高一数学数学竞赛2

数学竞赛辅导2 命题、映射 2015.09班级_ 姓名_ 学号_例题例1、 若a、b、cR,且a=x2-2y+2, b=y2-2z+3, c=z2-2x+6,求证：a,b,c中至少有一个大于零.例2、 已知a,b均为正有理数，且a, b都为无理数.求证：而a+b也是无理数.例3、 设:x1或x0, :x-2m+1或x2m-3,mR, 是的充分条件，求m的取值范围.例4、 关于x的一元二次方程mZ; mx2-4x+4=0 x2-4mx+m2-4m-5=0 .求方程 、的根都是整数的充要条件.定义：（等差数列）从第二项起，数列的每一项与前一项的是一个定值.例5、 若两个数列an,bn满足关系式bn=a1+2a2+3a3+nan1+2+n.试证：数列bn成等差数列的充要条件是an成等差数列.定义：（映射）设A和B是两个给定的集合，如果按照某种对应法则f，使得对于每一个xA，通过f，惟一确定一个yB,那么就称f是A到B的一个映射，记为f:AB.集合A叫做映射f的定义域，集合B叫做映射f的值域，称y为x在映射f作用下的象，记作y=f(x)，并用符号f:xy表示，称x为y的一个原象.例6、 设A=a1,a2,a3,B=-1，0，1.(1)问从A到B的不同映射有多少个？（2）从A到B的映射满足fa1f(a2)f(a3),确定这样的f例7、 设A=a1,a2,a3，B=b1,b2,b3,b4,（1）写出一个f:AB，使得f是单射，并求A到B的单射个数；(2)写出一个f:AB，使得f不是单射，并求所有这种映射的个数；（3）A到B的映射是否是满射？例8、 给定一个正整数n，有多少个满足条件0abcdn的四元有序整数组(a,b,c,d)例9、 数学竞赛命题委员会由9名教授组成，命好的试题藏在一个保险箱里，要求至少有6名教授在场时才能打开保险箱，问保险箱至少应安上多少把锁，配多少把钥匙，怎样把钥匙发给命题委员？例10、 设集合Sn=1,2,，n.若X是Sn的子集，把X中的所有元素的和成为X的“容量”（规定空集的容量为零）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集.（1）求证：Sn的奇子集和偶子集个数相等；（2）求证：当n3时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等；（3）当n3时，求Sn的所有奇子集的容量之和.练习1、已知p是q的必要条件，r是q的充分条件，p是r的充分条件，则r是p的( )A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D既非充分也非必要条件2、若条件p:|x+1|4,条件q:x21”是“ab+1a+b”的（ ）A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D既非充分也非必要条件6、求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=07、给出如下两个命题：命题p：f(x)=1-x3,且|f(a)|0，且AB=,求实数a的取值范围，使命题p,q有且只有一个为真命题.8、命题“对任意的xR，x3-x2+10”的否定是（ ）A不存在xR，x3-x2+10 B. 存在xR，x3-x2+10C.存在xR，x3-x2+10 D. 对任意的xR，x3-x2+109、设a1,b1,c1，a2,b2,c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c10和a2x2+b2x+c20的解集分别为集合M和N，那么a1a2=b1b2=c1c2是M=N的（ ）A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D既非充分也非必要条件10、对于函数f(x)=ax2+bx-m+c（其中a、b、m、c为常数，xR），有下列三个命题：（1）若f(x)为偶函数，则m=0;(2)不存在实数a、b、m、c，使f(x)是奇函数而不是偶函数；（3）f(x)不可以既是奇函数又是偶函数.其中真命题的个数为（ ）A0 B.1 C.2 D.311、若y= f(x)的反函数是y= f-1(x)，下列四个命题中，正确的个数为（ ）若y= f(x)在1,2上是增函数，则y= f-1(x) 在1,2上也是增函数若y= fx是奇函数，y= f-1(x)也是奇函数若点(a,b)在y= fx图像上，则y= f-1(x)图像上一定有点(b, f-1(b)因为y= f(x)和y= f-1(x)关于直线y=x对称，所以y= f(x)与y= f-1(x)图像的交点在直线y=x上.A1 B.2 C.3 D.412、有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A,B都为有限集合，给出下列命题：AB=的充要条件是card(AB)=card(A)+card(B)AB的必要条件是card(A)card(B)AB的充分条件是card(A)card(B)A=B的充要条件是car