科学计算与数学建模第2章 城市供水量的预测模型-插值与拟合算法-2.6-求函数近似表达式的拟合法(2).pptx

2.6函数逼近的拟合算法(2)，2.6.2加权最小二乘法，其中寻找一个函数，在实际问题中测量的所有实验数据并不总是具有相同的精度和相同的地位。对于那些具有更高准确性或更重要地位的数据，应给予更大的权重。在这种情况下，使用加权最小二乘法来寻找给定数据的拟合曲线。用加权最小二乘法拟合曲线的要求和原则：对于给定的一组实验数据(Xi，yi) (i1，2，m)，在某一函数类0 (x)，1 (x)，n (x) (nm)，* * * * * *，oo，nn，(x)a(x)a(x)a(x)a(x)，从而，(x)，i1i1，W * (x) y 2 min，w (x) y 2，miii，11miii，其中(x) aoo (x) a11 (x) ann (x)WI (I1，2，m)是一个正数，称为权重，它的大小反映了数据位置的强度。求加权最小二乘拟合* (x)的问题可以简化为求多元函数的最小点。* * *，o1n，(a，a，a)，同样，用于求解加权最小二乘问题的正规方程可以以与(2.6.7)完全相同的形式获得，除了内积是加权内积，即m (k，j) wik (xi) j (xi) (k，j0，1，n) i1，m (k，f) wik (xi) yi (k0，1，n) i1，是拟合函数，相应的正规方程是：n，如果多项式n(x)ao1 ii，ii，m，m，ii，ii，ii，m，m，ii，ii，ii，w，w，xn，wy，wx，w，x2，w，wxy，w，xn，w，x2n，wxny，a，i1，i1，xn1,i1,i1,i1,xn1,a,a,iii,n,i1,i1,mmi,mi1m,m,，i1 m1，1，mi1，mi1，Wixi，iii，(2.6.17)，实施例2.6.3一组实验数据(xi，yi)和加权wi如表2.6.7所示。 如果x和y之间存在线性关系，尝试用最小二乘法来确定系数a和b。因此，相应的法向方程如下(2.6.17)。代入表中所有已知数据，得到正规方程54a216b701和216a984b3580。解决方案是a12.885和b6.467，相应的拟合函数是1 (x) 12.8856.467x。表2.6.7，解决方案因为拟合曲线是1次多项式曲线(直线)1 (x) abx，满足条件：虽然最小二乘法意义上的曲线拟合问题原则上已经解决，但在实际计算中，当n较大时，如n7，法向方程通常是病态的，从而给求解带来困难。近年来，出现了许多新方法来解决这个难题。本文简要介绍了用正交函数作为最小二乘拟合的基本原理和用正交多项式拟合的一种有效方法。对于xi和权重Wi (i1，2，m)，如果一组函数o (x)，1 (x)，n (x) (nm)，2.6.3使用正交函数进行最小二乘拟合，m，kij，(xi)，i1，a0kj，k，(，j) wik (x)，0kj (k，j0，1，n)，(2.6.18)，则o (x)，1 (x)，n (x)是在点集xi上具有权重Wi的正交函数族。特别地，当k (x) (k0，1，n)是多项式时，它们被称为o (x)，1 (x)，并且n (x)是在点集xi上具有权重 Wi 的一组正交多项式。如果所考虑的函数类o (x)，1 (x)，n (x)中的基函数是关于给定的一组点xi和权重wi (i1，2，m)的正交函数族，则正交条件(2.6.18)表示在正规方程组(2.6.7)的系数矩阵中，非对角线上的元素(k，j) 0 (kj)。在这种情况下，正规方程简化为：(1，1)，ao，(o，f)，a1 (1，f)，(o，o)，(n，n) an (n，f)，(2.6.19)，k，k，k，k，所以求解a，(，f)，(，)，a * k，(k0，1，n)非常容易，可以得到最小二乘解：* *，*，11，oo，nn，(x)a(x)a(x)a(x)a(x)a(x)a(x)a(x)a(x)a(a)a(x)a(a) 因此，我们可以很容易地解决方程(2.6.19)，并有：m，k，a *，(k，f)，(k，k)，w (x) 2，wik(Xi)yi1m，iki，(k0，1，n)，(2.6.21)，正交函数族的权重，然后待定参数，I，w，i1可以直接从(2.6.21)计算，从而避免了解决病态方程的问题。 如果函数类的基函数o (x)，1 (x)，n (x)是关于给定的一组点xi和*，k，a，那么写出最小二乘解(2.6.20)。因此，问题归结为寻找一组由给定函数类的正交函数族组成的基函数的问题。构造正交函数组有许多方法。让我们以多项式为例来介绍一种具体的方法。多项式，和，是次多项式，最高阶的系数是1。k，(x) (k1，2，n)，kx，iiki，iki，wx (x) 2，w (x) 2，i1m，k1，i1，(2.6.23)，iki，k，m，w (x) 2，w (x) 2，i1由族o (x)，1 (x)，n (x)构造，是一组关于点集xi和权重Wi的正交k，mi1，ik1i，(k1，2，n1)；Nm)，(2.6.24)，定理2.6.2，对于给定的一组点xi和权重wi (i1，2，m)，使用，k1k，kk1，o (x) 11 (x) x1，(x) (x) (x) m，k1，(2.6.22)，递推公式：将解系数的阶数相乘以找到拟合曲线。例2.6.4一组实验数据称为表2.6.8，尝试用最小二乘法找出一条二次拟合曲线。通过构造正交多项式k (x)，同时找到最小二乘*，k，a，可以立即从等式(2.6.22)和(2.6.21)中获得解：o (x) 1，280，66，o，a，46.667，yi，表2.6.8，以及从等式(2.6.23)，(2.6.22)和(2.6.21)，1 (x) x 2.45，*，1，2，392 ya(x)a(x)a(x)2.247 x 110.9 x 0.5888，从等式(2.6.23)、(2.6.22)、(2.6.24)和(2.6.21)可以得出如下结果：1，17.615