15预初培优-长方体直观图的画法及棱与平面的位置关系学生版

第十五讲 长方体直观图的画法及棱与平面的位置关系【知识点一】一、长方体中棱与平面的位置关系：垂直、平行以及棱在平面内1. 直线垂直于平面的表示方法: 直线垂直于平面，如下左图，记作：直线平面，读作：直线垂直于平面。2. 直线平行于平面的表示方法：直线平行于平面，如下右图记作：直线平面，读作：直线平行于平面。3. 检验方法：（1）检验直线与平面垂直的方法： 铅垂线法：一端用手提起，若铅垂线与被测的直线紧贴，则被测直线垂直于水平面.（此方法只能用于检验直线与水平面是否垂直） 三角尺法：用三角尺可以检验细棒是否垂直于墙面.若两把三角尺各有一条直角边紧贴墙面且位置相交，另一条直角边都能紧贴细棒，则细棒垂直于墙面.（此方法可以检验一般的直线与平面是否垂直） 合页型折纸法：将合页型折纸直立于桌面，若折痕能与细棒紧贴，则细棒垂直于桌面.（此方法可以检验一般的直线与平面是否垂直） （2）检验直线与平面平行的方法： 铅垂线法：从被测直线上找两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端两次刚好接触水平面，则被测直线平行于水平面.（此方法只能检验直线与地面或水平面之间） 长方形纸片：用长方形纸片的一边贴合在被测平面上，如果它的对边与被测直线紧贴，则直线平行于平面. 【例题与应用】例1. 如图，在长方体中，。（1）与棱垂直的平面是 ；（2）与平面垂直的棱是 ；（3）与棱平行的平面是 ；（4）与平面平行的棱是 ； （5）求与平面垂直的所有棱的总长度是 ； （6）求与棱平行的所有面的面积总和是 。练习1. 如图，与面垂直的棱有哪几条？与面平行的棱有哪几条？例2.（1）如图，在山坡上栽种的小树，要检验它是否与地平面垂直，应该用 检验。（2）如图所示，在长方体中，与棱平行的平面中：面 采用长方形纸片 检验；面 采用长方形纸片 检验；面 采用长方形纸片 检验。棱与平面垂直采用长方形 和 组成的合页型折纸检验。练习2. （1）如图，将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度，然后直立于平面上，那么折痕与平面的位置关系是 ；直线与平面的位置关系是 关系，可采用长方形纸片 检验。 （2）如图，在长方体中，棱厘米，与棱垂直的平面的面积和是平方厘米，能否用合页型折纸检验与棱垂直的平面，如果可以，请用阴影部分表示图中相应的合页型折纸；求这个长方体的体积。【知识点二】一、平面与平面的位置关系：1、 长方体中平面与平面的位置关系：垂直与平行。（1）平面垂直于平面，记作：平面平面，读作：平面垂直于平面。（2）平面平行于平面，记作：平面平面，读作：平面平行于平面。2、 检验平面与平面垂直的方法： 铅垂线法：若铅垂线与被测的平面紧贴，则被测平面垂直于水平面.（此方法只能用于检验平面与水平面是否垂直） 三角尺法：用三角尺可以检验平面是否垂直于平面.若两把三角尺各有一条直角边紧贴平面且位置相交，另一条直角边都能紧贴平面，则平面垂直于平面.（此方法可以检验一般的平面与平面是否垂直） 合页型折纸法：将合页型折纸直立于平面上，若折痕能与平面紧贴，则平面垂直于平面；（此方法可以检验一般的平面与平面是否垂直） 3、 检验平面与平面平行的方法：长方形纸片：按交叉的方向检验两次，两遍都与被检验的面紧贴，则平面平行于平面.二、检验方法总结：垂直平行直线与平面铅垂线 三角尺 合页型折纸铅垂线 长方形纸片平面与平面铅垂线 三角尺 合页型折纸长方形纸片【例题与应用】例3如图，在长方体中（1）平面与平面的位置关系是 ；（2）平面与平面的位置关系是 ；（3）平面与平面的位置关系是 。练习3.如图是长方体的六面展开图，在原来长方体中，与平面垂直的面有 ；与平面平行的面有 。练习4.如图，沿长方形的对角线与长方形的对角线将长方体截成相等的两部分，截面是一个 形，图中与它垂直的平面有 。 【巩固与提高】1. 长方体中，下列说法错误的是（ ）（A）任何一条棱，都有两个平面与它平行； （B）任何一条棱都垂直于两个面；（C）长方体中任何一个面都与四条棱平行；（D）长方体中棱与棱不是相交就是平行；2. 下列判断正确的是（ ）（A）凡与铅垂线重合的直线都和水平面垂直（B）长方体中任意的两条棱互相垂直（C）将一张长方形纸片一折为二，两个平面一定互相垂直（D）检验细棒与墙面是否垂直，可以用一把三角尺一边紧贴墙面，若另一边紧贴细棒，则这根细棒必定垂直于墙面3. 如果把骰子看作是一个正方体，点数的对面是，点数的对面是，点数的对面是，那么（1） 与点数的面垂直的面有几个，分别是哪些？（2） 与点数垂直的面上的数字和是多少？4. 如图是一个正方体的展开图，请找出在原来的正方体展开图中与平面垂直的棱。 5. 如图，在长方体中，找出与平面垂直的平面，并找出现成的能检验它们垂直的合页型折纸，在图上用阴影部分表示，【课后作业】1. 下列说法正确的是（ ）（A）平静的水面是水平面，所以光滑的镜面也是水平面（B）长方体中棱与平面不是垂直就是平行（C）若两条直线都平行于同一平面，那么这两条直线也平行（D）长方体中任何一条棱都与两个平面平行2. 如图所示，一本数学课本竖立在课桌面上，并有几页纸张开，这时从图中能看到：（1）和课桌面垂直的线段有哪些？（2）和课桌面平行的线段有哪些？3. 如图，是由棱长为的小正方体构成，其小正方体的个数为 个.（）4. 如图，在长方体-中，与平面垂直的面是 ；与平面平行的面是 ；与平面平行的棱是 ；5. 如图，在长方体ABCD-EFGH中，（1）与平面AEHD垂直的面有 ；（2）与平面CGHD垂直的面有 ；（3）与平面ADHE平行的平面是 ；（4）与平面ABFE平行的平面是 ；（5）能说明平面