偏微分方程期末复习笔记

期末考试复习偏微分方程一、波动方程(双曲线方程)(一)初值问题(柯西问题)1.一维情况(1)解决方案(传播波法):根据叠加原理，初值问题的解可以表示为下列初值问题解的和。(一) (二)其中，问题(1)的解由达朗贝尔公式给出：根据同质化原则，问题()的解决方案是：下列初值问题的解在哪里？使用达朗贝尔公式所以问题()的解决办法是：综上所述，原值问题解决如下：(2)依赖区间、决策区、影响区和特征线：(1)依赖区间：点(x，t)的依赖区间为：x-at，x at；(2)决策区域：区间的决策区域是：(x，t)|(3)影响区域：区间的影响区域为：(x，t)|特征线：(3)解决方案的验证：见教科书P10和P142.三维情况(1)解(球面平均法):根据叠加原理，初值问题的解可以表示为下列初值问题解的和。(一) (二)其中，问题(1)的解由泊松公式给出：根据同质化原则，问题()的解决方案是：下列初值问题的解在哪里？使用泊松公式所以问题()的解决办法是：综上所述，原值问题解决如下：(2)依赖区间、决策区、影响区、特征锥、惠更斯原理(无后效现象):依赖区域(球体):点的依赖区域为；(2)测定区域(锥形):球形测定区域为：；(3)冲击面积(锥面):该点的冲击面积为：特征锥体：教科书P35中显示了惠更斯原理(无后效现象)。(3)溶液的验证：见教材P29和P323.二维情况(1)求解(降维法):根据叠加原理，初值问题的解可以表示为下列初值问题解的和。(一) (二)其中，问题(1)的解由二维泊松公式给出：根据同质化原则，问题()的解决方案是：下列初值问题的解在哪里？使用泊松公式所以问题()的解决办法是：综上所述，原值问题解决如下：(2)依赖区间、决策区、影响区、特征锥和后效现象：依赖区域(饼图):点的依赖区域为；(2)决策区(锥):饼图的决策区为：；冲击面积(圆锥):该点的冲击面积为：特征锥体：参见教材P35和36了解副作用。(3)解决方案的验证：没有课本，感兴趣的童鞋可以自己提供足够的食物和衣服。(2)初始边值问题(1)解(变量分离法):根据叠加原理，初值问题的解可以表示为下列初值问题解的和。(一) (二)通过分离变量的方法(该过程应在大脑中完成)获得的(1)的解是：其间()的解是由均匀化原理得到的：因此原始边值问题的解是：注：对于非齐次边界条件，见教材P21和22。(2)溶液的验证和相容性条件(见教材P19)兼容性条件：功能，和第二，热传导方程(抛物线方程)(一)初始边值问题(注：由于在老师的讲课和课后练习中没有非齐次方程的初边值问题，估计不会进行测试；然而，边界条件可以被给予第一、第二和第三类型的边界条件，并且这里的解仅仅是作为例子的第一类型的一个齐次边界条件)(1)解(变量分离法):使用分离变量的方法(这个过程应该在大脑中完成)，原始方程的解如下：其间注：对于非齐次边界条件，见教材P21和22。(2)溶液的验证和相容性条件(见教科书P51和52)(2)柯西问题(1)傅立叶变换(要检查的关键点)(1)一维情况：傅立叶变换：傅里叶逆变换：(2)高维情况：假设，傅立叶变换：傅里叶逆变换：(3)傅立叶变换的性质：自然1N(3)溶液的验证(见教科书P58和59)(3)极值原理，固定解问题解的唯一性和稳定性(见教材P6065)极值原理热传导方程的解u(x，t)在抛物线边界上获得最大值和最小值。第三，调和方程(椭圆方程)(1)拉普拉斯算子、梯度和散度1.几种常用的关系表达式：；(2)，是单位向量；2.不同坐标系中拉普拉斯算子的形式：(1)直角坐标系：(2)球面坐标系：(3)圆柱坐标系：极坐标系统：(2)变分原理(见教材P71和72)(这很难，但预计不会涉及期末考试，这里省略)(3)格林公式及其应用1.格林公式：2.格林第一公式：3.格林第二公式：4.调和函数的基本积分公式：(1)如果，那么(2)如果，那么5.如果在曲面围成的调和区域有一个连续的一阶偏导数，那么。解诺依曼边界条件的必要条件是函数满足6、球面平均公式(条件略):7、球体平均公式(条件略):8.极值原理、第一边值问题的唯一性和稳定性(略)(4)格林函数1.格林函数法：调和函数第一边值问题的解可以表示为：2.格林函数的性质：除了一点外，性质1格林函数在任何地方都是调和的。在那个时候，趋向于无穷大的顺序和。自然2；自然3自然4自然53、静电成像方法：(1)球的泊松公式：或者(2)圆的泊松公式：或者(3)半