2015年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷

2015年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1（2分）4的算术平方根是（）A2B2CD22下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD3（2分）计算（）cos602015的结果是（）AB-CD-4（2分）已知，ABCDEF，ABC与DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（）AB2C3D45（2分）在二次函数y=ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表：x2023y8003则下列说法：图象经过原点；图象开口向下；图象经过点（1，3）；当x0时，y随x的增大而增大；方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根其中正确的是（）ABCD6（2分）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角CDE，使AD=DE=CE，DEC=90，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则AEB的度数是（）A120B135C150D45二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总共20分）7（2分）3的倒数是，3的绝对值是8（2分）红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.m，将0.用科学记数法表示为9（2分）若式子有意义，则x的取值范围是10（2分）某同学6次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为16、18、20、17、16、18，这组数据的中位数是11（2分）计算的结果是12（2分）已知RtABC，C=90，AB=13，AC=12，以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周，所得圆锥的侧面积是13（2分）如图，反比例函数y=的图象经过ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为14（2分）如图，O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是15（2分）在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，4）、（5，2），点M在x轴上，点N在y轴上如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有个16（2分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是三、解答题（本大题共11小题，共88分）17（6分）解方程：18（6分）先化简：，再选取一个恰当的x的值代入求值19（8分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，A=D，AF=DC（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若ABC=90，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形20（8分）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4 的卡片，这些卡片除数字外都相同甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加如图是他所画的树状图的一部分（1）由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后（填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；（2）帮甲同学完成树状图；（3）求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率21（8分）“低碳环保，你我同行”，两年来，南京市区的公共自行车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多九使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A每天都用；B经常使用；C偶尔使用；D从未使用将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有46万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？22（8分）学校举行数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件各种奖品的单价如下表：奖品一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元）12108（1）学校购买二等奖奖品件，三等奖奖品件；（用含x的代数式表示）（2）若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍，学校为节省开支，应如何购买这三种奖品？总费用最少是多少元？23（8分）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37，测得铁塔顶部的仰角为26.6，求铁塔的高度（参考数据：sin26.60.45，tan26.60.50；sin370.60，tan370.75）24（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的0经过点D，E是O上一点，且AED=45，（1）求证：CD是O的切线（2）若O的半径为3，AE=5，求ADE的正弦值25（10分）甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：（1）求线段CD对应的函数表达式；（2）求E点的坐标，并解释E点的实际意义；（3）若已知轿车比货车晚出发20分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x=小时，货车和轿车相距30千米26（8分）在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”，距离的本质是“最短”，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离，如“垂线段最短”的性质，把点到直线的距离转化为点到点（垂足）的距离一般的，一个图形上的任意点A与另一个图形上的任意点B之间的距离的最小值叫做两个图形的距离（1）如图1，过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，则线段AB和直线l的距离为垂线段的长度（2）如图2，RtABC中，ACB=90，B=30，CDAB，AD=2，那么线段AD与线段BC的距离为（3）如图3，若长为1cm的线段CD与已知线段AB的距离为1.5cm，请用适当的方法表示满足条件的所有线段CD注：若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示其所在区域（保留画图痕迹）27（10分）【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD=CD，ABC=120，ADC=60，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题（1）如图2，连接 BD，由于AD=CD，所以可将DCB绕点D顺时针方向旋转60，得到DAB，则BDB的形状是（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积类比应用如图3，四边形ABCD中，AD=CD，ABC=75，ADC=60，AB=2，BC=，求四边形ABCD的面积2015年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1（2分）（2015南京一模）4的算术平方根是（）A2B2CD2【解答】解：22=4，4的算术平方根是2，故选：A2（2016哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确故选：D3（2分）（2015南京一模）计算（）cos602015的结果是（）AB-CD-【解答】解：原式=1=，故选B4（2分）（2015南京一模）已知，ABCDEF，ABC与DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（）AB2C3D4【解答】解：ABCDEF，ABC与DEF的面积之比为1：2，（BC：EF）2=1：2，解得BC：EF=1：，BC=1，EF=故选A5（2分）（2015南京一模）在二次函数y=ax2+bx+c，x与y的部分对应值如下表：x2023y8003则下列说法：图象经过原点；图象开口向下；图象经过点（1，3）；当x0时，y随x的增大而增大；方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根其中正确的是（）ABCD【解答】解：由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，解得：y=x22x，c=0，图象经过原点，故正确；a=10，抛物线开口向上，故错误；把x=1代入得，y=3，图象经过点（1，3），故正确；抛物线的对称轴是x=1，x1时，y随x的增大而增大，x1时，y随x的增大而减小，故错误；抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点（0，0）、（2，0）ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故正确；故选：B6（2分）（2016惠山区一模）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角CDE，使AD=DE=CE，DEC=90，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则AEB的度数是（）A120B135C150D45【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，BAD=BCD，BAD+ADC=180，AD=DE=CE，AD=DE=CE=BC，DAE=AED，CBE=CEB，DEC=90，EDC=ECD=45，设DAE=AED=x，CBE=CEB=y，ADE=1802x，BCE=1802y，ADC=1802x+45=2252x，BCD=2252y，BAD=180（2252x）=2x45，2x45=2252y，x+y=135，AEB=36013590=135；故选：B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总共20分）7（2分）（2015高淳县二模）3的倒数是，3的绝对值是3【解答】解：3的倒数是，3的绝对值是 3，故答案为：，38（2分）（2016睢宁县一模）红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.m，将0.用科学记数法表示为7.7106【解答】解：0.用科学记数法表示为7.7106故答案为：7.71069（2分）（2016黄冈模拟）若式子有意义，则x的取值范围是x2【解答】解：根据题意得：x+20，解得：x2故答案是：x210（2分）（2015南京一模）某同学6次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为16、18、20、17、16、18，这组数据的中位数是17.5【解答】解：题目中数据共有6个，故中位数是按从小到大排列后第3，第4两个数的平均数作为中位数，16，16，17，18，18，20，故这组数据的中位数是（17+18）=17.5故答案为：17.511（2分）（2015南京一模）计算的结果是【解答】解：原式=2=故答案为12（2分）（2016仪征市二模）已知RtABC，C=90，AB=13，AC=12，以AC所在直线为轴，将此三角形旋转1周，所得圆锥的侧面积是65【解答】解：C=90，AB=13，AC=12，BC=5，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面周长=10，侧面积=1013=65，故答案为：6513（2分）（2015南京一模）如图，反比例函数y=的图象经过ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为【解答】解：设点A坐标（x，），反比例函数y=的图象经过RtOAB的顶点A，D为斜边OA的中点，D（x，），过点D的反比例函数的解析式为y=k的值为故答案为：14（2分）（2016邳州市一模）如图，O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是3【解答】解：当OPAB时，OP的值最小，则AP=BP=AB=4，如图所示，连接OA，在RtOAP中，AP=4，OA=5，则根据勾股定理知OP=3，即OP的最小值为315（2分）（2015南京一模）在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，4）、（5，2），点M在x轴上，点N在y轴上如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有3个【解答】解：如图所示：当AB平行且等于NM时，四边形ABMN是平行四边形，当AB平行且等于NM时，四边形ABNM是平行四边形当AB为对角线时，四边形ABNM是平行四边形故符合题意的有3个点故答案为：316（2分）（2015南京一模）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是62x4【解答】解：如图：当F、D重合时，BP的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=6；在RtPFC中，PF=6，FC=4，则PC=2；BP=xmin=62；当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质即可得到AB=BP=4，即BP的最大值为4；故答案为：62x4三、解答题（本大题共11小题，共88分）17（6分）（2014渝北区自主招生）解方程：【解答】解：两边同时乘以x（x1），得x22（x1）=x（x1），去括号，得x22x+2=x2x，移项，得x2x22x+x=2，合并，得x=2，系数化为1，得x=2检验：把x=2代入x（x1）中，得x（x1）=2（21）=20x=2是原方程的解18（6分）（2015南京一模）先化简：，再选取一个恰当的x的值代入求值【解答】解：原式=，当x=2时，原式=19（8分）（2012临沂）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，A=D，AF=DC（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若ABC=90，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形【解答】（1）证明：AF=DC，AF+FC=DC+FC，即AC=DF在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS），BC=EF，ACB=DFE，BCEF，四边形BCEF是平行四边形（2）解：连接BE，交CF于点G，四边形BCEF是平行四边形，当BECF时，四边形BCEF是菱形，ABC=90，AB=4，BC=3，AC=5，BGC=ABC=90，ACB=BCG，ABCBGC，=，即=，CG=，FG=CG，FC=2CG=，AF=ACFC=5=，当AF=时，四边形BCEF是菱形20（8分）（2015南京一模）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4 的卡片，这些卡片除数字外都相同甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加如图是他所画的树状图的一部分（1）由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后不放回（填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；（2）帮甲同学完成树状图；（3）求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率【解答】解：（1）观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现，甲同学的实验是一个不放回实验，故答案为：不放回；（2）补全树状图为：（3）由树状图得：共有12种情况，两次抽到的数字之和为偶数的有4种，故P（两次抽到的数字之和为偶数）=21（8分）（2015南京一模）“低碳环保，你我同行”，两年来，南京市区的公共自行车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多九使用一次公共自行车？”，将本次调查结果归为四种情况：A每天都用；B经常使用；C偶尔使用；D从未使用将这次调查情况整理并绘制如下两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有200位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有46万市民，请估算每天都用公共自行车的市民约有多少人？【解答】解：（1）本次活动共参与的市民3015%=200人，故答案为：200；（2）B的人数有20028%=56人，C的人数有20052%=104人，A的人数有2005610430=10人，补全条形统计图如图：；（3）46（128%52%15%）=2.3（万人），答：每天都用公共自行车的市民约有2.3万人22（8分）（2015南京一模）学校举行数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买45件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的2倍还少5件，已知购买一等奖奖品x件各种奖品的单价如下表：奖品一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价（元）12108（1）学校购买二等奖奖品2x5件，三等奖奖品503x件；（用含x的代数式表示）（2）若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的2倍，学校为节省开支，应如何购买这三种奖品？总费用最少是多少元？【解答】解：（1）学校购买二等奖奖品2x5件，三等奖奖品45x（2x5）=503x件；（2）由题意得解得：x，因为x为整数，所以一等奖的数量为x=8，9，10，11，12，13，14，15，16；则二等奖的数量对应为2x5=11，13，15，17，19，21，23，25，27；三等奖的数量对应为503x=26，23，20，17，14，11，8，5，2；当一二等奖的数量最少，三等奖的数量最多时，总费用最少为128+1011+826=414元23（8分）（2015南京一模）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37，测得铁塔顶部的仰角为26.6，求铁塔的高度（参考数据：sin26.60.45，tan26.60.50；sin370.60，tan370.75）【解答】解：作AECD，垂足为E在RtAEC中，CE=AEtan26.6400.50=20m；在RtAED中，DE=AEtan37400.75=30m；CD=20+30=50m答：贴塔的高度为50米24（8分）（2015南京一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的0经过点D，E是O上一点，且AED=45，（1）求证：CD是O的切线（2）若O的半径为3，AE=5，求ADE的正弦值【解答】（1）证明：连结OD，如图，AOD=2AED=245=90，ODAB，四边形ABCD是平行四边形，CDAB，ODCD，CD是O的切线；（2）解：连结BE，AB为直径，AEB=90，根据圆周角定理：ADE=ABE，sinADE=sinABE=即DAE的正弦值是25（10分）（2016睢宁县一模）甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：（1）求线段CD对应的函数表达式；（2）求E点的坐标，并解释E点的实际意义；（3）若已知轿车比货车晚出发20分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x=小时，货车和轿车相距30千米【解答】解：（1）设线段CD对应的函数解析式为y=kx+b，可得：，解得：所以线段CD对应的函数表达式为：y=120x140（2x4.5）；（2）由图象可得：直线OA的解析式为：y=80x，根据两图象相交的交点指的是两车相遇，可得：80x=120x140，解得：x=3.5，把x=3.5代入y=80x，得：y=280；所以E点的坐标为（3.5，280），即表示当货车出发3.5小时时货车和轿车相遇；（3）设货车出发xh后，可得：120x14030=80x，解得：x=4.25故答案为：4.25由题意知，B（，0），BC段解析式为y=60x20（x2），货车与轿车相距30km有四种情况：1）当x2时，80x（60x20）=30，解得x=；2）当2x时，80x（120x140）=30，解得x=；3）当x时，120x14080x=30，解得x=；4）当x5时，40080x=30，解得x=；x=26（8分）（2016惠山区一模）在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”，距离的本质是“最短”，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离，如“垂线段最短”的性质，把点到直线的距离转化为点到点（垂足）的距离一般的，一个图形上的任意点A与另一个图形上的任意点B之间的距离的最小值叫做两个图形的距离（1）如图1，过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，则线段AB和直线l的距离为垂线段AC的长度（2）如图2，RtABC中，ACB=90，B=30，CDAB，AD=2，那么线段AD与线段BC的距离为3（3）如图3，若长为1cm的线段CD与已知线段AB的距离为1.5cm，请用适当的方法表示满足条件的所有线段CD注：若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示其所在区域（保留画图痕迹）【解答】解