2013计算力学2理论基础

2.1弹性基础，第2章理论基础，弹性-差异和联系-材料力学1)研究内容：基本没有差异。弹性也是研究外力作用下弹性体的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2)研究对象：有相同点也有不同点。材料力学只研究杆状构件，如杆、梁、柱和轴。弹性还研究杆状构件，也研究板、壳和其他固体结构。3)研究方法：差异很大。2.1弹性基础，2.1弹性基础，2.1弹性基础，2.1弹性基础，简而言之，弹性和材料力学既相关又不同。它们都属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学有更普遍的研究对象、更严密的分析方法和更准确的研究结果，因此其应用范围更广。然而，弹性也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态更加复杂，处理方法更加严格，往往需要冗长的数学运算来解决问题。2.1弹性基础，作用在弹性体上的外力(或载荷)可能有两种：表面力，即分布在物体表面的力，如静水压力、一个物体与另一个物体之间的接触压力等。每单位面积的表面力通常被分解成三个平行于坐标轴的分量，用标记表示。体力是分布在物体体积中的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积的物理强度也可以分为三个分量，分别用x、y和z表示。弹性体受到外力作用后，内部会产生应力。2.1弹性基础，2.1弹性基础，弹性体中的微小平行六面体PABC，称为体素，PA=dx，PB=dy，PC=dz，法向应力，剪应力，每个表面上的应力被分解为法向应力和两个剪应力，这两个应力分别平行于三个坐标轴，2.1弹性基础，为了指示该法向应力的作用面和方向，增加了一个角度代码，例如，法向应力作用于垂直于X轴的表面，也沿X轴方向作用。法向应力加上两个角度代码，前者表示作用平面垂直于哪个轴，后者表示作用方向沿着哪个轴。例如，剪应力作用在垂直于x轴的平面上，并沿y轴作用。剪应力，2.1弹性力学基础，剪应力互易定律作用在两个相互垂直的表面上，垂直于两个表面交点的剪应力是互易的。(同样的尺寸，同样的标志)。因此，剪应力标记的两个角代码可以颠倒。剪应力等效，2.1弹性力学基础，1。平面应力问题，简化为等厚板加载情况图平行于板并沿板厚均匀分布的板前和板后无载荷；这是一个平面应力问题。(2)平面应力问题的特点(1)引用实例：墙壁、舱壁等。都是等厚的薄板。因为板表面(z=t/2)没有应力，所以有弹性力学的基础(2.1)。根据剪应力互易定理，由于板很薄，外力不会沿板的厚度变化，应力沿板的厚度连续分布。因此，可以认为：在整个板的所有点上，这是平面应力问题的特点。元素体可以用来表示图形。因此，在薄板中只剩下三个平行于X和Y平面的应力分量，即：2.1弹性基础和3。平面应力问题的定义。对于只有三个应力分量平行于xy平面的均匀薄板问题，它被称为平面应力问题。2.1弹性基础2。平面应变问题被简化为等长的长截面圆柱，载荷垂直于长度方向，沿长度方向不变，被视为无限长圆柱。(1)简介：大坝、隧道等。2.1弹性基础，(2)平面应变问题的特征，(1)无限长圆柱体的位移分量，因为任何横截面都可以看作对称横截面这类问题称为平面应变问题，2.1弹性力学基础，概述：平面问题的基本未知数，平面应力问题的平面应变问题，1。应力分量，(3)，独立(3)，2。应变分量，独立(3)、(3)、3。位移分量，独立的(2)、(2)，2.1弹性基础，2.2平面问题的基本方程，1。平衡方程，1。研究对象采用单位体尺寸dx、dy、单位厚度、体积力x、y。(1)由于应力分量是点的位置坐标的函数，因此单位体的两个对应平面上的应力略有不同。(2)由于单元体很小，单元体各边的应力可以认为是均匀分布的，体力也是均匀分布的。注：2。静态平衡条件：剪应力互易性：上述公式是材料力学中的剪应力互易性定理(符号和符号不同)，(1)单位体的中心是力矩平衡，(2.2)平面问题的基本方程，(3)平衡方程：可以看出这两个方程包含三个未知量，是超静定问题。为了找到应力分量，还必须找到几何方程。2.2平面问题的基本方程，平面应变问题平衡方程，因为x和y平面上的应力平衡与平面应力问题完全相同，该方程也适用于平面应变问题。对于平面应变问题，在z方向有正应力，但它们不随z变化，所以它们能保持自平衡。2.2平面问题基本方程，应力矩阵，2.2平面问题基本方程，体积力矩阵，微分算子矩阵，点a在x方向的位移分量为u；点b在x方向上的位移：ABCD-a b c d 求线元AB和AD的正应变，用位移分量表示：线元AB的正应变为：类似地，AD的正应变为：2.2平面问题的基本方程，2。几何方程，x线单元AB的旋转角，线单元AD的旋转角，剪切应变，即线单元AB和AD之间的直角变化，线单元AB的旋转角为：点a在y方向上的位移分量为v；点b在y方向上的位移分量是：2.2平面问题的基本方程，同样，线元AD在y方向上的旋转角很小，所以上述公式可以省略，比单位值小得多。因此，剪切应变为：2.2平面问题的基本方程、位移矩阵、2.2平面问题的基本方程、应变矩阵、几何方程、微分算子矩阵的转置矩阵A，当沿X轴方向的两个相对的边受到均匀分布的法向应力时，法向应力在满足预先假定的材料性质的条件下不会引起任何角度的变化，其在X轴方向上的单位伸长可以用方程中的弹性模量E来表示。弹性体在X方向的延伸伴随着横向收缩，即在Y和Z方向的单位缩短可以用泊松系数表示。该方程可用于简单拉伸和简单压缩，并且在弹性极限内，两种情况下的弹性模量和泊松系数是相同的。(3)应力-应变关系，物理方程-胡克定律：2.2平面问题的基本方程，假设图中的弹性体受到均匀分布的正应力。实验证明，只有叠加由三种应力引起的应变分量，才能得到复合应变分量。单位伸长和应力之间的关系完全由两个物理常数e和e决定。两个常数也可以用来确定剪切应力和剪切应变之间的关系。2.2平面问题的基本方程，如果剪切应力作用在弹性体的每个面上，任意两个坐标轴之间夹角的变化只与平行于这两个轴的剪切应力分量有关，从而得出：式中，G称为剪切模量，它与弹性模量E和泊松系数有如下关系：方程中的法向应变和剪切应变相互独立。因此，由三个正应力分量和三个剪应力分量引起的一般情况的应变可以通过叠加法得到。这六个关系式被写在一起，得到一个弹性方程或物理量如果应力分量表被重写为应变分量的函数，并且公式被替换，则可以获得物理方程的第二种形式：2.2平面问题的基本方程，其可以被表达为：写为：2.2平面问题的基本方程，D被称为弹性矩阵，其完全由弹性常数e和2.2平面问题的基本方程，2.2平面问题的基本方程决定，并且思考：各向异性材料的物理方程的形式是什么？平面应力：平面应力问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题，2.2平面问题2.2平面问题的基本方程和平面应变问题的物理方程仍然可以简化为：两类平面问题的力学和几何关系与材料性质无关，只有物理关系与材料性质有关； 因此，对于两个平面问题，平衡微分方程和几何方程是相同的，必须用物理方程代替：平面应力问题中的弹性常数可以用来获得平面应变问题的物理方程(包括弹性矩阵)。在位移边界问题中，物体在所有边界上的位移分量是已知的，即其中：是位移的边界值；-边界上已知的坐标函数或边界上已知的位移分量。1，位移边界条件，2.2平面问题的基本方程，平面问题的边界条件，位移矩阵，已知位移矩阵，2，斜面上的应力，1，研究对象，直六面体：dx，dy，单位厚度，坐标平面上的应力分量，斜面上的应力分量，1)ab，AC，BC平面的面积，2.2平面问题的基本方程，平面问题的应力边界条件，2)坐标轴上斜面上的应力分量， 两个坐标轴方向的平衡条件：2.2平面问题的基本方程，平面问题的应力边界条件，3)斜面上的法向应力和剪应力，斜面上的法向应力和剪应力可以通过投影得到，2.2平面问题的基本方程，平面问题的应力边界条件， 边界上的楔形体(单位厚度)如图所示：弹性体中单元体斜面上的应力分量与坐标平面上的应力之间的关系如下：如果单元体斜面只是边界面，则表面力分量与坐标平面上的应力之间的关系就是应力边界条件。 2.2平面问题的基本方程，2.2平面问题的应力边界条件，平面问题物理量的矩阵表示，应力矩阵，应变矩阵，体积力矩阵，表面力矩阵，位移矩阵，弹性矩阵，已知位移矩阵，2.2平面问题的基本方程，当它依赖于材料的各向同性和线性弹性性质时，两个算子矩阵，微分算子矩阵，方向余弦矩阵，平面应力，平面应变： 介绍了平面问题物理量的矩阵表示、2.2平面问题的基本方程、平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。 2.2平面问题的基本方程，根据平衡条件：1。平衡方程，2.3空间问题的基本方程，可以得到类似的表达式。经过两边的整理和划分，并注意到剪应力的相互关系，我们可以得到：剪应力的相互关系可以用三个轴上的组合力矩分别为零的事实来证明。独立未知函数的数量是6，平衡方程的数量是3。这个问题是超静定的。必须考虑几何和物理之间的关系。2.3空间问题的基本方程、2.3空间问题的基本方程、体积力阵列、应力阵列、微分算子阵列、平面问题、几何方程通过研究线元的变形而得到可以得到以下方程：用矩阵表示。几何方程，2.3空间问题的基本方程，应变阵列：几何方程：2.3空间问题的基本方程，3。物理方程：(广义胡克定律)，2.3空间问题的基本方程，基本未知函数15:应力分量(6):位移分量(3):应变分量(6):基本方程15:平衡微分方程3；6个几何方程；有6个物理方程。添加边界条件来解决空间问题。2.3空间问题的基本方程，物体中任意点的应力状态，1，任意平面上的应力：，p，将任意点p的6个应力分量设为已知，求出：通过点p的任意斜截面的应力，将平面设为ABC，将外法线设为n，方向余弦设为：空间问题的基本方程，平面问题的边界条件，假设三角形的ABC面积为：p，那么如果：ABC表面上的总应力为Sn，其在坐标轴上的投影为：ABC表面上的法向应力和剪应力由四面体PABC的平衡计算，即2.3空间问题的基本方程：通过将Xn，Yn，Zn投影到n轴上得到法向应力公式：得到剪应力公式：2.3空间问题的基本方程，以及2空间弹性体的应力边界条件： 当表面ABC是物体的边界表面时，其应力分量成为表面力分量，其中包括：2.3空间问题的基本方程，2.3空间问题的基本方程，方向余弦矩阵，2.3几何基本方程，2.3空间问题的基本方程，1 .平衡方程，3.3物理方程，2.3空间问题的基本方程，4 .边界条件(应力，位移，位移，应力，2.3空间问题的基本方程，位移阵列，体积力阵列， 应力阵列、应变阵列、表面外法线方向的余弦阵列、微分算子阵列、表面力阵列、已知位移阵列、2.3空间问题的基本方程、2.4能量原理和变分法、变形体的外力功-能关系、弹性体的变形势能：弹性体仅在一个方向上承受均匀的法向应力以产生相应的法向应变。 单位体积的变形势能，即变形势能的密度或比能，是：根据能量守恒定理：变形势能的大小完全由应力和变形的最终大小决定，与弹性体的应力顺序无关。单位弹性体的比能：1。弹性体的变形势能，2.4能量原理和变分法，将物理方程代入上述公式，变形势能表示为应力分量，2.4能量原理和变分法，分别推导出6个应力分量的上述公式：上述公式表明，任一应力分量的弹性体比能变化率等于相应的变形分量。2.4、能量原理和变分法，将代表应力的应变物理方程代入上述公式，变形势能用变形分力表示，格林公式，上述公式分别由6个应变分力导出：上述公式表明任何变形分力的弹性体比能变化率等于相应的应力分力。2.4能量原理和变分法，位移分量表示的变形势能表达式。2.4能量原理和变分方法，将几何方程代入上述方程：2.4能量原理和变分方法，2.4泛函和变分概念，函数：泛函：2.4能量原理和变分方法，典型变分命题：1:已知空间中最陡下降问题的两点A和B不在同一铅垂线上， A高于B。需要在两点之间连接一条曲线，这