八年级下册数学第18章《平行四边形》单元测试题含答案.pdf

第 1 页 共 32 页 八年级下册 数学 第 18 章 平行四边形单元测试题（含答案）八年级下册 数学 第 18 章 平行四边形单元测试题（含答案） 一、选择题（共 3 小题） 1.下列命题中，真命题是（） A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2.如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC4，将矩形沿 AC 折叠，则重叠部分AFC 的面积 为（） A.12B.10C.8D.6 3.如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC1，CE3，H 是 AF 的中 点，那么 CH 的长是（） 第 2 页 共 32 页 A.2.5B.C.D.2 二、填空题（共 6 小题） 4.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AEBD，垂足为点 E， 若EAC2CAD，则BAE度. 5.如图，在ABC 中，ACB90，M、N 分别是 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 D，使 CDBD，连接 DM、DN、MN.若 AB6，则 DN. 6.如图，四边形 ABCD 是菱形，AC8，DB6，DHAB 于点 H，则 DH. 7.如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，BC20，DE 是ABC 的中位线，点 M 是边 BC 上一点，BM3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接 DN，ME，DN 与 ME 相交于点 O.若OMN 是直角三角形，则 DO 的长是. 8.如图，在菱形 ABCD 中，AB4cm，ADC120，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分 别沿 AB、CB 方向向点 B 匀速移动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒DEF 为等边三角形，则 t 的值为. 第 3 页 共 32 页 9.如图，在矩形 ABCD 中，BC20cm，点 P 和点 Q 分别从点 B 和点 D 出发，按逆时针方向 沿矩形 ABCD 的边运动，点 P 和点 Q 的速度分别为 3cm/s 和 2cm/s，则最快s 后，四 边形 ABPQ 成为矩形. 三、解答题（共 15 小题） 10.已知：如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、AB 上的点，且 EFED，EFED. 求证：AE 平分BAD. 11.已知，在平行四边形 ABCD 中，BC2AB，M 为 AD 的中点，CEAB 于 E.求证：DME 3AEM. 12.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，且 ABAE. （1）求证：ABCEAD； （2）若 AE 平分DAB，EAC25，求AED 的度数.简单初中生 第 4 页 共 32 页 13.如图，在“飞镖形”ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. （1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形； （2）若 ACBD，那么四边形 EFGH 是什么四边形？ 14.如图，在菱形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，DEAB. （1）求ABC 的度数； （2）若 AB4，求 DE 的长. 15.如图，已知四边形 ABCD 为正方形，AB4，点 E 为对角线 AC 上一动点，连接 DE、 过点 E 作 EFDE.交 BC 点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFC，连接 CG. （1）求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）探究：CE+CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 16.如图， 在 RtABC 中， ACB90， E 为 CA 延长线上一点， D 为 AB 上一点， F 为ABC 外一点且 ACAEAFAD1，EFAB，连接 DF，BF. （1）当CAB 的度数是多少时，四边形 ADFE 为菱形，请说明理由； 第 5 页 共 32 页 （2）当 AB时，四边形 ACBF 为正方形.（请直接写出） 17.如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC.BD 交于点 O，AC 平分 BAD，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E.连接 OE. （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AE5，OE3，求线段 CE 的长， 18.如图，已知 A，F，C，D 四点在同一条直线上，AFCD，ABED，且 ABED. （1）求证：ABCDEF； （2）如果四边形 EFBC 是菱形，已知 EF3，DE4，DEF90，求 AF 的长度. 19.如图，已知ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 边上，ADF 是以 AD 为边的等边三角形， 过点 F 作 BC 的平行线交线段 AC 于点 E，连接 BF. 求证：（1）AFBADC； （2）四边形 BCEF 是平行四边形. 20.如图，在 ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，使得 BEDF，连接 EF，分别 第 6 页 共 32 页 交 AD，BC 于点 M，N，连接 AN，CM. （1）求证：DFMBEN； （2）四边形 AMCN 是平行四边形吗？请说明理由. 21.如图， 在边长 12 的正方形 ABCD 中， 点 E 是 CD 的中点， 点 F 在边 AD 上， 且 AF3DF， 连接 BE，BF，EF，请判断BEF 的形状，并说明理由. 22.如图， 正方形 ABCD 的对角线交于点 O， 点 E、 F 分别在 AB、 BC 上 （AEBE） ， 且EOF 90，OE、DA 的延长线交于点 M，OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN. （1）求证：OMON； （2）若正方形 ABCD 的边长为 6，OEEM，求 MN 的长. 23.如图，以四边形 ABCD 的边 AB、AD 为边分别向外侧作等边三角形 ABF 和 ADE，连接 BE、DF. 第 7 页 共 32 页 （1）当四边形 ABCD 为正方形时（如图 1），则线段 BE 与 DF 的数量关系是. （2）当四边形 ABCD 为平行四边形时（如图 2），问（1）中的结论是否还成立？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由. 24.如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA PE，PE 交 CD 于 F. （1）证明：PCPE； （2）求CPE 的度数； （3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连接 CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由.简单初中生 第 8 页 共 32 页 参考答案参考答案 一、选择题（共 3 小题） 1.下列命题中，真命题是（） A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【分析】A、根据矩形的定义作出判断； B、根据菱形的性质作出判断； C、根据平行四边形的判定定理作出判断； D、根据正方形的判定定理作出判断. 【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误； 故选：C. 2.如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC4，将矩形沿 AC 折叠，则重叠部分AFC 的面积 为（） A.12B.10C.8D.6 【分析】ADCABC，ADFCBF，得ADF 与CBF 面积相等，设 BFx， 列出关于 x 的关系式，解得 x 的值即可解题. 【解答】解：ADCABC， ADFCBF， 第 9 页 共 32 页 ADF 与CBF 面积相等， 设 BFx，则（8x）2x2+42， 6416x+x2x2+16， 16x48， 解得 x3， AFC 的面积483410. 故选：B. 3.如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC1，CE3，H 是 AF 的中 点，那么 CH 的长是（） A.2.5B.C.D.2 【分析】 连接 AC、 CF， 根据正方形性质求出 AC、 CF， ACDGCF45， 再求出ACF 90，然后利用勾股定理列式求出 AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解 答即可. 【解答】解：如图，连接 AC、CF， 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC1，CE3， AC，CF3， ACDGCF45， ACF90， 由勾股定理得，AF2， H 是 AF 的中点， CH AF 2 . 故选：B. 第 10 页 共 32 页 二、填空题（共 6 小题） 4.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AEBD，垂足为点 E， 若EAC2CAD，则BAE22.5度. 【分析】首先证明AEO 是等腰直角三角形，求出OAB，OAE 即可. 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ACBD，OAOC，OBOD， OAOBOC， OADODA，OABOBA， AOEOAD+ODA2OAD， EAC2CAD， EAOAOE， AEBD， AEO90， AOE45， OABOBA67.5， BAEOABOAE22.5. 故答案为 22.5. 5.如图，在ABC 中，ACB90，M、N 分别是 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 D，使 第 11 页 共 32 页 CDBD，连接 DM、DN、MN.若 AB6，则 DN3. 【分析】连接 CM，根据三角形中位线定理得到 NMCB，MNBC，证明四边形 DCMN 是平行四边形，得到 DNCM，根据直角三角形的性质得到 CMAB3，等量代换即可. 【解答】解：连接 CM， M、N 分别是 AB、AC 的中点， NMCB，MNBC，又 CDBD， MNCD，又 MNBC， 四边形 DCMN 是平行四边形， DNCM， ACB90，M 是 AB 的中点， CMAB3， DN3， 故答案为：3. 6.如图，四边形 ABCD 是菱形，AC8，DB6，DHAB 于点 H，则 DH. 第 12 页 共 32 页 【分析】先根据菱形的性质得 OAOC4，OBOD3，ACBD，再利用勾股定理计算 出 AB5，然后根据菱形的面积公式得到ACBDDHAB，再解关于 DH 的方程即可. 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， OAOC4，OBOD3，ACBD， 在 RtAOB 中，AB5， S菱形ABCDACBD， S菱形ABCDDHAB， DH568， DH. 故答案为. 7.如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，BC20，DE 是ABC 的中位线，点 M 是边 BC 上一点，BM3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接 DN，ME，DN 与 ME 相交于点 O.若OMN 是直角三角形，则 DO 的长是或. 【分析】分两种情形讨论即可MNO90，根据计算即可 MON90，利用DOEEFM，得计算即可. 【解答】解：如图作 EFBC 于 F，DNBC 于 N交 EM 于点 O，此时MNO90， DE 是ABC 中位线， DEBC，DEBC10，简单初中生 DNEF， 四边形 DEFN是平行四边形，EFN90， 四边形 DEFN是矩形， EFDN，DEFN10， ABAC，A90， 第 13 页 共 32 页 BC45， BNDNEFFC5， ， ， DO. 当MON90时， DOEEFM， ， EM13， DO， 故答案为或. 8.如图，在菱形 ABCD 中，AB4cm，ADC120，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分 别沿 AB、CB 方向向点 B 匀速移动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒DEF 为等边三角形，则 t 的值为. 【分析】延长 AB 至 M，使 BMAE，连接 FM，证出DAEEMF，得到BMF 是等边三 角形，再利用菱形的边长为 4 求出时间 t 的值. 【解答】 解：延长 AB 至 M，使 BMAE，连接 FM， 四边形 ABCD 是菱形，ADC120 ABAD，A60， BMAE， ADME， DEF 为等边三角形， DAEDFE60，DEEFFD， MEF+DEA120，ADE+DEA180A120， MEFADE， 在DAE 和EMF 中， DAEEMF（SAS）， AEMF，MA60， 又BMAE， BMF 是等边三角形， BFAE， AEt，CF2t， BCCF+BF2t+t3t， BC4， 3t4， t 故答案为： . 或连接 BD.根据 SAS 证明ADEBDF，得到 AEBF，列出方程即 可. 第 14 页 共 32 页 第 15 页 共 32 页 9.如图，在矩形 ABCD 中，BC20cm，点 P 和点 Q 分别从点 B 和点 D 出发，按逆时针方向 沿矩形 ABCD 的边运动，点 P 和点 Q 的速度分别为 3cm/s 和 2cm/s，则最快4s 后，四边 形 ABPQ 成为矩形. 【分析】根据矩形的性质，可得 BC 与 AD 的关系，根据矩形的判定定理，可得 BPAQ， 构建一元一次方程，可得答案. 【解答】解；设最快 x 秒，四边形 ABPQ 成为矩形，由 BPAQ 得 3x202x. 解得 x4， 故答案为：4. 三、解答题（共 15 小题） 10.已知：如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、AB 上的点，且 EFED，EFED. 求证：AE 平分BAD. 【分析】要证 AE 平分BAD，可转化为ABE 为等腰直角三角形，得 ABBE，又 AB CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定，和矩形的性 质，可确定 ASA.即求证. 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， BCBAD90，ABCD， BEF+BFE90. EFED， BEF+CED90. BFECED. 第 16 页 共 32 页 BEFEDC. 在EBF 与DCE 中， ， EBFDCE（ASA）. BECD. BEAB. BAEBEA45. EAD45. BAEEAD. AE 平分BAD. 11.已知，在平行四边形 ABCD 中，BC2AB，M 为 AD 的中点，CEAB 于 E.求证：DME 3AEM. 【分析】 设 BC 中点为 N， 连 MN 交 CE 于 P， 再连 MC， 根据等角代换可得出AEMEMN， 再根据题意判断出MEC 是等腰三角形， 从而得出EMNNMC， 结合四边形 MNCD 是 菱形可证得结论. 【解答】证明：设 BC 中点为 N，连 MN 交 CE 于 P，再连 MC， 则 AMBN，MDNC， 又BC2AB， 四边形 ABNM、四边形 MNCD 均是菱形， MNAB， AEMEMN， CEAB， MNCE， 又AMMD，MNAB. P 点为 EC 的中点， 第 17 页 共 32 页 MP 垂直平分 EC， EMNNMC， 又四边形 MNCD 是菱形， NMCCMD， EMD3EMN3AEM. 12.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，且 ABAE. （1）求证：ABCEAD； （2）若 AE 平分DAB，EAC25，求AED 的度数. 【分析】从题中可知：（1）ABC 和EAD 中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行 的性质和等边对等角得出BDAE 即可证明. （2）根据全等三角形的性质，利用平行四边形的性质求解即可. 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，ADBC. DAEAEB. ABAE， AEBB. BDAE. 在ABC 和AED 中， ， ABCEAD. （2）解：AE 平分DAB（已知）， 第 18 页 共 32 页 DAEBAE； 又DAEAEB， BAEAEBB. ABE 为等边三角形. BAE60. EAC25， BAC85. ABCEAD， AEDBAC85. 13.如图，在“飞镖形”ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. （1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形； （2）若 ACBD，那么四边形 EFGH 是什么四边形？简单初中生 【分析】（1）连接 AC，根据三角形的中位线定理求出 EFAC，EFAC，GHAC， GHAC，可得 EFGH，EFGH，即可得四边形 EFGH 是平行四边形； （2）由三角形中位线定理可得 EHFGEFHG，可得四边形 EFGH 是菱形. 【解答】证明：（1）连接 AC. E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点. EF、GH 分别是ABC、ACD 的中位线. EFAC，EFAC，GHAC，GHAC， EFGH，EFGH， 第 19 页 共 32 页 四边形 EFGH 是平行四边形； （2）四边形 EFGH 是菱形 理由如下：连接 BD， E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. BD2EH，BD2FG，AC2EF，AC2HG，且 ACBD， EHFGEFHG， 四边形 EFGH 是菱形. 14.如图，在菱形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，DEAB. （1）求ABC 的度数； （2）若 AB4，求 DE 的长. 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 ADBD，再根据 菱形的四条边都相等可得 ABAD，然后求出 ABADBD，从而得到ABD 是等边三角 形，再根据等边三角形的性质求出DAB60，然后根据两直线平行，同旁内角互补求解 即可； （2）利用等边三角形的性质得到 AD 和 AE 的长，利用勾股定理求得 DE 的长即可. 【解答】解：（1）E 为 AB 的中点，DEAB， 第 20 页 共 32 页 ADDB， 四边形 ABCD 是菱形， ABAD， ADDBAB， ABD 为等边三角形. DAB60. 菱形 ABCD 的边 ADBC， ABC180DAB18060120， 即ABC120； （2）四边形 ABCD 是菱形， BDAC 于 O， ADAB4，AEAB2， 在直角三角形中用勾股定理可得 DE6； 15.如图，已知四边形 ABCD 为正方形，AB4，点 E 为对角线 AC 上一动点，连接 DE、 过点 E 作 EFDE.交 BC 点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFC，连接 CG. （1）求证：矩形 DEFG 是正方形； （2）探究：CE+CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【分析】（1）过 E 作 EMBC 于 M 点，过 E 作 ENCD 于 N 点，即可得到 ENEM，然 后判断DENFEM，得到DENFEM，则有 DEEF 即可； （2）同（1）的方法证出ADECDG 得到 CGAE，得出 CE+CGCE+AEAC8 即 可. 【解答】解：（1）如图所示，过 E 作 EMBC 于 M 点，过 E 作 ENCD 于 N 点， 正方形 ABCD， BCD90，ECN45， 第 21 页 共 32 页 EMCENCBCD90，且 NENC， 四边形 EMCN 为正方形， 四边形 DEFG 是矩形， EMEN，DEN+NEFMEF+NEF90， DENMEF， 又DNEFME90， 在DEN 和FEM 中， DENFEM（ASA）， EDEF， 矩形 DEFG 为正方形， （2）CE+CG 的值为定值，理由如下： 矩形 DEFG 为正方形， DEDG，EDC+CDG90， 四边形 ABCD 是正方形， ADDC，ADE+EDC90， ADECDG， 在ADE 和CDG 中， ADECDG（SAS）， AECG， ACAE+CEAB48， CE+CG8 是定值. 16.如图， 在 RtABC 中， ACB90， E 为 CA 延长线上一点， D 为 AB 上一点， F 为ABC 外一点且 ACAEAFAD1，EFAB，连接 DF，BF. （1）当CAB 的度数是多少时，四边形 ADFE 为菱形，请说明理由； 第 22 页 共 32 页 （2）当 AB时，四边形 ACBF 为正方形.（请直接写出） 【分析】 （1） 当CAB60时， 四边形 ADFE 为菱形； 由平行线的性质可证AFEDAF， AEFCAB60， 可得AEF， AFD 都是等边三角形， 可得 AEAFADEFFD， 即可得结论. （2）由正方形的性质可求解. 【解答】解：（1）当CAB60时，四边形 ADFE 为菱形， 理由如下： AEAFAD AEFAFE， EFAB AFEDAF，AEFCAB60 FAD60 AEF，AFD 都是等边三角形 AEAFADEFFD 四边形 ADFE 为菱形 （2）若四边形 ACBF 为正方形 ACBC1，ACB90 AB 当 AB时，四边形 ACBF 为正方形 故答案为： 17.如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC.BD 交于点 O，AC 平分 BAD，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E.连接 OE. （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AE5，OE3，求线段 CE 的长，简单初中生 第 23 页 共 32 页 【分析】 （1）先判断出OABDCA，进而判断出DACDAC，得出 CDADAB， 即可得出结论； （2）由直角三角形的性质可得 AC2OE6，由勾股定理可求 CE 的长. 【解答】解：（1）ABCD， OABDCA， AC 为DAB 的平分线， OABDAC， DCADAC， CDADAB， ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADAB， ABCD 是菱形； （2）如图，连接 OE， 四边形 ABCD 是菱形 AOCO，且 CEAB AC2OE6 在 RtACE 中，CE 18.如图，已知 A，F，C，D 四点在同一条直线上，AFCD，ABED，且 ABED. （1）求证：ABCDEF； （2）如果四边形 EFBC 是菱形，已知 EF3，DE4，DEF90，求 AF 的长度. 第 24 页 共 32 页 【分析】（1）根据 SAS 即可证明ABCDEF； （2）解直角三角形求出 DF、OE、OF 即可解决问题； 【解答】（1）证明：ABDE， AD， AFCD， AF+FCCD+FC， 即 ACDF， ABDE， ABCDEF（SAS）. （2）如图，连接 EB 交 AD 于 O. 在 RtEFD 中，DEF90，EF3，DE4， DF5， 四边形 EFBC 是菱形， BECF，EO， OFOC， CF， AFCDDFFC5 19.如图，已知ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 边上，ADF 是以 AD 为边的等边三角形， 过点 F 作 BC 的平行线交线段 AC 于点 E，连接 BF. 求证：（1）AFBADC； 第 25 页 共 32 页 （2）四边形 BCEF 是平行四边形. 【分析】（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明 AFBADC； （2）四边形 BCEF 是平行四边形，因为AFBADC，所以可得ABFC60，进 而证明ABFBAC，则可得到 FBAC，又 BCEF，所以四边形 BCEF 是平行四边形. 【解答】证明：（1）ABC 和ADF 都是等边三角形， AFAD，ABAC，FADBAC60， 又FABFADBAD，DACBACBAD， FABDAC，且 AFAD，ABAC AFBADC（SAS）； （2）AFBADC， ABFC60. 又BACC60， ABFBAC， FBAC， 又BCEF， 四边形 BCEF 是平行四边形； 20.如图，在 ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，使得 BEDF，连接 EF，分别 交 AD，BC 于点 M，N，连接 AN，CM. （1）求证：DFMBEN； （2）四边形 AMCN 是平行四边形吗？请说明理由. 第 26 页 共 32 页 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BADBCD，ABCD，根据平行线的性质得 出BADADF，EBCBCD，EF，求出ADFEBC，根据全等三角形的 判定得出即可； （2）根据全等求出 DMBN，求出 AMCN，根据平行四边形的判定得出即可. 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BADBCD，ABCD， BADADF，EBCBCD，EF， ADFEBC， 在DFM 和BEN 中 DFMBEN（ASA）； （2）解：四边形 AMCN 是平行四边形， 理由是：由（1）知DFMBEN， DMBN， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，且 ADBC， ADDMBCBN， AMCN，AMCN， 四边形 AMCN 是平行四边形. 21.如图， 在边长 12 的正方形 ABCD 中， 点 E 是 CD 的中点， 点 F 在边 AD 上， 且 AF3DF， 连接 BE，BF，EF，请判断BEF 的形状，并说明理由. 第 27 页 共 32 页 【分析】根据题意分别在 RtABF、RtDEF、RtBCF 中求出 BF2、EF2、BE2的值，再运 用勾股定理的逆定理进行说明即可. 【解答】解：BEF 是直角三角形，理由如下： 四边形 ABCD 是正方形， ACD90. 点 E 是 CD 的中点， DECECD6. AF3DF， DFAD3. AF3DF9. 在 RtABF 中，由勾股定理可得 BF2AB2+AF2144+81225， 在 RtBCE 中，由勾股定理可得 BE2CB2+CE2144+36180， 在 RtDEF 中，由勾股定理可得 EF2DF2+DE29+3645， BE2+EF2180+45225，BF2225， BE2+EF2BF2. BEF 是直角三角形. 22.如图， 正方形 ABCD 的对角线交于点 O， 点 E、 F 分别在 AB、 BC 上 （AEBE） ， 且EOF 90，OE、DA 的延长线交于点 M，OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN. （1）求证：OMON； （2）若正方形 ABCD 的边长为 6，OEEM，求 MN 的长. 第 28 页 共 32 页 【分析】（1）证OAMOBN 即可得； （2）作 OHAD，由正方形的边长为 6 且 E 为 OM 的中点知 OHHA3、HM6，再根 据勾股定理得 OM3，由直角三角形性质知 MNOM. 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形， OAOB，DAO45，OBA45， OAMOBN135， EOF90，AOB90， AOMBON， OAMOBN（ASA）， OMON； （2）如图，过点 O 作 OHAD 于点 H， 正方形的边长为 6， OHHA3， E 为 OM 的中点， HM6， 则 OM3， MNOM3. 23.如图，以四边形 ABCD 的边 AB、AD 为边分别向外侧作等边三角形 ABF 和 ADE，连接 BE、DF.