01 秋季班初三自招进度一圆幂定理1学生版

圆幂定理（圆幂定理（1 1） 1 / 6 第一讲 圆幂定理（1） 1 圆幂定理（与圆有关的比例线段） ： （1） 相交弦定理：圆的两条相交弦中，每条弦被交点所分的两条线段的乘积相等如图，O内 接四边形ABCD，AC、BD交于点P，有：AP PCBP PD （2） 割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆交点的两条线段的积相等 如 图，O内接四边形ABCD两边BA、CD延长线交于点P，有：PA PBPC PD （3） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比 例中项如图，PA为O的切线，PBC为O的割线，有： 2 PAPB PC （1） （2） （3） 三个定理统称为圆幂定理 （注：点P对半径为r的O的幂是 22 POr ） 2 圆幂定理的应用： 与圆有关的比例线段问题的一般思考方法： D P C B A D P C B A P C B A 圆幂定理（圆幂定理（1 1） 2 / 6 （1） 直接应用圆幂定理； （2） 找相似三角形：当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三 点定形法” 证明三角形相似， 其一般思路为 “等积式”“比例式”“中间比”“相似三角形” 【例题1】过圆外一点P作一条直线交圆于AB、两点，过P另作一直线交这圆于CD、两点已知 2PA，2AB ，1PC ，求ABCD的值 【例题2】如图，已知O分别与ABC的AB、AC边切于M、N，交BC边于E、F，且 BEEFFC，求证：BC D O B P C A FE O N M CB A 圆幂定理（圆幂定理（1 1） 3 / 6 【例题3】如图，PT是O的切线，T为切点，PA是割线，它与O的交点是AB、，与直径CT的 交点是D已知2CD ，3AD ，4BD ，求PB的长 【例题4】AB与圆心为O的圆相切于点A，D点在圆内DB与圆相交于C，若3BCDC， 2OD ，6AB ，求O的半径 【例题5】在平行四边形ABCD中，8AD ，过点D作一圆与AB和BC相切，与边AD和DC分别 交于点E和F已知54AEDE，8CFDF，求平行四边形ABCD的周长 T O C D A P B H G F ED CB A 圆幂定理（圆幂定理（1 1） 4 / 6 【例题6】圆与正三角形三边交于6个点， 如图， 如果2AG ，13GF ，1FC ，7HJ ， 求DE 【例题7】 1 O、 2 O、 3 O、 4 O都经过A和B，从线段AB的延长线上任一点P向各圆作切线， 切点分别为 1234 TTTT、 、 、，求证： 1234 TTTT、 、 、均在以P为圆心的圆上 【例题8】如图，ABC内接于O，P为O外的一点，作CPDA使PD交O于D、E两 点，并与AB、AC分别交于点M、N，求证：DN NEMN NP J O H G F EDCB A 圆幂定理（圆幂定理（1 1） 5 / 6 【例题9】如图， 1 O和 2 O相交，公共弦MN，公切线为AB与CD，直线MN交AB于P，交D 于Q，求证： 222 PQABMN 【例题10】如图，AB是半圆O的直径，4AB， 弦3BC，ABC的平分线交O于D，AD、 BC的延长线交于E，求CDE的面积和四边形ABCD的面积比 【例题11】从圆外一点P引圆的切线PT，割线PAB，PF是TPB的平分线，分别交ATBT、于 EF、求证：ET FTEA FB F E P T B A 圆幂定理（圆幂定理（1 1） 6 / 6 【例题12】锐角ABC中，以边BC为直径画圆与边AB相交于G，AD与该圆切于D点，在AB上 取AEAD，作EFAB，且EF与AC的延长线交于F，求证：AE AFAB AC 【作业1】P是O外一点，13OP cm， 过P作O的割线，PQR交O于Q、R， 且9PQ cm， 7QR cm，求O的半径 【作业2