精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)

BatchDoc-Word文档批量处理工具中学数学竞赛的主题说明最短路径问题【问题的概述】最短路径问题是图论研究中的典型算法问题，其目的是寻找图(由节点和路径构成)中的两个节点之间的最短路径。 算法的具体形式如下确定起点的最短路径问题-即在已知的起点节点上求最短路径的问题确定终点最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是在已知的终端节点中求出最短路径的问题.确定起点、终点的最短路径问题-也就是说，知道起点和终点，求出两个节点之间的最短路径全局最短路径问题-求图中的所有最短路径【问题的原型】“将军喝马”“造桥的地方”“费马点”【知识相关】“两点间的线段最短”、“垂线的线段最短”、“三角形的三边关系”、“轴对称”、“平行移动”角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题构想】寻找对称点实现“折叠”，最近2年出现了将“三折线”变为“直线”等变式问题【12的基本问题】【问题1】做法图形原理在直线l上求出点p，使PA PB值最小.将与连AB、l交点设为p .两点之间的线段最短PA PB的最小值为AB。【问题2】“将军喝马”做法图形原理在直线l上求出点p，使PA PB值最小.设b对于l的对称点b 连ab 与l的交点为p .两点之间的线段最短PA PB最小值是ab .【问题3】做法图形原理在直线上分别求出点m、n，使PMN的周长最小将点p两直线的对称点p 和p 、p p 、两直线的交点分别设为m、n .两点之间的线段最短PM MN PN的最小值为线段PP 的长度【问题4】做法图形原理在直线、上分别求出点m、n，使四边形PQMN周长最小.将点q、p分别关于直线，将连接对称点q 和p q p 与两直线的交点设为m、n .两点之间的线段最短四边形PQMN的周长的最小值是线段p p 的长度【问题5】“造桥立地”做法图形原理用直线，分别求出点m、n，使MN、AM MN BN的值最小将使点a向下方直线移动MN的长度的单位设为a 、ab，设为与点n相交且超过n的NM.两点之间的线段最短AM MN BN的最小值为abmn【问题6】做法图形原理在直线上求出两点m、N(M为左)，使AM MN NB值最小.将点a向右偏移的长度单位设为a，将连接a b的直线设为点n，将n点向左偏移的单位设为m。两点之间的线段最短AM MN BN的最小值为AB MN .【问题7】做法图形原理以上求出点a，以上求出点b，使pab值最小.将关于点p对称点p 设为pbb，与a相交.从点到直线，垂线段最短pab的最小值是线段pb的长度【问题8】做法图形原理a求出前定点、b求出前定点、上点m、上点n，使AM MN NB值最小.到点a对称点a 、点b的对称点b 、a b 为止与m、n相交两点之间的线段最短AM MN NB的最小值是线段ab的长度【问题9】做法图形原理在直线l上求出点p，使的值最小.设作为连AB、AB中垂线与直线l的交点为p .从垂直二等分上点到线段两端点的距离相等=0【问题10】做法图形原理在直线l上求出点p，使的值最大设直线AB，与直线l的交点为p。三角形的任意两边的差都小于第三边。的最大值=AB【问题11】做法图形原理在直线l上求出点p，使的值最大令b为l对称点b 为直线ab ，令与l的交点为p .三角形任意两边的差小于第三边ab .最大值=ab 【问题12】“费马点”做法图形原理ABC内角分别小于120，在ABC内求出点p，使PA PB PC的值最小求出的点是“费马点”，即满足以apb=bpc=apc=120.ab、AC为边界外作等边ABD、ACE，求出与CD、BE相交的点p。两点之间的线段最短PA PB PC的最小值=CD一、基础路径1 .如图所示，在圆柱体中，底面的周长，高度是蚂蚁从外壁的a到内壁的b吃食物，求蚂蚁行走的最短距离。2 .右图是长方体的树块，假设蚂蚁在点a，沿着树块的侧面登上点d，蚂蚁爬行的最短路径如下。3 .正方形边的长度为上、上，最小值为。4 .菱形中，点为中点，对角线上的可动点，最小值为5 .如图所示，中间是边的中点，边上方的移动点，最小值为第五题第四题第二题第三题第一题a.a乙组联赛c.cd.d6 .是o的直径，11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111117 .如图所示，关于焦点p的OA、OB的对称点分别连接c、d、CD，如果OA是m、OB是n、CD=18cm，则PMN的周长为8 .图、AOB=30、点m、n分别在边OA、OB上，OM=1、ON=3、点p、q分别在边OB、OA上，MP PQ QN最小值为.9 .如图所示，在锐角ABC中，AB=4、BAC=45、BAC二等分线BC与点d相交，m、n分别是AD和AB上的可动点，BM MN的最小值为.第八题第九题第七题第六题二、例题解说例1 :已知直线与轴与a相交，轴与d相交，抛物线与直线与a、e两点相交，轴与b、c两点相交，b点坐标为(1，0 ) .(1)求抛物线的解析式；(2)当动点p在轴上移动，PAE为直角三角形且p为直角顶点时，求出点p坐标.(3)在抛物线的对称轴上寻找点m，使其值最大，求出点m的坐标。yxo.od.dea.a乙组联赛c.cd.do.oxy乙组联赛epa.ac.c例2 :如图所示，抛物线顶点p的坐标的交叉x轴位于a、b这2点，交叉y轴位于点.(1)求抛物线的公式(2)将ABC以ab的中点e为中心旋转180圈，得到四边形ADBC。判断四边形ADBC的形状，说明理由(3)试验线段AC上是否有点f，使FBD的周长最小如果存在，请写下点f的坐标。如果不存在，请说明理由例3 :如图所示，在平面正交坐标系中，矩形OACB的顶点o位于坐标原点，顶点a、b分别位于x轴、y轴的正半轴上，OA=3、OB=4、d是边OB的中点.(1)点d的坐标为(2)如果e是边OA上的一个动点，则CDE的周长最小时，求出点e的坐标。例4 :如图所示，正交坐标系具有4个点，在a (-8，3，3 )、b (-4，5 ) c (0，n )、D(m，0 )、四边形ABCD周长最短时求出.例5 :圆形容器的底面圆的周长为24m，高度为6m，从底面1m的a地点到对角线b地点一只老鼠走路吃食物，其走路的最短路线长度是多少？练习1 :桌子上有圆柱形玻璃杯(盖子)，高12厘米，底面周长18厘米，杯子内壁杯口3厘米外的a滴糖，桌子上爬到杯子外壁，正好爬到桌子上3厘米外的b时，突然发现糖问问昆虫到蜜糖的位置之前有没有爬几厘米。练习2 :如图所示，在长2米、宽1米的矩形草坪上堆积着长方体木块。 其棱长与场地宽度AD平行 AD，木块正视图为边长0.2米的正方形，蚂蚁从点a到c的最短距离为米(准确地说是0.01米)。练习3 :如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点a沿长方体的表面爬到对角顶点C1(三个角的长度如图所示)问路线最短的路线长度是多少？三、放学后上课a.ad.dep乙组联赛c.c1 .当正方形ABCD的面积是12，ABE是等腰三角形，点e在正方形ABCD内，在对角线ac上具有点p，使PD PE的和最小时，该最小值为()A. B. C.3 D2 .如该图所示，在边长为2的菱形ABCD中，当ABC=60且ACD绕点a旋转时，如果ACad分别在点BC、CD与点e、f相交，则CEF的周长的最小值为()A.2BC.D.43 .在四边形ABCD中，在B=D=90、C=70、BC、CD上分别搜索点m、n，将AMN的周长设为最小，将AMN ANM的度数设为()A.120 B.130 C.110 D.1404 .如图所示，三角形ABC中，OAB=AOB=15，点b是x轴正半轴，坐标是b (，)。OC将AOB二等分，点m位于OC的延长线上，点n位于边OA上，MA MN的最小值为_5.a (2，4 )、b (4，2 ).c在轴上，d在轴上，四边形ABCD周长的最小值为此时c、d这两点的坐标分别是.6 .已知a (1，1 )、b (4，2 ) .(1)P是轴上的一动点，求出PA PB的最小值和此时的p点的坐标(2)P是轴上的一动点，求出的值最大时的p点的坐标(3)CD是横轴上的移动线路，d位于c点的右侧，通过CD=1求出AC CD DB的最小值和此时的c点的坐标7 .点c是AOB内的点(1)用OA求出点d，用OB求出点e，为了使CDE的周长最小，请画出图形(2)在(1)的条件下，设AOB=30，OC=10，求出CDE周长的最小值和此时的DCE的度数。(1)如图所示，ABD和ACE都是等边三角形，B