科学计算与数学建模第5章 小行星轨道方程计算问题-线性方程组求解的直接法-5.2 Gauss消去法-2017-01.pptx

,5.2Gauss消去法,5.2Gauss消去法,Gauss消去法是一个古老的求解线性方程组的经典方法。由它改进的选主元法是目前计算机上常用的有效的求解低阶稠密矩阵线性方程组的方法。例用Gauss消去法解方程组,(3),x13x2,9x3,5/2,(4)(5),2x1,2x22x31x2x312x28x32,第2步，42加到(5)得等价的方程组：,(6),2x1,2x22x31x2x3110 x30,解第1步，,13,2加到(2)，,11,2加到(3)得等价方程组：,第3步，回代法求解即可求得该方程组的解为：,2,1,x30,x1,x12,3,(1),r1(2)r2r2,(2),r22r3r3,用矩阵法描述的约化过程即为：,2A,b3,2211/2,2221,133,r(12)rr,00100,2221,01,11,这种求解过程称为具有回代的高斯消去法。Gauss消去法的基本思想是：用矩阵A的初等行变换将系数矩阵化为具有简单形式的矩阵（如上三角阵，单位矩阵等），从而三角形方程组是很容易回代求解的。,(7),a11x1a12x2,a21x1a22x2,an1x1an2x2,a1nxnb1a2nxnb2,annxnbn,一般地，设有n个未知数的线性方程组为,则(7)可记为,T,T,12n,12n,nn,设Aaij,Xx,x,x,bb,b,b,AX。b,(1),(1),ij,nn,AAa,(1),(1)(1),1,2,T,(1)n,bbb,b,b,detA0,于是消去法为：,即实行行的初等变换:,1,第1步：a11,11,i1,(1)i1,a,a(1),0,计算m,i1乘(7)的第一,(i2,3,4n),用m,方程加到第i个方程中去（i2,3,n),rimi1r1(i2,3,n)消去第2个到第n个方程中的未知数x1得与(7)等价方程组：,11,12,(2),in,n2,nn,a(2),a(2),a(1)a(1),a(2),(8),1,2,n,b(2),b(2),1,x,x,a(1)xb(1),222na,2,n,式(8)中元素,记为A(2)Xb(2，),(2),ij为进一步需要计算的元素，其计算,a,(1)(1),(1)(1),(2)公式为：ij,ij,i11j,(2)i,i,i11,aama,(i,j2,3n),b,bmb,i2,3,n,第k（k1,2,n1）步，继续上述过程消元。设第1步到第k1步计算已完成，得到与原方程组等价的方程组：,1,11,12,1,22,1n,2n,(k),nk,a(k),a(k),a(1),a(2),x,a(k),b(k),x,b,a(1),b(1),a(1)x,b(2),a(2)x,2,k,kn,k,n,n,2,kk,(k)nn,a,9,记为A(K)Xb(k，),下面进行第k步消元法：,用(mik)乘(9)中第k个方程加到第i个方程ik1，n消去(9)中第i个方程ik1，n的未知数xk，得到与原方程组等价的方程组：,1112,1,1,22,1n,kk,k,x,a(2),a(2),a(k),a(k),a(k),x,b(k),b,k,k1,a(k1),a(k1),n,k1,(k1),a(1)a(1)a(1),b(1),2nx,kn,a(k1),k1,k1,nx,a(k1)x,n,nn,2,2,k1,k1,k1,b(2),k,b(k1),n,10,(k)kk,a,设，计算乘数,(k),ik,ik,kk,a,a(k)(,0m,kk1,n)。,记为A(k1)Xb(k1，),其中A(k1),b(k1）中元素计算公式为,ijijikkj,iiikk,b(k),mb(k),b(k1),a(k1)a(k)ma(k),(i,jk1,n)(ik1,n),A(k1)与A（k）前k行元素相同，b(k1)与b(k)前k元素相同,(11),最后，重复上述过程，即，且设,k1,2,3n1,(k),kk,a,0(k1,2,n1),共完成n1步消元计算，得到与(7)等价的三角形方程组。,1,1112,1,2,1n,(n),n,a(2),x,a,b,a(1)a(1),b(1),a(1)x,b(2),a(2)x,2,n,222n(n)nn,12,再用回代法求解上三角方程组(12)的解，计算公式为,n,nn,i,ijj,i,ii,a(n),a(i)x),a(i),xb(n),(b(i),x,nji1,(in1,n2,1),(13),(k),kk,a,元素,称为约化的主元素。将方程组(7)化为(12)的过程,称为消元过程。由消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为Gauss消去法。上三角方程组(12)的求解过程(13)称为回代过程。,则可通过Gauss消去法（不进行两行交换位置的初等变换）将方程组(7)化为等价的上三角形方程组（12）。,定理（Gauss消去法）设方程组AXb,ARnn。若约化的主元素,(k)kk,a,0,k1,2n,a11x1a12x2a1nxnb1,a21x1a22x2a2nxnb2,an1x1an2x2annxnbn,1,1112,1,22,2,1n,(n),(n),x,a(2),a(2),b(2),x,a,b,a(1)a(1),a(1)xb(1),2n,2,n,nn,n,ik,kk,ij,ij,ikkj,i,a(k),a(k),a(k),b,a(k1),(k1),mik,a(k)m,b(k)mb(k)iikk,(ik1,n),(i,jk1,n),(ik1,n),k1,2n1,消元计算,消元和回代求解的计算公式为：,n,nn,i,ii,a(n),a(i)x),a(i),x,b(n),(b(i),x,i,nijjji1,(in1,n2,1),回代计算,？