力学答案第十章

第十章 波动和声 10.2.1 频率在 20 至 20000Hz 的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉 .0 时，空气中的声速为331.5m/s ，求这两种频率声波的波长 .解 :因 所以 10.2.2 一平面简谐声波的振幅为 0.001m ，频率为 1483Hz ，在 20 的水中传播，写出其波方程 .解： 已知 波速 1483m/s 。 设 O-x 轴沿波传播方向， x 表示质元平衡位置坐标， y 表示质心相对平衡位置的位移，选坐标原点处位相为零的时刻为计时起点。即原点处初相为零 。则位于处的体元相位落后 。即： 10.2.3 已知平面简谐波的振幅 ，波长 1m ，周期为 ，写出波方程（最简形式） . 又距波源 9m 和 10m 两波面上的相位差是多少？解： 选坐标原点处位相为零刻为计时起点。 O-x 轴沿波传播方向，得波的最简形式： 得： 设波源处为 ，则 所以位相差是： 10.2.4 写出振幅为 A ， ，波速为 ，沿 Ox 轴正方向传播的平面简谐波方程 . 波源在原点 O ，且当 t=0 时，波源的振动状态被称为零，速度沿 Ox 轴正方向 . 解： 设波源振动方程： 得波源振动方程为： 因为任一 处的位相比波源的相位落后 ，得波方程为 将已知代入得波方程为： 10.2.5 已知波源在原点（ ）的平面简谐波方程为 A,b,c 均为常量。试求：（ 1 ）振幅，频率，波速和波长；（ 2 ）写出在传播方向上距波源处一点的振动方程式，此质点振动的初位相如何？解： 与平面简谐波方程的标准形式 比较可得： 振幅为 A ，频率： ； 波速 ，波长 （ 2 ） 时，该点的振动方程式为： 此质点振动的初位相为 。 10.2.6 一平面简谐波逆轴传播，波方程为， 试利用改变计时起点的方法将波方程化成最简形式。 解： 对应 的最简形式应为 如改变计时起点后的新计时系统以 应满足，因此 即将计时起点提前 3 秒，就可将波方程化成最简形式 10.2.7 平面简谐波方程 ，试用两种方法画出 时的波形图。（ SI ） 解： 的波形图。 方法一：有方程求得。 找出对应于方程的各（ x,y ）点 , 例 如： 通过各点描绘出所求波形图（右图）。 方法二：由方程求得， 先画出 的图形，在将纵坐标轴向右移动 ： 即向右移动 ，就可以得到所求的波形图。 10.2.9 二图分别表示向右和向左传的两列平面简谐波在某瞬时的波形图，说明此时 以及 各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于 和 只要求说明其相位在第几象限） 解： 若波用余弦函数表示 , 则所求结果如下表 . 横坐标 位移 速度 相位 正最大 0 负 负 象限 0 负最大 正最大 0 负 正 象限 0 正最大 10.2.10 图（ a ）、（ b ）分别表示 和 时的某一平面简谐波的波形图。试写出此平面简谐波波方程。 (a) (b) 解： 由图知 由图 (a) 知，原点处质元初相 .比较 t=0 和 t=2s 的 (a)(b) 图知 , 因此 取 , 将 之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一个表达式 : 10.3.1 有一圆形横截面的铜丝，手张力 1.0N ，横截面积为 1.0 . 求其中传播横波和纵波时的波速各多少？铜的密度为 ，铜的杨氏模量为 . 解： 可把很细的铜丝看作柔软的弦线 ( 设弦线的密度为 ), 计算在其中传播的横波的波速 . 10.3.2 已知某种温度下水中声速为 ，求水的体变模量 .解： 已知 10.4.1 在直径为 14cm 管中传播的平面简谐声波 . 平均能流密度 ， ， . （ 1 ）求最大能量密度和平均能量密度，（ 2 ）求相邻同相位波面间的总能量 .解： (1) 能量密度 最大能量密度 能流密度 已知 平均能流密度 (2) 由于相邻同位相波面间的距离为 . 一周期内单位体积媒质具有的平均能量为 , 因此相邻同位相波面间的总能量为 10.4.3 面向街道的窗口面积约 ，街道上的噪声在窗口的声强级为 60dB ，问有多少声功率传入室内（即单位时间内进入多少声能）？解： 声功率 10.4.4 距一点声源 10m 的地方，声音的声强级为 20dB. 求（ 1 ）距声源 5m 处的声强级；（ 2 ）距声源多远，就听不到 1000Hz 的声音了？解： (1) (2) 设距声源 时 , 刚好听不到声音 10.5.1 声音干涉仪用于显示声波的干涉 , 见图 . 薄膜 S 在电磁铁的作用下振动 .D 为声音检测器 ,SBD 长度可变 ,SAD 长度固定 . 声音干涉仪内充满空气 . 当 B 处于某一位置时 , 在 D 处听到强度为 100 单位的最小声音 , 将 B 移动则声音加大 , 当 B 移动 1.65 时听到强度为 900 单位的最强音 . (1) 求声波的频率 ,(2) 求到达 D 处二声波振幅之比 . 已知声速为 342.4 . 解： (1) 由最小声音到相邻的最强音 , 经 SAD,SBD 管内穿到 D 处的二相干波 , 传播距离差应改变 , 此改变量是由 B 管的移动引起的 , 因此 (2) 10.5.2 两个声源发出横波 , 振动方向与纸面垂直 , 二波源具有相同的位相 , 波长 . (1) 至少求出三个 数值使得在 P 点合振动最强 ,(2) 求出三个 数值使得在 P 点合振动最弱 . 解： 由已知此二横波振动方向相同 , 波长相同 , 在同一种媒质中 , 波速和周期相同 ,P 点的此二横波的方程可写成 : (1) 在 P 点合振动最强时 , 二横波在该点引起的多振动位相相同 , 即 由此得 , . 已知 取 时得 10.5.3 试证明两列频率相同 , 振动方向相同 , 传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加 .解： 设二平面简谐波为 : 则： 此结果的前一项表示一行波 , 后一项表示一驻波 , 可见满足题目要求的二平面简谐波叠加后形成了一驻波与一行波的叠加。 10.5.4 入射波 在固定端反射 , 坐标原点与固定端相距 , 写出反射波方程 . 无振幅损失 .(SI) 解： 反射波的振幅 , 频率 , 波速均与入射波相同 , 传播方向与入射波传播方向相反 , 初位相也不同 , 因入射波在坐标原点的初位相为零 . 故反射波在原点的初位相为 : 式中 ， 为落后位相， 为半波损失。 入射波 可见 由以上各条件可写出所求反射波在原点的振动方程 : 反射波的振动方程为 : 10.5.5 入射波方程为 , 在 X=0 处的自由端反射 , 求反射波的波方程 . 无振幅损失 . 解： 由入射波方程 知 反射波振幅为 A, 周期为 T, 波长为 , 传播方向沿坐标轴 O-X 正方向 . 因在 X=0 处自由端反射 , 故反射波与入射波在原点处位相相同 . 因此反射波方程为 : 10.5.6 图示某一瞬时入射波的波形图 , 在固定端反射 . 试画出此瞬时反射波的波形图 . 无振幅损失 . 解： 因为反射波与入射波传播方向相反 , 在固定端反射时 , 二者位相差为 , 所以可以按以下方法作出反射波波形图 : 以界面处质元平衡位置为原点如图建立坐标系 . 设入射波波方程为 先作出入射波波形图 , 以 轴为对称轴的对称波形图 , 并画出该波形图在固定端左侧的部分。 因为固定端反射波在界面处有半波损失 , 所以反射波方程应为 : 其波形可将入射波波形图向 x 正方向延长，再剪去半个波长后对称镜像至 x 轴原点左方而得。 10.5.7 若 10.5.6 题图中为自由端反射 , 画出反射波波形图 . 解： 因为入射波在自由端反射时 , 没有半波损失 , 即反射波和入射波在界面处位相相同 , 而传播方向相反 , 所以反射波波形图是入射波波形图以界面为对称的对称图形 , 其图形如图所示 10.5.8 一平面简谐波自左向右传播 , 在波射线上某质元 A 的振动曲线如图示 . 后来此波在前进方向上遇仪障碍物而反射 , 并与该入射平面简谐波叠加形成驻波 , 相邻波节波腹距离为 , 以质元 A 的平衡位置为 轴原点 , 写出该入射波波方程 . 解： 振动的一般方程可写为 由题意知 因此 , 质元 A 的振动方程为 : 这就是所求波方程中原点 处质心的振动方程 .已知相邻波节 , 波腹间距离为 由以上诸条件可写出以质元 A 的平衡位置为 OY 轴原点的入射波方程为 : 10.5.9 同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率 , 同方向 , 同振幅的振动 . 二波相对传播 , 波长 . 波射线上 A,B 两点相距 . 一波在 A 处为波峰时 , 另一波在 B 处位相为 . 求 AB 连线上因干涉而静止的各点的位置 .解： 由已知条件可知 , 此二平面简谐波为相干波 , 在二波源间的连线上形成驻波 . 以 A 为原点建立 OX 坐标轴 , 以甲波在点位相为零时刻为计时起点 . 在 A,B 间 , 甲波方程为 : 乙波方程为 : 由题知 , 甲波在 A 处质点位移为正最大时 , 在 处的 B 点位相为 , 因此当 时 , 在 处 当 AB 间的点因干涉而静止时 , 甲乙二波在该点的位相差应满足 : 当 时 , , 这就是 AB 间静止各点的位置坐标 . 10.5.10 一提琴弦长 50 , 两端固定 . 不用手指按时 , 发出的声音是 A 调 :440 . 若欲发出 C 调 :528 , 手指应按在何处 ? 解： 音调决定了基频 , 弦的基频为 一定 , 已知 因此 10.5.11 张紧的提琴弦能发出某一种音调 , 若欲使它发生的频率比原来提高一倍 , 问弦内张力应增加多少倍 ? 解： 因此 , 弦内张力应增加 3 倍 . 10.7.1 火车以速率 驶过一个在车站上的观察者 , 火车发出的汽笛声频率为 . 求观察者听到的声音的变化 . 设声速是 解： 近似认为静止的观察者和火车轨道在同一直线上 , 则当火车驶向观察者时 , 观察者听到的声音的频率为 当火车驶离观察者时 , 观察者听到的声音的频率为 : 因此 , 火车驶过观察者时 , 观察者听到的声音频率的变化为 : 10.7.2 两个观察者 A 和 B 携带频率均为 1000 的声源 . 如果 A 静止 , 而 B 以 的速度向 A 运动 , 那么 A 和 B 听到的拍是多少 ? 设声速是