余弦定理的八种证明方法

余弦定理的八种证明方法研究背景：2011年高考数学试卷(陕西卷)测试了“解释和证明余弦定理”试题，这使得大多数不注重阅读课本的学生遭受损失。虽然这是书本上的知识，教科书上只给出了一种证明方法，但学生仍然很难想到考试的证明问题。因此，我们利用这一研究性学习活动，以论文的形式介绍余弦定理的各种证明方法，以增强我们对教科书知识的理解。目的和意义：用各种方法证明余弦定理，拓展思维，理解更多过程。内容摘要：余弦定理是揭示三角形各角之间关系的一个重要定理。余弦定理的直接应用可以解决寻找已知三角形的第三条边或三条边的角度的问题。如果余弦定理变形了，它可以适当地转移到其他知识。结果显示：余弦定理的内容对于任何三角形，任何边的平方等于其他两条边的平方之和减去两条边和它们之间的夹角的余弦的两倍。如果三条边是A、B和C，三角形是A、B和C，则满足该属性a=b c- 2bccosAb=a c-2 ccobc=a b-2 bcosc两种证明方法方法1:平面几何方法*如图所示，有一个b=c cc=(a b)(a b)c=aa 2ab bb c=a b 2|a|b|cos(-)还有cos(-)=-cosc=a b-2 | a | | b | cos再把它拆开，得到c 2=ab-2 * a * b * cosc方法2:股票挂钩法在任何ABC中ADBC.C面对的边是C，B面对的边是B，A面对的边是A有BD=cosB*c，AD=sinB*c，dc=bc-bd=a-cosb * c。根据毕达哥拉斯定理，我们可以得出：DCb=(sinB*c) (a-cosB*c)b=(sinB*c) a-2ac*cosB (cosB)*cb=(sinB cosB)*c-2ac*cosB ab=c a-2ac*cosB方法3:分析方法在三角形ABC上建立一个直角坐标系，这样点A是原点，点B落在X轴的正半轴上。让我们设置三角形的三条边然后有三个坐标：a (0，0) b (c，0)B(c (bcosa，bsinA)* BC=a然后a=(c-bcosA)2-(bsinA)从距离公式中导出减少到a=c b-2bccosAa=c b-2bccosA方法4:面积法sACQ=(1/2)BC(cosBAC)，SPBC=(1/2)交流电(cosCBA)，BC(cosBAC)AC(cosCBA)=2(SACQ SPBC)=c，同样，AC(cosCBA)ab(cosACB)=a，ab(cosACB)BC(cosBAC)=b联立三个方程，BC(cosBAC)AC(cosCBA)=c(1)AC(cosCBA)ab(cosACB)=a(2)ab(cosACB)BC(cosBAC)=b(3)容易获得的余弦定理方法5:正弦法=bsinB=csinC=absinAsinBa b-csinA sinB-sinC=absinAsinBa b-c=absinasinb(Sina sinb-sinc)(1)也新浪=1-COS2A2sinB=1-cos2B2sina sinb=1-(cos2a cos2b)=1-cos(a-b)cos(a-b)Cos(甲乙)=cos(180-C)=-cosC，单位为ABCsinA cosB=1-cosCcos(A-B)(2)(2)带入(1)a b-c=1(A-B)-新加坡=中远集团有限公司(A-B)=cosCcosC cos(A-B)=中远-成本(甲乙)成本(A-B)=2abcosCc=a b-2 bcosc同样可以证明。b=a c-2 ccoba=c b-2bccosA方法6:摄影定理方法* a=BCOsc CCosb(1)b=acosC ccosA(2)c=bcosA acosB(3)abcc=a b-2 bcosc同样可以证明。b=a c-2 ccoba=c b-2bccosA方法7:复数法如下图所示，如果ABC在复平面上，则=a(cosB i sinB)。=b cos (-a) isin (-a)，其中c是平行四边形ACBC的顶点，根据复数加法的几何意义，=。所以c=a(cosbi sinb)bcos(-a)is in(-a)=(acosB bcosA) (asinB-bsinA)i .(*)根据多元平等的定义，有一个b-bsina=0，那是。要在模具两侧键入(*)，请获取c=(acosB bcosA)+(asinB-bsinA)=A B2 bcos(B A)=a b-2 bcosc其他类似的证据。方法8:物理方法让三角形的边长分别为A、B和C的导电引线框架，其当前长度为I现在它被放置在磁感应强度为b的均匀磁场中，并且线框平面垂直于磁场的方向。那么三角形ABC三条边上的安培力如图1所示，其大小为Fa=BIaFb=BIb(1)Fc=BIc显然，这三种力量是相互平衡的并发力量。它们的作用线与三角形的外中心相交。现在，以O点为原点，分别建立如图和C所示的直角坐标系，对Fa、Fb和Fc进行正交分解。根据图A，有FasinB-FbsinA=0FacosB-FbcosA=Fc (2)同样，根据图b和图c，有FbsinC-FcsinB=0FccosB=Fa (3)和FasinC-FcsinA=0FacosC FccosA=Fb (4)将公式(1)代入公式(2)、(3)、(4)中，分别进行排序，得到BIacosB BIbcosA=BIcBIbcosC BIccosB=BIaBiccoC BiccoA=Bi