数学人教版八年级上册探究角的平分线的性质.ppt

义务教育教科书（人民教育出版社）八年级(上)第十二章全等三角形第三节第一课时,12.3角平分线的性质(一),潼南区田家一贯制学校陈兴彬,如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？,阅读学习目标,学习目标:1、知识与技能(1)会作已知角的平分线的方法;(2)掌握角平分线的性质;(3)能运用角平分线的性质及其性质解决有关的数学问题.2、过程与方法(1)经历“感知与尝试”过程,让学生提出“角平分的性质”课题的数学思考；(2)经历“合作与探究”过程,(3)经历“达成与升华”过程，培养学生应用所学知识解决问题的能力。3、育人目标：领悟数学知识来源于生活，通过相互探讨和动手操作，体验数学研究和发现的过程，培养学生合作交流意识和探索精神，培养有理有据的科学态度，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美。学法:采用试究升的教学方法.重点:角平分线的性质的证明与运用.难点:角平分线性质的探索.,一、感知与尝试,请你把一张纸片做的角分成相等的两个角.你有什么办法?,问题情境引入新知,活动1,你能评价这些方法吗?在生产生活中这些方法是否可行呢?,对折、度量,二、合作探究(1),探究角平分线的原理工人师傅常常用一种简易平分角的仪器(如图所示),其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是DAB的平分线.你能说明它的道理吗?,针对生产、生活中的需要,人们发明了平分角的仪器,活动2,利用SSS,探究角平分线的画法,已知:AOB;,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于12的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,A,思考:第二步中大于1/2MN可不可以改为小于或等于1/2MN?第二步中所作的两弧交点一定在AOB的内部吗?,活动3,求作:AOB的平分线,你能说明oc为什么是AOB的平分线吗?,证明:连接CM、CN,OCMOCN(SSS).,COM=CON,即OC为AOB的平分线,在OCM和OCN中,当AOB两边成一直线时(AOB=180),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?,你会作吗?,1通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？,平分平角AOB,结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,活动4,展现自我,探究角平分线的性质,(1)实验:如图所示,任意作一个角AOB,作出AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上再取几个点试一试.,你能证明这个猜想吗?,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,(2)猜想:,活动5,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E求证:PD=PE,证明：OC平分AOB（已知）1=2（角平分线的定义）PDOA，PEOB（已知）PDO=PEO（垂直的定义）在PDO和PEO中PDO=PEO（已证）1=2（已证）OP=OP（公共边）PDOPEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）,(3)验证猜想,探究角平分线的性质,角平分线的性质角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等.,定理应用所具备的条件：,（1）角的平分线；,（2）点在该平分线上；,（3）垂直距离。,定理的作用：,证明线段相等。,用符号语言表述出来:OC是AOB的平分线,PDOA,PEOB,PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等),探究角平分线的性质,利用角的平分线的性质可直接导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,以后涉及角平分线上的点到角的两边的垂线段时,可直接得到其相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.,一般情况下,我们要证明一个几何命题,可以按照类似于以下的步骤进行,即:,说明,1、明确命题中的已知和求证.,2、根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.,3、经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.,练习：,如图P是AOB的平分线，OC上任意一点，PD=PE,如图PDOA于D，PEOB于E,PD=PE,2填空：如图7，ABC中，C=900,BD平分ABC,CD=5cm,则点D到AB的距离为cm,1判断正误，并说明理由,应用新知,(),(),5,应用新知,例题已知:在OAB中,OE是它的角平分线,且EA=EB,EC、ED分别垂直OA、OB,垂足CD,求证:AC=BD,典例精析,证明:OE平分AOB,ECOA,EDOB;EC=ED(角平分线上的点到角两边的距离相等)ECOA,EDOB;ACE=BDE=900在RtACE和RtBDE中,EA=EBEC=ED,RtACERtBDE(HL),AC=BD(全等三角形对应边相等),展现自我,已知:如图:ABC中,C=900，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB,分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDFRtEDB.,现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件?,DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.,试试自己写证明。你一定行！,CF=EB,RtCDFRtEDB(HL),DF=BDDC=DE,在RtCDF和RtEDB中,DEABDEB=900DEB=C,DC=DE(角平分线上的点到角两边的距离相等),AD是BAC的平分线DCAC，DEAB,证明：C=900DCAC,三、达成与升华,(二)、当堂检测,1、如图，OC平分AOB，PMOB于点M，PNOA于点N,PM=5,则PN=_。,2、判断:如图所示OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,则PE=PD(),(一)、评价自学中练习,3、已知:ABC中,C=900,AD平分CAB,且BC=10,BD=6,求点D到AB的距离.,三、达成与升华,1、5;2、;,当堂检测答案,3、解:过点D作DEAB于E.C=900DCAC,AD平分CAB,DCAC,DEABDC=DE(角平分线上的点到角两边的距离相等),BC=10,BD=6,DC=4,DE=4,三达成与升华,（三）小结,3