值为.,找二面角的平面角常用的方法有:(1)定义法：作棱的垂面，得平面角.(2)利用等腰三角形、等边三角形的性质,取中线.知能迁移4如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，PA平面ABCD，且ADBC，ADDC,ADC和ABC均为等腰直角三角形,设PA=AD=DC=a，点E为侧棱PB上一点，且BE=2EP.（1）求证：平面PCD平面PAD；（2）求证：直线PD平面EAC；（3）求二面角BACE的余弦值.,（1）证明PA平面ABCD，DC平面ABCD，DCPA.又ADDC，且PA与AD是平面PAD内两相交直线，DC平面PAD.又DC平面PCD，平面PCD平面PAD.（2）证明连结BD，设BD与AC相交于点F，连结EF，在等腰直角ADC中，ADDC，,又ADBC，ACB=DAC=又ABC为等腰直角三角形，且底面ABCD是直角梯形，（若B为直角，则与底面ABCD是直角梯形相矛盾）.由AD=DC=a，易知AB=AC=a，BC=2a，BCAD且BC=2AD，BF=2FD.又BE=2EP，PDEF.又EF平面EAC，PD平面EAC，直线PD平面EAC.,（3）解过点E作EHPA交AB于H点，则EH平面ABCD，又ABAC，EAAC.EAH为二面角BACE的平面角.BE=2EP，即二面角BACE的余弦值为.,方法与技巧1.证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；（3）判定定理2：ab，ab；（4）面面平行的性质：，aa；（5）面面垂直的性质：，=l，a，ala.,n,思想方法感悟提高,2.证明线线垂直的方法（1）定义：两条直线所成的角为90;（2）平面几何中证明线线垂直的方法；（3）线面垂直的性质：a，bab；（4）线面垂直的性质：a，bab.3.证明面面垂直的方法（1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；（2）判定定理：a，a.4.向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的方法.,失误与防范1.垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.,2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.,一、选择题1.若l为一条直线,、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：,;,;l,l.其中正确的命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析对于，与可能平行，故错.正确，故选C.,C,定时检测,2.设a、b是不同的直线，、是不同的平面，则下列四个命题中正确的是()A.若ab,a,则bB.若a,则aC.若a,则aD.若ab,a,b,则解析A中，b可能在内；B中，a可能在内,也可能与平行或相交（不垂直）；C中，a可能在内；D中，ab，a，则b或b,又b,.,D,3.（2009北京理，4）若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1C.D.解析如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在RtABB1中，B1B=ABtan60=.所以AA1=BB1=.,D,4.已知直线l平面，直线m平面，下面有三个命题：lm;lm;lm;则真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析如图所示，设面AB1为，面A1C1为，A1D1，A1C1，而A1D1与A1C1相交，故错.,C,5.下面四个命题：“直线a直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；“直线l平面内所有直线”的充要条件是“l平面”；“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.,解析ab推不出a平行于b所在的平面，反之也不成立.不正确.由线面垂直的定义知正确.a、b不相交时，a、b可能平行，此时a、b共面.不正确.当时，内一定有三个不共线的点到平面的距离相等.反之，设A、B、C是内三个不共线的点，当过ABC的中位线时，A、B、C三点到的距离相等，但此时、相交，正确.答案C,6.（2009浙江理，5）在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A.30B.45C.60D.90解析取BC中点E，连结AE，则AE平面BCC1B1，故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为a，则ADE=60.,C,二、填空题7.（2008全国文，16）已知菱形ABCD中,AB=2，A=120，沿对角线BD将ABD折起,使二面角A-BD-C为120，则点A到BCD所在平面的距离等于.解析如图所示，取BD中点E，连接AE、CE.ABD、BCD均为等腰三角形，AEBD，CEBD，BD平面AEC.AEC为二面角ABDC的平面角，,AEC=120.在平面AEC内过A作CE的垂线AH,垂足为H,则H在CE的延长线上.BD平面AEC，BDAH.又AHCE,AH平面BCD.BAD=120,BAE=60,又AEH=60,即点A到BCD所在平面的距离为.,答案,8.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为.解析如图所示，取BD中点O，连结AO、OE，则AOBD.平面ABD平面CBD，AO平面BCD，OEBC，AEO即为AE、BC所成的角.设正方形的边长为2，则OE=1，AO=，tanAEO=.,9.a、b表示直线，、表示平面.若=a,b,ab，则;若a,a垂直于内任意一条直线，则；若，=a,=b,则ab;若a不垂直于平面，则a不可能垂直于平面内无数条直线；若a,b,ab,则.上述五个命题中，正确命题的序号是.,解析对可举反例如图，需b才能推出.对可举反例说明，当不与，的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；对a只需垂直于内一条直线便可以垂直内无数条与之平行的直线.所以只有是正确的.答案,三、解答题10.四面体ABCD中,AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，且BDC=90.求证：BD平面ACD.证明如图所示，取CD的中点G，连接EG、FG、EF.E、F分别为AD、BC的中点，EGAC，FGBD.,又AC=BD，在EFG中，EG2+FG2=AC2=EF2.EGFG.BDAC.又BDC=90，即BDCD，ACCD=C，BD平面ACD.,11.如图所示，已知ABC是等边三角形，EC平面ABC，BD平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=2BD.求证：（1）DE=DA；（2）平面BDM平面ECA；（3）平面