南京大学热力学与统计物理六PPT课件

1,.,(一)分布和微观状态,系统由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数N、能量E和体积V。,能级：,简并度：,粒子数：,用符号表示数列，称为一个分布。有确定的N、E、V的系统，分布必须满足条件：,第六章、近独粒子构成的系统,2,.,几点说明：,（1）分布和微观状态是两个不同的概念；,（2）给定一个分布，只确定了在每一个能级上的粒子数,（3）对于玻色系统和费米系统，确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数；,例如：玻色（费米）系统的微观状态，在分布确定后，还必须对每一个能级确定个粒子占据其个量子态的方式；,（4）与一个分布相应的系统的微观状态往往是很多的，所以，微观状态数对于玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统显然是不同的。,3,.,(二)定域系统：麦克斯韦玻耳兹曼分布,对于玻耳兹曼系统，粒子可以分辨，可以对例子加以编号，一个量子态可以容纳的粒子数不受限制。,当个编了号的粒子占据能级上的个量子态时；,第一个粒子，在中任一态，有种可能的占据方式；,第二个、第三个粒子仍然有种可能的占据方式；,那么个粒子占据态共有种可能的占据方式。,所以：个编了号的粒子分别占据能级上的各量子态共有种方式。,将N个粒子加以交换，分别代表不同的状态，交换数就是，在交换数中应除去同一级上个粒子的交换数，所以玻耳兹曼系统与分布相应的系统的微观状态数是：,4,.,（三).非定域系统：玻色爱因斯坦分布,（1）对于玻色系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。,例：计算个粒子占据能级上的个量子态有多少可能的方式,5,.,上图的排列表示在量子态1上有2个粒子，在量子态2上有1个粒子，在量子态3上没有粒子，在量子态4上有3个粒子，在量子态5上有4个粒子。由于最左方固定为量子态1，其余的量子态和粒子总数是个，将它们加以排列共有种方式。因为粒子是不可分辨的，应除去粒子之间的相互交换数和量子态之间的相互交换数,所以，个粒子占据能级上的个量子态，有种可能性。,所以玻色系统与分布相应的系统的微观状态数是：,6,.,(四).非定域系统：费米狄拉克分布,对于费米系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子，从个量子态中挑出个来占据（注：），有种可能的方式。,费米系统与分布相应的系统的微观状态数是：,(五).经典极限条件下，玻色系统的微观状态数,经典极限条件：（对所有的）时：,7,.,(六).经典极限条件下，费米系统的微观状态数,(七).结论：,在满足经典极限条件下，由于每个量子态上的平均粒子数远小于1，粒子之间的关联可以忽略，这时和都趋于，这种情形下粒子全同性原理的影响只表现在因子上。,8,.,上次内容复习,系统由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数N、能量E和体积V。,能级：,简并度：,粒子数：,第六章、近独粒子构成的系统,9,.,用符号表示数列，称为一个分布。有确定的N、E、V的系统，分布必须满足条件：,10,.,三种分布：,玻色爱因斯坦分布(非定域系统:粒子不可分辨;全同性原理起作用),费米狄拉克分布(非定域系统:粒子不可分辨;全同性原理起作用),玻耳兹曼分布(定域系统:粒子可分辨;全同性原理不起作用),11,.,经典极限条件下，玻色及费米系统的微观状态数,在经典极限条件下，由于每个量子态上的平均粒子数远小于1，粒子之间的关联可以忽略，这时和都趋于，粒子全同性原理的影响只表现在因子上。,12,.,对于处于平衡状态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的；,微观状态数最多的分布，出现在概率最大，称为最概然分布(或最可几分布)。,(二)、玻耳兹曼、玻色、费米分布的推导,（1）玻耳兹曼分布公式,等几率原理：,最概然分布：,13,.,Stirling公式,（其中m是远大于1的整数）,证明：,14,.,上式右方等于右图中一系列矩形面积之和。各矩形宽为1，高分别为，当m远大于1时，矩形面积之和近似等于曲线lnx下的面积。所以：,x,lnx,x,15,.,目的：求有约束条件函数的极值问题,例：,一长度固定（总长为a）线段连成一个长方形，应长宽各是多少，使得此长方形内有最大的面积？,问题抽象为：,在约束条件下，求函数的极值,16,.,Lagrange乘子法:构造一个新函数FF=原函数+C*约束条件,F对x,y的偏微商分别为零，得到：,17,.,玻耳兹曼分布：,玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布是使为极大的分布。由于随的变化是单调的，可以等价地讨论使为极大的分布。,将取对数：,18,.,假设所有的都很大，可以应用的近似，则上式可化为：,19,.,所以这些不完全是独立的，它们必须满足条件：,约束条件：,20,.,用拉格朗日未定乘子和乘这两个式子并从中减去，,Lagrange乘子法,根据拉氏乘子法原理，每个的系数都等于零，所以得：,即：,21,.,上式给出玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布，称为麦克斯韦-玻耳兹曼分布或玻耳兹曼分布，拉氏乘子和由确定，,即：,22,.,说明：,（a）此极值为极大值：,（b）对于宏观系统，与最概然分布相应的的极大值具有尖锐的峰，使其它分布的微观状态数与最概然分布的微观状态相比几近于零。,23,.,现将玻耳兹曼分布的微观状态数,与对玻耳兹曼分布有偏离,的一个分布的微观状态数,对,作泰勒展开，,24,.,假设对玻耳兹曼分布的相对偏离为,则,对于,的宏观系统，,25,.,（c）要求所有都远大于1，这个条件实际上往往并不满足，这是推导过程的一个严重不足。,所以，即使对最概然分布仅有极小偏离的分布，它的微观状态数与最概然分布给出的微观状态数之比也接近于零。,26,.,玻色系统的最概然分布,将取对数：,假设,因而,(2)、玻色分布公式,27,.,且应用式的近似，则：,使In为极大的分布必使,28,.,用拉氏乘子和乘这两个式子并从中减去，得：,根据拉氏乘子法原理，每个的系数都等于零，所以得：,各满足约束条件：,29,.,即：,即：,上式给出玻色系统中粒子的最概然分布，称为玻色-爱因斯坦分布或玻色分布，拉氏乘子和由确定,30,.,费米系统的最概然分布,将取对数：,(3)、费米分布公式,假设，上式可近似为：,31,.,用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布：,即：,上式称为费米-狄拉克分布或费米分布，拉氏乘子和由确定,32,.,（4）玻色系统和费米系统的联合表达式,和分别给出玻色系统和费米系统在最概然分布下处在能级的粒子数。,能级有个简并的量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的，因此处在能量为的量子态s上的平均粒子数为：,33,.,N、E可表示为：,其中对粒子的所有量子态求和。,34,.,玻耳兹曼分布：,玻色分布：,费米分布：,（三）、三种分布的关系,其中参数和由确定,35,.,由玻色分布和费米分布可以看出，如果参数满足条件：,则玻色、费米分布分母中的就可以忽略，这时两种分布都过渡到玻耳兹曼分布,当时，显然（对所有的），所以和是等价的，都称为经典极限条件或非简并性条件。,时：,在,36,.,说明：,（b）在满足经典极限条件时，由玻色（费米）子组成的近独立系统遵从玻耳兹曼分布；,（a）由定域粒子组成的系统（称为定域系统）遵从玻耳兹曼分布；,37,.,（c）定域系统和满足经典极限条件的玻色（费米）系统虽然遵从同样的分布，但它们的微观状态数是不同的。因此，对于那些直接由分布函数导出的热力学量（例如内能、物态方程），两者具有相同的统计表达式；然而，对于例如熵和自由能等与微观状态数有关的热力学量，两者的统计表达式有差异。,38,.,小结：,系统的分布l：每一个能级上的粒子数系统分布对应的微观状态数：由全同性以及统计特性决定,定域系统，可分辨粒子：玻耳兹曼系统：,非定域系统：不可分辨粒子：玻色系统,非定域系统，不可分辨粒子：费米系统,？,？,39,.,（四）、正常超导混杂系统统计关联效应,什么是统计关联？光子的HanburyBrownandTwiss实验（R.HanburyandP.Q.Twiss，Nature,177,27(1956)）,40,.,电子的HanburyBrownandTwiss实验,M.Hennyet.al,Science,284,296(1999)WilliamD.Oliveret.al,Science,284,299(1999),41,.,三端子正常超导超导混杂系统,42,.,模型哈密顿量,电流算符,统计关联函数,43,.,格林函数表示,当,库珀对表现出复合玻色子的特性，呈现正统计关联效应！,44,.,(五)、热力学量的统计表达式,定域系统或者满足经典极限条件的玻色、费米系统都服从玻耳兹曼分布。这里根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质（内能、熵、自由能等）。首先推导热力学量的统计表达式。,45,.,根据玻耳兹曼分布，系统的内能和粒子数公式如下：,(1)、粒子数和内能,Z:配分函数,46,.,Z:配分函数,47,.,在热力学中讲过，系统可以通过功和热量的方式同外界交换能量。在无穷小的过程中，系统在过程前后内能的变化等于外界对系统做的功和系统从外界吸收的热量的和：,对于准静态过程，外界作的功可以表示为dW=Ydy的形式。其中，Y是广义力，dy是外参量的变化。例如：当系统在准静态过程中体积有dV的变化时，外界对系统做的功为-PdV。,（2）、功和热量,48,.,粒子的能量是外参量的函数（例如：自由粒子的能量是体积V的函数）。由于外参量的变化，外界施于处于能级l上的一个粒子的广义力等于l/y。因此，外界对系统的广义力Y为：,49,.,这样，如果知道了系统的配分函数Z，就可以计算系统的内能和外界对系统的广义力。,系统的压强（广义力的负值）可以表述为：,这实际上给出了系统的物态方程：PP（T,V）,50,.,51,.,粒子分布不变，外参量变化引起粒子能级的改变表现为外界对系统在准静态过程中所作的功。粒子能级不变，粒子数在各能级分布的改变表现为系统从外界在准静态过程中所吸收的热量。,由上面公式有结论：,凡是粒子在各能级分布不发生改变的过程是绝热过程。换言之,在绝热过程中，外参量的改变仅导致粒子能级的变化，但不改变粒子在各能级分布。,绝热过程的微观解释：,52,.,（3）、二能级系统,N个近独立定域子系组成的系统，处于平衡态，假设子系有2个能级：,物理实例：自旋S=1/2的原子，在磁场H中,53,.,配分函数,能级,参数,54,.,任意有限的温度T,子系按能级的平均分布,55,.,T0时,T有限时,T时,三种不同温度下，平均分布示意图,56,.,讨论、（a）,肖特基热容行为，不限于2能级体系,57,.,(b)、,58,.,由于lnZ是（，y）的函数，所以有：,代入该式中,根据上述关系，我们可以推导出热量的微分表达式：,（4）、熵,59,.,的微分表达式,60,.,根据热力学第二定律，微热量存在一个积分因子1/T：,dS是系统熵的全微分,可以证明只可能是T的函数，而不是S的函数。,61,.,S是积分常数，若选择，就与普朗克的绝对熵一致。,62,.,(5)、自由能,63,.,(五)、玻耳兹曼关系和熵的统计解释,对于定域系统，粒子可以分辨，服从玻耳兹曼分布（最可几分布），其微观状态数目为,64,.,65,.,这样熵就与系统的微观状态数目联系在一起:系统的微观状态数目越多,系统的熵就越大!,由此可以给熵一个统计解释:熵是系统混乱程度(无序度)的量度。如果某个宏观系统的微观状态数目越多，代表系统越混乱，系统的熵也愈大。,玻耳兹曼关系式,66,.,此时的熵和自由能：,对于满足经典极限条件的玻色和费米系统：,67,.,二能级系统的熵,根据玻耳兹曼关系：,T0时，是完全有序状态，这时无序度最小,68,.,所以，T时系统的混乱度最大,69,.,(六)、的物理含义,对于满足经典极限条件的玻色（费米）系统：,70,.,最后：,71,.,需要知道能级及其简并度,关键在于求得配分函数Z,系统的l,l,如何求得能级及其简并度,求解方法：,理想气体的物态方程：,(七)、理想气体,72,.,理想气体的配分函数,的可能值如下：,把单原子理想气体看作是在容器中自由运动的粒子，有：,73,.,宏观大小的体积V(V=L*L*L)中粒子的能级间隔,74,.,当/kT1时，可以应用量子态和相体积的对应关系,对于容器中自由运动的质点，自由度r=3,75,.,上式可以分为六个积分的乘积：,76,.,利用球极坐标，分子的自旋为零，则分子的动量在ppdp内的可能的微观状态数为：,77,.,理想气体的物态方程,78,.,对于单原子理想气体，其他的物理量的导出：,79,.,80,.,一般气体满足经典极限条件：e1。,气体数密度越低,温度越高,质量越大，越容易满足非简并条件,非简并条件条件：e1的另一种物理解释,81,.,在非简并条件下，平均热波长远远小于气体中分子间的平均距离，即粒子作为波包彼此之间的重叠完全可以忽略。,引进热波长：,当粒子数密度为n时，粒子之间的平均距离,82,.,(八)、麦克斯韦速度分布,根据玻耳兹曼