随机变量的相关系数和相关性.ppt

1,第四节,随机变量的相关系数和相关性,2,对随机向量来说，除了研究每个分量的数学期望和方差以外，还希望知道分量之间的相关程度，因此引进协方差和相关系数这两个概念。,定义,计算公式：,一、协方差的概念及其性质,其中,3,协方差的性质：,1.对称性：,2.线性性：,3.若X和Y相互独立，则,因为X和Y相互独立,注意：反之未必成立。,4,4.,类似地有,推广：,因此，若X1,X2,Xn两两独立,，则有,5,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：,Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y),为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念.,可以验证，,标准化随机变量消除了量纲的影响。,二、相关系数的概念及其性质,6,定义,设D(X)0,D(Y)0,计算公式：,7,设(X,Y)的联合分布律为,例1,解,先求出边缘分布，,8,9,设(X,Y)的联合密度函数为,例2,解,先求出边缘密度，,10,类似地，,11,12,注：实际上,本题不必求边缘密度,可以直接用以下公式计算E(X)、E(Y)等.,实际上,第一种方法限定了求积分的次序,有时不方便.,13,性质1,证,性质2,证,相关系数的性质：,14,性质2,证,15,例3,解,16,例3,解,17,18,相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图).,|的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;,|的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.,三、随机变量的线性相关性,19,定义,下列事实彼此等价：,若X与Y相互独立，则X与Y不相关。,定理,注意：,(2)在正态分布的场合,独立性与不相关性是一致的。,(1)逆命题不成立,即X与Y不相关时,不一定独立.,20,二维正态分布,前面已证:X,Y相互独立,可以计算得,于是，对二维正态随机变量(X,Y)来说,X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的.,21,例4,设(X,Y)的分布律为,所以,这表示X,Y不存在线性关系.,但,知X,Y不独立.,事实上,X,Y具有非线性关系:,22,证,即A与B相互独立,例5,23,即A与B相互独立,故X和Y相互独立,24,即(X,Y)服从单位圆,上的均匀分布.,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.,解,边缘密度为,例6,25,边缘密度为,同理,即X和Y不独立.,(奇函数),同理,26,(或利用对称性),所以,即X和Y不相关.,27,练习：,P131习题四,28,补充题：,1.,2.,设(X,Y)的联合密度函数为,3.,设A,B是二随机事件,试证明X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立.,并定义随机变量X,Y如下：,29,证,补1,30,设A,B是二随机事件,试证明X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立.,记,则,XY的可能取值为-1,1,并且,并定义随机变量X,Y如下：,证,补2,31,所以,因此,即X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立.,