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2.2基本力学原理与运动方程的建立2.2.3Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)Hamilton原理：在任意时间区段t1,t2内，体系的动能和位能的变分加上非保守力做功的变分等于0。T体系的总动能；V体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；Wnc作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)所做的功；在指定时间段内所取的变分。对于静力问题:最小势能原理。,2.2基本力学原理与运动方程的建立2.2.3Hamilton原理Hamilton原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量。而在虚位移原理中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。动能：集中质量转动质量位能：拉伸弹簧转动弹簧多自由度体系：动能位能,2.2基本力学原理与运动方程的建立用Hamilton原理建立体系的运动方程体系的动能：位能(弹簧应变能)：因此能量的变分：非保守所做的功的变分(等于非保守力在位移变分上作的功)将以上两式代入Hamilton原理的变分公式，得：对上式中的第一项进行分部积分,2.2基本力学原理与运动方程的建立2.2.4Lagrange方程Hamilton原理是一种积分形式的动力问题的变分方法，实际还有另外与之等价的微分形式的动力问题的变分原理，就是运动的Lagrange方程，其表达式如下：其中：T体系的动能；V体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能；Qj与qj相应的广义力。,2.2.4Lagrange运动方程算例2.8如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量分别为m1和m2，忽略杆的分布质量，采用Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。广义坐标q1和q2取为杆1和杆2的转角。为方便计算体系的动能，也给出了直角坐标系，在直角坐标系中更容易建立体系的势能和动能公式。,2.2.4Lagrange运动方程直角坐标x、y算例2.8和广义坐标q1、q2的关系及其速度之间的关系如下：,2.2.4Lagrange运动方程算例2.8体系的动能T：设q1=q2=0时是0势能位置，则势能（位能）V：,2.2.4Lagrange运动方程算例2.8取Lagrange方程中的i=1,2，得到，假设非保守力，即阻尼力和外力都为零，则Q1=Q2=0，将T和V代入Lagrange方程得复合摆的运动方程：可以发现以上运动方程公式是高度非线性的。,2.2.4Lagrange运动方程算例2.8复合摆的运动方程：当微幅振荡时，q1、q2很小，忽略高阶小量，运动方程可化为：这是一线性方程组，可见只有当微幅摆动时，复合摆的运动方程才成为线性的。当m2=0时，得到单摆的运动方程:,2.2基本力学原理与运动方程的建立2.2.4Lagrange方程应用Lagrange方程方法建立体系运动方程的步骤：建立坐标系，确定广义坐标；建立广义坐标与物理坐标之间的关系；写出体系动能和势能的表达式；代入Lagrange方程写出体系的运动方程。,四种建立运动方程的方法的特点DAlembert原理：是一种简单、直观的建立运动方程的方法，得到广泛的应用。DAlembert原理建立了动平衡的概念，使得在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问题。当结构具有分布质量和弹性时，直接应用DAlembert原理，用动力平衡的方法来建立体系的运动方程可能是困难的。虚位移原理：部分避免了矢量运算，在获得体系虚功后，可以采用标量运算建立体系的运动方程，简化了运算。,五种建立运动方程的方法的特点Hamilton原理：是一种建立运动方程的能量方法(积分形式的变分原理)，如果不考虑非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的标量运算，但实际上直接采用Hamilton原理建立运动方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一个极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题。Lagrange方程：得到更多的应用，它和Hamilton原理一样，除非保守力（阻尼力）外，是一个完全的标量分析方法，不必直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象。,2.2基本力学原理与运动方程的建立4种建立运动方程的方法的特点,运动方程的方法,2.2基本力学原理与运动方程