三角形中线与角平分线专题(二)

三角形中线与角平分线专题（二）1、 三角形内外角平分线的四个经典结论：结论一：三角形任意两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系已知如图1，BP平分ABC，CP平分ACB，求P与A的数量关系.结论二：三角形任意两个内角相邻的外角的平分线说夹角与第三个内角的关系已知如图2，平分外角，平分外角，求与的数量关系.结论三：三角形中任意一个内角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个内角的关系如图，平分，平分外角，求与的数量关系.结论四：结论三延伸如图，分别平分，连结，则为的平分线应用举例：例1：在四边形中，、的角平分线的交与点，试求的度数.例2：在中，三个外角的平分线所在的直线相交构成，试判断的形状.例3：如图3，在中，延长到,与的角平分线相较于点，与的平分线交与点，以此类推，若，则 ， . 图三 图四例4：点是两个内角的平分线的交点，点是两个外角的平分线的交点，如果CMBCNB=32，那么 例5：（2011年湖北省鄂州是中考题）ABC的外角ACD的平分线CP的内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP=_2、 角平分线性质的应用3、 角平分线与等腰三角形的构造问题：【模型一】角平分线+平行线等腰三角形如图（1）中，AD平分BAC，AD/EC；如图（2）中，AD平分BAC，DE/AC；如图（3）中，AD平分BAC，CE/AB；如图（4）中，AD平分BAC，EF/AD。例1：如图，在ABC中，ABAC，在AC上取点P，过点P作EFBC，交BA的延长线于点E，垂足为点F。求证：AEAP例2：如图，在ABC中，BAC、BCA的平分线相交于点O，过点O作DE/AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。训练题：如图，在ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：EF/AB【模型二】角平分线+垂线等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图，若AD平分BAC，ADDC，则AEC是等腰三角形。例3.：如图，在等腰RtABC中，ABAC，BAC=，BF平分ABC，CDBD，交BF的延长线于D。求证：BF2CD【模型三】作倍角平分线等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。如图，若ABC=2C，作BD平分ABC，则DBC是等腰三角形。例4.：如图，在ABC中，ACB=2B，BC2AC。求证：A=3、 角平分线定理及逆定理的应用：例1：简单的定理应用（1） 如图，的角平分线，于点，点是上一点，（2） 如图，是的平分线，求的长.例2：在梯形中的应用（作为结论记住）如图，的角平分线与的角平分线交于点，经过的直线与垂直，垂足为，且与交于，求证：点为的中点.变式1：如图，的角平分线与的角平分线交于点，过的直线交于，交于，求证：（1）（2）（3） 试证：例3：角平分线与中垂线的综合：（1） 如图，中，为的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，连接，求证：（2） 如图，在中，的平分线与边的中垂线相交于点，过作的垂线，垂足分别为，求证例4：逆定理应用（1） 将两块完