14压轴题定值问题教师

定值问题1、如图1，在RtABC中，BAC90，ADBC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OEOB交BC边于点E（1）求证：ABFCOE；（2）当O为AC边中点，2时，如图2，求的值；BBAACOEDDECOF图1图2F（3）当O为AC边中点，n时，请直接写出的值解：（1）ADBC，DACC90BAC90，BAFDAC90，BAFCOEOB，BOACOE90BOAABF90，ABFCOEABFCOE；3分（2）解法一：作OGAC，交AD的延长线于GAC2AB，O为AC边中点，ABOCOA由（1）有ABFCOE，ABFCOE，BFOE4分BADDAC90，BADABD90，DACABD又BACAOG90，ABOAABCOAG，OGAC2AB6分BADECOFGOGOA，ABOG，ABFGOF，27分解法二：BAC90，AC2AB，ADBC于点D，RtDBARtABC，2设AB1，则AC2，BC，BOAD，BDAD4分BDFBOE90，BDFBOE，即，DFOE由（1）知BFOE，DFBF在RtBDF中，BF 2BD 2DF 2即BF 2()2(BF)2，BFOE6分OFOBBF，OF2OE27分（3）n10分2、如图，已知ABC为直角三角形，ACB90，ACBC，点A、C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(ACEC)为定值yxFAODBPCEQ解：（1）点B的坐标为(3，m)，OC3，BCmACBCm，OAm3点A的坐标为(3m，0)3分（2）ODAOAD45，ODOAm3点D的坐标为(0，m3)又抛物线顶点为P(1，0)，且过点B、D所以可设抛物线的解析式为ya(x1 )2，得： 解得抛物线的解析式为y(x1 )2，即yx 22x17分（3）如图，过点Q作QMAC于M，QNBC于N，设Q(x，x 22x1)则PMx1，QMNC(x1 )2，MCQN3x，BN4(x1 )2QMEC，PQMPEC，即，EC2(x1 )QNFC，BQNBFC，即，FC又AC4FC(ACEC)42(x1 )(2x2 )8即FC(ACEC)为定值812分本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分3、已知抛物线yax 2bxc与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴负半轴交于点C，顶点为D（1）如图1，当OCOB时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上有一点P，使ACP绕点P逆时针旋转90后，点C恰好落在抛物线上，求旋转后ACP三个顶点的坐标；（3）若抛物yax 2bxc与y轴的交点C在y轴负半轴上移动，如图2，则ACD与ACB面积之比是否为一定值？若是定值，请求出其值；若不是定值，请说明理由OABxyCD图2OABxyCD图1OABxyCD(C)图1(a)PA171解：（1）抛物线yax 2bxc与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点yax 2bxca(x1)(x3)B(3，0)，点C在y轴负半轴上，且OCOBC(0，3)，代入ya(x1)(x3)得3a(01)(03)，a12分y(x1)(x3)x 22x3抛物线的解析式为yx 22x33分（2）yx 22x3(x1)24抛物线的对称轴为直线x1，顶点D(1，4)点P在对称轴上，设P(1，m)4分设ACP绕点P逆时针旋转90后，顶点A落在A 处，顶点C落在C 处则A(m1，4)，C(m4，m1)6分C 在抛物线yx 22x3上，m1(m4)22(m4)3OABxyCD图1(b)PAC整理得m 25m60，解得m3或m2A(2，4)，C(1，4)，P(1，3)，如图1(a)7.5分或A(1，4)，C(2，3)，P(1，2)，如图1(b)9分（3）A(1，0)、B(3，0)，OA1，OB3，AB4设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，如图2ya(x1)(x3)a(x1)24a（a0）D(1，4a)，DE4a，OE1，AE2令x0，得ya(01)24a3aC(0，3a)，OC3aOABxyCD图2ESACB ABOC43a6a10分SACD SAOCS梯形OCDE SADEOAOC(OCDE)OEAEDE13a(3a4a)124aa11分即ACD与ACB面积之比为定值12分4、如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM|CEEO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由（2）令m，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由（3）在（2）的条件下，若CO1，CE，Q为AE上一点且QF，抛物线ymx 2bxc经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式ACBFOEGHyMNQIx（4）在（3）的条件下，若抛物线ymx 2bxc与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）EOEC，理由如下：由折叠知，EOEF，在RtEFC中，EF为斜边，EFEC故EOEC 2分，4分（2）m为定值S四边形CFGH CF 2EF 2EC 2EO 2EC 2(EOEC)(EOEC)CO(EOEC)S四边形CMNO CMCO|CEEO|CO(EOEC)COm1，4分（3）CO1，CEQF，EFEO1QFcosFEC，FEC60FEO120，FEAOEA60，EAO30EFQ为等边三角形，EQ，5分如图1，过Q点作QIEO于I，则EIEQ，IQEIIO，Q(，)，6分抛物线ymx 2bxc经过C(0，1)，Q(，)两点，m1ACBFOEGHyMNQI图1xc1，()2b1，b所求抛物线的解析式为yx 2x1，7分（4）由（3）得AOEO当x时，y()21ABP(，)，8分BP1方法1：若PBK与AEF相似，而AEFAEO，则分情况如下：当时，BKACBFOEGHyMNQ图2xPK1T1K2T2K3RT3(K4,T4)，K1(，1)，K2(，1)，9分当时，BKK3(，1)，K4(0，1)，10分利用相似三角形或直线方程可求得直线KP与y轴的交点T的坐标为T1(0，)，T2(0，)，T3(0，)，T4(0，1)，12分方法2：若PBK与AEF相似，由（3）得BPK30或60如图2，过P点作PRy轴于R，则RTP30或60当RTP30时，RT2当RTP60时，RT直线KP与y轴的交点T的坐标为T1(0，)，T2(0，)，T3(0，)，T4(0，1)，12分5、如图，在RtAOB 中，BAO90，A ，B 两点的坐标分别为（2，1）和（0，5），将AOB 绕点O逆时针方向旋转90，使OB 落在x轴正半轴上，得AOB，点A 的对应点是点A，点B 的对应点是点B（1）写出A，B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）如图，将AOB沿垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为点E，设点C的坐标为（x，0）当x为何值时，线段DE平分AOB的面积？是否存在这样的点C，使得AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由图BAAOBxy设CDE与AOB重叠部分的面积为S，直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）图AOBxyDCE解：（1）A（1，2），B（5，0）2分图AOBxyDCE设直线AB的解析式为ykxb，则有，解得直线AB的解析式为yx3分（2）由题意知：CDECDB，SCDB SCDE SBDE 若线段DE平分AOB的面积，则SBDE SAOB SCDB SAOB ，即(5x)(x)524分整理得x 210x200，解得x或x（舍去）5分图AO(E)BxyDC当x时，线段DE平分AOB的面积6分存在7分假设AED为直角三角形，则：）当RtAED以点A为直角顶点时，点E与原点O重合，如图OCBCOBC1(，0)；8分图ABxyDCOEF）当RtAED以点E为直角顶点时，如图，过点A作AFx轴于FA（1，2），OF1AED90，AEODEC90DECDBC，AEODBC90又AOEDBC90，AOEAEOAOE是等腰三角形，OE2OF2，BE3EC，OCOEEC2C2(，0)9分综上所述，存在这样的点C，使得AED为直角三角形，点C的坐标为：C1(，0)和C2(，0)10分S与x之间的函数关系式如下：（ x 5）（1 x ）S14分解答过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）当点E在原点和x轴正半轴上时，重叠部分为CDE，如图，图S SCDE SCDB BCCD(5x)(x)x 2x当点E与原点O重合时，ECOB， x 5）当点E在x轴的负半轴上时，设DE与OA相交于点F，与y轴交于点G，则重叠部分为四边形OCDF，如图过点F作FHx轴于H，则ECBC5x，EO52x，OGx直线DE的方程为yxxA（1，2），直线OA的方程为y2x 联立 消去x ，得y，即FHS S四边形OCDF SCDE SEOF ECCD EOFH(5x)(x)(52x)()(5x)2(52x)2x 2x当点D与点A重合时，点D的坐标为（1，2），1 x 综合），），得S与x之间的函数关系式如下：图ABxyDCOEFHG（ x 5）（1 x ）S作业：如图，在ABC中，A90，BC10，ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DEBC，交AC于点E设DEx，以DE为折线将ADE翻折（使ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的A DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（1）用x表示ADE的面积；（2）求出0 x 5时y与x的函数关系式；（3）求出5 x 10时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ACBACBDEA解：（1）DEBC，ADEB，AEDCADEABC，()2SADE ()2SABC ()225x 2即SADE x 23分（2）BC10，BC边所对的三角形的中位线长为5当0 x 5时，点A 落在梯形DBCE的内部或BC边上，重叠部分为A DE，如图1ySADE x 26分（3）当5 x 10时，点A 落在梯形DBCE的外部，设A D、A E与BC分别交于M、N，则重叠部分为梯形DMNE，如图2，连结AA 交BC于F，交DE于H，则AA BC，AA