22基于线性规划的一维DFT调制滤波器组设计

第 3 2卷第 3 期 2 0 1 2年 6月 桂 林 电 子 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l o f Gu i l i n Un i v e r s i t y o f El e c t r o ni c T e c h n o l o g y Vo1 3 2。 No 3 J u n 2 0 1 2 基 于线性规 划的一维 DF T调制滤 波器 组设计 周 芳 ( 桂林 电子科技 大学 生命与环境科 学学院， 广 西 桂林5 4 1 0 0 4 ) 摘要 ： 为 了设计 一维 D F T调制滤波器组 ， 采用 种线性规划算法将滤 波器组的性能 指标数学化 为关 于原型滤波 器 的乘积滤 波器的 函数 ， 滤波器组 的设 计问题归结为一个 以乘积滤 波器为优化变量 的线性规划 问题 。借 助线性规 划 的求解方法 ， 设计 最优的乘积滤 波器 ， 通过 因式分 解求解 原型 滤波 器。新算法 避免 了迭代算 法对初 值敏感 的 问 题 。仿真实验表 明 ， 相 比于传统算法 ， 新算 法设计的滤波器组具备更 好的整体性能 ， 其 中， 重构误差降低 约 5 d B， 阻 带衰减改善约 6 d B 。 关 键 词 ： DF T； 调 制 滤 波 器组 ； 线 性 规 划 ； 乘 积 滤 波 器 中 图 分 类 号 ：TN9 1 1 文 献 标 识 码 ：A 文 章 编 号 ：1 6 7 3 8 0 8 X( 2 0 1 2 ) 0 3 0 1 9 3 0 3 De s i g n o f 1 D DFT mo d u l a t e d f i l t e r b a n ks v i a l i n e a r pr o g r a m Zho u Fa ng ( S c h o o l o f L i f e a n d En v i r o n me n t a l S c i e n c e s ，Gu i l in Un iv e r s i t y o f El e c t r o n i c Te c h n o l o g y ，Gu i l i n 5 4 1 0 0 4 ，Ch in a ) Ab s t r a c t ： An l i n e a r p r o g r a m a l g o r i t h m i s a d o p t e d t o d e s i g n 1 D DF T mo d u l a t e d f i l t e r b a n k s F i r s t ，t h e p e r f o r ma n c e IT l eaS u r e s o f t h e f i l t e r b a n k a r e c o n v e r t e d i n t o f u n c t i o n s o f t h e p r o d u c t f i l t e r o f t h e a n a l y s i s f i l t e r s Th e n，t h e d e s i g n p r o b l e m i s t r a ns f o r me d i n t o a l i n e a r p r o g r a m p r o b l e m wi m r e s p e c t t o t h e p r o d u c t f i l t e r Th e o p t i ma l p r o d u c t f i l t e r c a n b e e f f i c ie n t l y s o l v e d f r o m t h e l i n e a r p ro g r a m p r o b l e m F i n a l l y ，t h e a n a l y s i s f i l t e r c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e p r o d u c t f i l t e r u s i n g s p e c t r a l d eco mp o s i t io n Th e a l g o r i t h m a v o i d s t h e s e n s i t i v i t y t o t h e i n i t i al po i n t Th e s i mu l a t i o n s s h o w t h a t c o mp a r e d wi t h t h e t r a d i t i o n a l me t h od ，t h e n e w a l g o r i t h m c a n l ead t o f i l t e r b a n k wi t h i mp rov e d p e r f o r manc e Th e i mp r o v e me n t o f t h e r e c o n s t r u c t i o n e r r or i s a bo u t 5 d B a n d t ha t o f s t op b a n d a t t e nu a t i o n i s a b ou t 6 d B Ke y wo r d s ： DF T ；mo d u l a t e d f i l t e r b a n k；l i n e a r p r o g r a m ；p r o d u c t f i l t e r 数字 滤波 器组 广 泛应 用 于宽 带通信 、 图像处 理等 领 域 1 ， 其基 本 功能 是 将信 号 的 不 同频 率 分 量进 行 分 离 ， 再 经 过相 应 的 子 带 处 理 ， 最 后 将 子 带信 号 重构 成 一个 信号 。调 制 滤 波器 组 由于设 计 简单 、 实现 代价 小 而备 受 关注 。只 需设 计 一个 或 2个原 型 滤波器 ， 其 余 滤波器 由原 型滤 波 器 调 制 得 到 。调 制 滤波 器 组 包 括余 弦 调制 滤波 器 组 和 D F T调 制滤 波器 组E 。 在 文献 I- 6 - 中 ， 将 单 原 型 的 D F T调 制滤 波器组 的 设计 归结 为 一个 带 约 束 的半 无 穷 规 划 ( s e mi i n f i n i t e 收 稿 日期 ： 基金项 目： 通信 作者： 引 文 格 式 ： p r o g r a m， 简称 S I P ) 问题 ， 目标 函数 是 原 型 滤 波 器 的 阻 带能 量用 于 控制 阻带衰 减 ， 约束 是滤 波器 组 的传递 失 真和 混叠 失 真 。借 助 线 性 矩 阵 不 等 式 ( 1 i n e a r ma t r i x i n e q u a l i t y ， 简称 L MI ) ， 将 问 题 转 化 为 半 定 规划 ( s e mi - d e f i n i t e p r o g r a m， 简称 S DP ) 问题 ， 然 后采 用半 定规 划 算法 的通 用求 解工具 包 求解 。算 法性 能较 好 ， 但 L MI 的使用大大增加优化 问题 的规模 。文献E 8 3 将 双迭 代 二 阶 锥 规划 ( b i i t e r a t i v e s e c o n d o r d e r c o n e p r o g r a m， 简称 B I S OC P ) 算 法应 用 于 双 原 型 D F T调 2 01 2 一 O 3 2 1 广西无线 宽带通 信与信号处理重点实验室主任基金( P F1 1 0 5 4 X) ； 桂林 电子科技大学博士科研基金( UFl 1 O 1 4 Y) 周芳 ( 1 9 8 4 一) ， 女 ， 江西抚州人 ， 硕 士， 研究方 向为滤波器组设计 。E - ma i l ： z h o u f a n g 1 0 2 6 g u e t e d u c n 周芳 基 于线性 规划的 一维 DF T调制滤波器组设计 J 桂林 电子科技大学 学报 ， 2 0 1 2 ， 3 2 ( 3 ) ： 1 9 3 1 9 5 ， 2 4 8 1 9 4 桂林 电子科技大学学报 制 滤波器 组 的设 计 。所 得 的 滤 波 器组 具 备 良好 的整 体性能 ， 但 B I S OC P算法的复杂度较高 ， 并且迭代算 法对 初 值 比较 敏感 ， 不利 于设计 。 考虑到 DF T调制 滤波器组存在的问题， 采用基 于线性 规划 的设 计 算 法 。因 为 线 性规 划 算 法 复 杂度 低 ， 求解较为简便 ， 避免了诸如 QP 、 s oC P和 S D P等 问题求解复杂的缺 陷； 另外 线性规划算法具有全局 最优解， 避免了迭代算法存在局部解 的不足。首先将 滤波器组的性能指标数学化 为关于原型滤波器的乘 积滤波器的函数形式， 根据设计要求 ， 将 滤波器组的 设计 问题 归结 为 关 于 乘 积 滤 波 器 的 线 性 规 划 问 题 。 最后利用线性规划求解算法设计乘积滤波器 ， 利用因 式分 解从 乘 积滤 波器 中求 解 出原 型滤波 器 。 1 一维 DF T调 制滤 波器组的基本结构 一 维 DF T 调 制 滤 波 器 组 的基 本 结 构 如 图 1所 示 ， 其 中 ， M 为通 道数 ， K 为采样 因子 。 H( z )和 G( z ) 分 别是 分 析和综 合 原 型滤 波器 。从 图 1可 以看 出 ， 所 有 的子带 滤 波 器 都 是 由 原 型 滤 波 器 经 D F T 调 制 得 到 ， 其 中 一 e x p ( 一j 2 7 r m M) ， m一0 ， ， M 一 1是 DF T基。当综合原型滤波器是分析原型滤波器的时 ( ) 图 1 M 通道 DF T调制滤波器组的结构 F i g 1 Th e s t r u c t u r e o f M- c h a n n e l DF T f i l t e r b a n k 域 反转 时 ， 滤波 器组 可 称 为 单 原 型 D F T调 制 滤 波 器 组 。不失 一般性 ， 假 定 分析原 型 滤波器 的系数 向量 为 hE h ( -L) ， ， Il ( L ) ， 其频 率响应表示为 ： H( c EJ ) 一 h ( n ) e x p ( -j n ) 。 滤波 器组的频 域输入 输出 关 系 为 x ( ) 一T ( 叫 ) x ( 叫 ) +A( c ， ) x ( 一2 n k K ) 。 ( 1 ) 式 中 ， 丁( c t ， )为传 递 函数 。当综合 原 型滤 波器 是 分 析 原型滤 波器 的 时域 反转 时 ， 其 可 以表示 为嘲 T c = 去 M -1 H c 一 一 ： T ( 壶 H ( 一 ) G 一 ) = K 一 l。 。 K mm 01 l H ( 一 l 。 ( 2 ) 式 中 ， A ( 叫 )为混叠 传递 函数 ， 且 A ( M - -1 一 一 ) G (G1 一 ) ， A ( H ( 叫 一 一 ) ， ( c c ， 一 ) ， k= 1 ， 2 ， K 一 1 。 ( 3 ) 引 入原 型滤 波器 的 自相 关滤 波器 ， 即乘积 滤 波器 引： p ( ) = ( ) ( 忌 一n ) 。 ( 4 ) 原 型 滤波器 J l 由乘 积滤 波器 经 因式 分解 求 解 得到 。乘积滤波器满足p( ， z ) =p ( -n )， 其频率响应 ： P( 叫 ) 一I H( ) l 。 一p ( o ) + 2 p ( n ) c o s ( co ，1 ) 一 c ( tn ) p ( 5 ) c ( ( L ) = 1 ， 2 c o s 叫， ， 2 c o s ( 2 ) ， p= 户 ( O ) ， 夕 ( 1 ) ， ， 夕 ( 2 L ) 。 因此 ， 传递 函数可以表示为乘积滤波器的函数 ： T ( ) ： 去 M - 1 一 ) 。 ( 6 ) T ) = 壶 P ( 一 ) 。 ( 6 ) 当乘 积滤 波器满 足 下列线 性 条件 时 ， 传 递 函数恒 等 于 1 ， 即传 递失 真 为 0 E ： p ( M n ) = ff ld ( ) ， 一 2 L M 2 L 。 ( 7 ) 2 原型滤 波器 的优化设计 D F T调 制滤波 器组 的设 计 需要 考 虑 两 方 面 的性 能要 求 ： 1 ) 为滤波 器组 的重 构特 性 ： 传递 失 真 、 混 叠失 真 和重 构误差 。其 中 ， 混 叠 失真 是关 于 原型 滤波 器 的 高 度非 线性 函数 ， 直 接 优化 使得 设 计 问题 变得 复 杂 ， 可 以由高的阻带衰减来有效抑制， 而重构误差由传递 失 真 和混 叠失真 联 合控 制 。2 ) 原 型 滤 波 器 的频 率特 性 ： 通带平坦性、 过渡带陡峭性和阻带衰减 。文献E 9 表 明高 的阻带 衰减 和小 的传 递 失 真 使 得 滤 波 器 组具 备良好的整体性能 ， 将设计问题归结为 mi n ( 8 ) E S t P( ) ， c t ， , ffK， 7 r ， p( Mn)一 ) ， P( o D 0 ， O ， 7 r 。 优化 问 题 ( 8 ) 无需 手 动调 整 参 数 ， 避 免 了 滤 波 器 组 的 性能对参数的依赖。令 一 e ， p ， 并对 c u的取值 区 间进行 等 间隔离 散 ， 上 述 问题 可以转 化一 个 关 于矢 量 的线 性规 划问题 ： 第 3期 周 芳 ： 基 于线性规划 的一 维 D F T调制滤波器组设计 1 9 5 ra i na 1 c ( o ) 一 1 c ( 1 ) 一 1 c ( ) A ： b ， 0一 c ( 叫 。 ) 0 一 c ( ) 0 一c ( ) ( 9 ) 0 ， 叫 i 7 c K， 7 c ， i =0 ， 1 ， ， s 。 工0 ， O ， 7 c ， =O ， 1 ， ， t 。 犬 ! 式 中， a一 1 ， 0 ， ， 0 ， A k ， 一 一 十 1 。 2 L 0 2 L + 1 ； 【 0 ， 其他 。 b=E KI M， o ， ， O 。 个 零 其 中， 符号 表示取整。 线性 优 化 问题 ( 9 ) 易 于求解 ， 并 且求 解代 价很 小 。 至此 ， 将一 维 DF T 调 制 滤 波 器组 的设 计 问题 转 化 为 一 个线 性 规划 问题 ， 问 题 ( 9 ) 具有 全局 最优 解 ， 避免 了 迭代算法存在局部解 和对初值敏感的缺陷。 3 仿 真实验与 分析 考 虑 一个 一维 DF T 调 制 滤 波 器 组 的设 计 ， 相 关 参 数 为 ： M =8 ， K-3 ， L=1 4 。首 先 ， 采 用半 定规 划 算 法 设计 此 滤波 器 组 ， 其 中 ， 传 递 失 真 的 控制 参 数 为 e 一2 l O 。 。 同 时 ， 采 用 新 算 法 来 设 计 该 滤 波 器 组 。这 2种 算法 设 计 所 得 的原 型 滤 波 器 的 幅度 响 应 见 图 2 。在 表 1中 ， 比较 了 2种 方法 设 计 所 得滤 波器 组的性能指标。新算法的设计性能优于文献1- 6 3 的算 法 ， 设 计 所得 的 DF T 调 制 滤 波 器 组 重 构误 差 降低 了 约 5 d B， 阻带 衰 减 改善 了约 6 d B 。 表 1 新 算 法 和 半 定 规 划 算 法 的性 能对 比 Ta b 1 P e r f o r ma n c e c o mp a r i s o n o f t h e n o v e l me t h o d a n d s e mi de f i ni t e p r o gr a m me t ho d dB 归一化频率 ( a ) 半定规划算法 归一化频 率 ( b ) 新算法 图 2原型滤波器 的幅 度响应 F i g 2 M a g n i t u d e r e s p o n s e s o f p r o t o t y p e f i l t e r s 4 结束语 提 出了一种 基 于线性 规划 的 D F T调 制滤波 器组 的设 计方法 。将 滤 波器 组 的设 计 问题 归 结 为 一个 以 乘 积 滤波器 为优 化变 量 的线性 规 划 问题 ， 拥 有全 局最 优 解 ， 避 免 了迭代 算法 对初 值 敏感 等 问题 。相 比于传 统算法 ， 该算法简单高效 ， 设计 的滤波器组具备更好 的整体 性能 。 参 考文 献 ： 1 V a i d y a n a t h a n P P Mu l t i r a t e S y s t e ms a n d F i l t e r b a n k s M E n g l e wo o d C l i f f s ， N J ： P r e n t i c e - Ha l l ， 1 9 9 3 2 Tr a n T D， d e Qu e i r o z R L ， N g u y e n T Q L i n e a r p h a s e p e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n f i l t e r b a n k： l a t t i c e s t r u c t u r e ， d e s i g n a n d a p p l i c a t i o n i n i ma g e c o d i n g J - I E E E T r a n s a c t i o n s o n S i g n a l Pr o c e s s i n g， 2 0 0 0 ， 4 8 ( 1 ) ： 1 3 3 1 4 7 ( 下 转 第 2 4 8页) 2 4 8 桂林 电子科技 大学 学报 2 0 1 2年 6 月 ( o J ， K) O O D ( o L， ) ， 卢 ( o L， 0 ， K=d i a g( k l ， k 2 ， ， k r )， 使 0 p 1 l ( o J ) p 卢 ( o 1 ， ) p 卢 ( o 1 ， K ) 1 。 综上所述 ， 当设计矩阵 X成病态时 ， 广义岭型主 成 份有 偏两 步 估计 及 岭 型 主 成份 有 偏 两 步 估 计 均 可 作为普通两步估计 、 主成分两步估计的改进， 而且广 义岭型主成份有偏两步估计的效率更高。 4 结束语 将 有偏 估计 中具 有优 良性 质 的广 义岭 型 主成 分 估 计 引入 到两 步估 计 中， 解 决 了两 步估 计在设 计 阵成 病 态 时模 型均有 误 差 较 大 的 问题 。下 一 步 工作 可考 虑 将该 结果 运用 到线 性模 型预 测领 域 中 ， 以得到 广义 岭 型主成 分有偏 两步 预测 。 参 考文献 ： 1 林春 土 关 于 m个 相关 回归方 程 系统 回归 系数 的两 步 估计 刀 应用数学学报 ， 1 9 8 5 ， 8 ( 3 ) ： 2 7 7 2 8 3 2 林春土 m个半相依回归方程组系数的两步估计 刀 科 学 通 报 ， 1 9 8 4， 1 5 ： 9 5 7 3 Z e l l n e r A A n e f f i c i e n t me t h o d o f e s t i ma t i n g s e e mi n g l y u n r e l a t e d r e g r e s s i o n s a n d t e s t s f o r a g g r e g a t i o n b i a s J Am e r St a t i s t As s oc， 19 62， 5 7： 34 8 3 6 8 4 李兵 广义岭型主成分估计的优 良性质 J 汕头大学学 报 ， 2 0 0 7 ， 2 2 ( 2 )： 6 - 1 0 5 刘爱义 ， 王松桂 线 性模型 中最 小二乘 估计 的一 种新 的 相对效率 J 应用概率统计 ， 1 9 8 9 ， 5 ( 2 ) ： 9 7 1 0 4 1- 6 李建军， 朱宁， 朱志斌 广义岭型主成分的一些性质 J 内蒙古师范大学学报 ， 2 0 0 6 ， 3 5 ( 2 ) ： 1 6 7 - 1 7 1 编 辑 ： 黎 仁 惠 ( 上接 第 1 9 5页) 3 4 5 6 7 Ga o Xi q i ，Yo u Xi a o h u， S h e n g B i n， e t a 1 An e f f i c i e n t d i g i t a l i mp l e m e n t a t i o n o f m u l t i c a r r i e r CDM A s y s t e m b a s e d o n g e n e r a l i z e d DF T f i l t e r b a n k s J I E E E J o u r n a l o n S e l e c t e d Ar e a s i n Co mmu n i c a t i o n s ， 2 0 0 6 ， 2 4 ( 6 ) ： 1 1 8 9 - 1 1 9 8 Z h a n g Zij i n g Ef f i c i e n t d e s i g n o f c o s i n e mo d u l a t e d f i l t e r b a n k s b a s e d o n g r a d i e n t i n f o r ma t i o n J I E E E S i g n a l Pr o c e s s i n g Le t t e r s ， 2 0 0 7， 1 4 ( 1 2 )： 9 4 0 9 4 3 Yi u K F C， Gr b i c N ， No r d h o l m S， e t a 1 M u l t i c r i t e r i a d e s i g n o f o v e r s a mp l e d u n i f o r m DF T f i l t e r b a n k s J I E E E S i g n a l P r o c e s s i n g Le t t e r s ， 2 0 0 4 ， 1 1 ( 6 ) ： 5 4 1 5 4 4 W i l b u r M R， Da v i d s o n T N， Re i l l y J P Ef f i c i e n t d e s i g n o f o v e r s a mp l e d N P R G D F T f i l t e r b a n k s J I E E E T r a n s a c t i o n s o n S i g n a l Pr o c e s s i n