大学数学概率篇之随机变量的数字特征——大数定理与中心极限定理描述.ppt

4.4大数定理与中心极限定理,一、切比雪夫不等式二、大数定理三、中心极限定理四、小结,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,下面我们先介绍大数定律,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的废品率,定理1,方差,则对于任意给定的正数,有,切比雪夫不等式,证,则有(如图）,一、切比雪夫不等式,完,注:,(1)切比雪夫不等式也可以写成,(2)切比雪夫不等式表明：,则事件,发生的概率越大，,即，,的可能性越大.,由此可见方差刻画了随机变量取值的,离散程度.,(3)在方差已知的情况下，,则有,故对任给的分布，,只要期望和方差存在，,则随机变,例1,已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞,数平均是7300,均方差是700.,利用切比雪夫不,等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的,概率.,解,设每毫升白细胞数为,依题意,所求概率为,由切比雪夫不等式,即每毫升白细胞数在52009400之间的概率不,小于8/9.,完,例2,在每次试验中,利用切比雪夫不等式求:,何值时,概率至少为0.90?,解,则,的,可改写为,在切比雪夫不等式中取,则,依题意,解得,中,至少为0.90.,二、大数定理,是指对任意,都相互独立.,定理2,且具有相同的期望和方差,记,则对任意的,有,(*),证明,由,根据切比雪夫,等式即得,即证得结果.,注：,定理表明：,对任意,事件,发生的概率很大，,从概率意义上指出了，,时，,在概率论中，,收敛于,记为,定理还表明：,依概率收敛于其数学期望,完,推论,则对任意的,有,(*),证明,因为,所以,因而,注意到,注：,这个推论就是最早的一个大数定理，,称为伯努,利大数定理.,它表明：,实际应用中，,当试验次数很大时，,在,便可以用事件发生,的频率来近似代替事件的概率.,则由伯努利大数定理知事,生，,即“概率很小的事件在个别试验中几乎不会发生”，,这一原理称为小概率原理.,它的实际应用很广泛，,应注意到，,小概率事件与不可能事件是有区别的，,但,多次试验中，,小概率事件也可能发生.,在,完,中心极限定理的引入,在实际问题中，,许多随机现象是由大量相互独立的,随机因素综合影响所形成，,其中每一个因素在总的,影响中所起的作用是微小的，,这类随机变量一般都,服从或近似服从正态分布.,以一门大炮的射程为例，,影响大炮的射程的随机因素包括：,制造导致的误差，,炮弹及炮弹内炸药在质量上的误,瞄准时的误差，,受风速、,误差等.,其中每一种误差造成的影响在总的影响中,大炮炮身结构的,差,风向的干扰而造成的,所起的作用是微小的，,并且可以看成是相互独立的，,人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的,总影响.,因此需要讨论大量独立随机变量的和问题.,中心极限定理是棣莫佛在十八世纪首先提出的，,今其内容已经非常丰富.,这些定理在很一般的条件,下证明了，,无论一个随机变量服从什么分布，,这种随机变量的和的分布都可以用正态分布近似，,而正态分布有许多完美的结果.,完,至,大量,定理3,设随机变量,相互独立，,服从同一分布，,且,则,注：,定理表明:,个具有期望和方,差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布.,虽然在一般情况下，,我们很难求出,的分布的确切形式，,分布.,由定理结论，,近似,近似,可求出其近似,有,近似,近似,故定理又可表述为：,均值为,分布.,这一结果是数理统计中大样本值统计推断的理,论基础.,定理4,(棣莫佛拉普拉斯定理),设随机变量,则对任意,有,证明,因为,所以,根据定理3即得,注：,棣莫佛拉普拉斯定理是林德伯格勒维定理,的一个重要特例，,它是历史上最早的中心极限定理.,完,例3,一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号,的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg,的概率.,解,且它们之间独立同分布,于是一盒螺丝钉的重量,为,且由,知,例3,解,由中心极限定理有,完,例4,某车间有200台车床,在生产期间由于需要,检修、调换刀具、变换位置及调换工作等常需停,车.,设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立,的,且在开工时需电力1千瓦,问应供应多少瓦,电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电,不足而影响生产?,解,对每台车床的观察作为一次试验,每次试验观,察台车床在某时刻是否工作,工作的概率为0.6,共进行200次试验.,车床数,依题意,有,现在的问题是:,的,由定理3,近似服从,这里,于是,由,查正态分布函数表得,由,查正态分布函数表得,故,从中解得,即所求,也就是说,应供应142千瓦电力就能以99.9%的,概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.,完,例5,某市保险公司开办一年人身保险业务,被保,险人每年需交付保险费160元,若一年内发生重,大人身事故,其本人或家属可获2万元赔金.,已,知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为,现有5000人参加此项保险,问保险公司,一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40,万元之间的概率是多少?,解,且,且,是5000个被保险人中一年内发生重大,人身事故的人数,保险公司一年内从此项业务所,得到的总收益为,万元.,于是,于是,完,例6,对于一个学校而言,来参加家长会的家长人,数是一个随机变量,设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率分别为,若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家,长数相互独立,且服从同一分布,求参加会议的家,解,议的家长数,易知,而,由定理3,随机变量,近似,故,由定理3,随机变量,近似,故,完,高尔顿钉板试验,如图是高尔顿钉板,常常在赌博游戏中见到,庄,家常常在两边放置值钱的东西来吸引顾客,现在,可用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘.,记随机变量,易见,服从两点分布:,高尔顿钉板试验,